Line integral

[-InnoXenT-]

1. Verify that the force $\mathbf{F} = ye^{xy}\mathbf{i}+xe^{xy}\mathbf{j}$ is conservative in some open connected region containing points $P(\pi,1)$ and $Q(-\frac{\pi}{2},0)$. Compute the work done by $\mathbf{F}$ on a particle moving along an arbitrary smooth curve from $P$ to $Q$.

2. Evaluate $$\oint_C x^2y\, dx + (y+xy^2)\, dy$$
where $C$ is the boundary of the region between $y=x^2$ and $x=y^2$ ,with the counterclockwise orientation

[GunUltimateID]

1.
$ W=\int \vec F .d\vec r$
$\vec F=ye^{xy}\hat i+xe^{xy}\hat j$
$d\vec r=d\vec x+d\vec y = dx\hat i+dy\hat j $
$ W=\int \vec F .d\vec r=\int (ye^{xy}dx+xe^{xy}dy) =\int de^{xy} =e^{x_fy_f}-e^{x_i}e^{y_i} $
จะเห็นได้ว่าเป็นแรงอนุรักษ์จริงๆ เพราะขึ้นอยู่กับจุดตั้งต้นและจุดสุดท้ายไม่ขึ้นกับเส้นทางแทนค่าไปจะได้ $W=1-e^\pi$

[Little Penguin]

2. ให้แบ่งทางเดินของเส้นโค้งปิดเป็น 2 ส่วน คือส่วนที่อยู่บน $y=x^2$ กับ $x=y^2$ แล้วสำหรับแต่ละส่วน ให้เขียนในรูป parametric equation แทนแล้วอินทิเกรต
จะได้ว่าอินทิกรัลที่จะหานั้นเท่ากับ $0$