ข้อสอบประกายกุหลาบ ม.ต้น ครั้งที่ 5

[prachya]

ตอนแรก

ข้อ 19 ผมไม่เจอคำตอบนะครับ ไม่ทราบว่าผมคิดผิดหรือเปล่า?

1~8~15~....~99 --> 15 จำนวน
2~9~16~....~100--> 15 จำนวน
3~10~.......~94 --> 14 จำนวน
4~11~.......~95 --> 14 จำนวน
5~12~.......~96 --> 14 จำนวน
6~13~.......~97 --> 14 จำนวน
7~14~.......~98 --> 14 จำนวน

จำนวนวิธีที่เลือกได้ $ {15 \choose 2}x2 + {14 \choose 2} x5 = 210+455 = 665$

ปล. ข้อ 17 นึกรูปไม่ออกอ่ะครับ ข้อ 10 ท่าทางหนักเอาการ = =" ไว้ลองคิดก่อนครับ

[prachya]

ข้อ 10 ครับ

สมมุติให้ก้อนๆตัวเลขทางซ้าย เป็น b ทางขวาเป็น c

b ณ $ \frac{1}{2} $ณ c
b-c ณ $ \frac{1}{2} $-cณ c-c
0 ณ $ \frac{1}{2} $-cณ 0
จะได้ว่า $ \frac{1}{2} $-c = 0
ดังนั้น b = c = $ \frac{1}{2} $

สมมติกรณีที่ n = 2


แต่ถ้าใครมีวิธี ที่ไม่ต้องแทนค่า ก็ลองโพสกันมานะครับ คิดไม่ออกจริงๆ

[nooonuii]

นี่ข้อสอบของเด็กม.ต้นจริงๆเหรอครับ แต่ละข้อทำผมอึ้งไปหลายนาทีเลยครับ

10. My Solution :
แนวคิด : เวลาเจอโจทย์อสมการ สิ่งแรกที่ควรทำคือเช็คเงื่อนไขของสมการครับว่าจะเกิดขึ้นเมื่อไหร่ สิ่งนี้จะนำไปสู่กระบวนการคิดและการเลือกอสมการสำเร็จรูป (AM-GM, Cauchy-Schwarz, Holder, etc) มาใช้ในการแก้ปัญหาได้อย่างเหมาะสมครับ ส่วนใหญ่อสมการที่มีสมมาตรในตัวแปรหรือตัวแปรวนซ้ำกันอย่างข้อนี้สมการมักจะเกิดเมื่อตัวแปรทุกตัวมีค่าเท่ากันครับ ซึ่งถ้าโจทย์มีตัวเลือกมาให้เราแทบจะไม่ต้องคิดต่อเลย

ลองดูวิธีพิสูจน์ข้อนี้แบบเต็มๆครับ

กำหนดให้
$$\displaystyle{ A = \frac{a_1^2}{a_1+a_2} + \frac{a_2^2}{a_2+a_3} + \cdots + \frac{a_n^2}{a_n+a_1}}$$
$$\displaystyle{ B = \frac{a_2^2}{a_1+a_2} + \frac{a_3^2}{a_2+a_3} + \cdots + \frac{a_1^2}{a_n+a_1}}$$

เราจะได้ว่า (อันนี้คือหัวใจสำคัญของโจทย์ข้อนี้ครับ )

$$\begin{array}{rcl} A - B & = & \displaystyle{\frac{a_1^2-a_2^2}{a_1+a_2} + \frac{a_2^2-a_3^2}{a_2+a_3} + \cdots + \frac{a_n^2-a_1^2}{a_n+a_1}} \\ & = & (a_1-a_2)+(a_2-a_3)+\cdots + (a_n-a_1) \\ & = & 0 \end{array} $$
ดังนั้น $\displaystyle{ A=B=\frac{1}{2} }$

ต่อไปเราจะใช้อสมการต่อไปนี้ $$\displaystyle{\frac{x^2+y^2}{x+y}\geq \frac{x+y}{2}}$$ สำหรับจำนวนจริงบวก $x,y$ ใดๆ ซึ่งพิสูจน์ได้ไม่ยากครับ และสมการจะเกิดขึ้นเมื่อ $x=y$

ดังนั้นจะได้ว่า
$$\begin{array}{rcl} A+B & = & \displaystyle{ \frac{a_1^2+a_2^2}{a_1+a_2} + \frac{a_2^2+a_3^2}{a_2+a_3} + \cdots + \frac{a_n^2+a_1^2}{a_n+a_1} } \\ & \geq & \frac{a_1+a_2}{2} +\cdots+\frac{a_n+a_1}{2} \\ & = & a_1+a_2+\cdots + a_n \end{array} $$
และสมการเกิดเมื่อ $a_1=a_2=\cdots = a_n$

แต่เราทราบว่า $A+B = 1$ และ $a_1+a_2+\cdots + a_n = 1$
ดังนั้น $A+B = a_1+a_2+\cdots + a_n $
เราจึงได้ว่า $\displaystyle{ a_1=a_2=\cdots = a_n=\frac{1}{n} }$
แทนค่าเราจะได้ $\displaystyle{ a_1 + a_2^2 + \cdots + a_n^n = \frac{n^n-1}{n^n(n-1)}}$

[nongtum]

แว้บมาทำข้อ 17 ตอนแรกครับ

เนื่ืองจากข้อนี้เราไม่ต้องการค่าเป๊ะๆ และความยาวด้านทั้งสามใกล้เคียงกันและใหญ่พอ ก่อนอื่นเราจะพิจารณากรณีสามเหลี่ยมด้านเท่าดังนี้

เราทราบว่าสามเหลี่ยมด้านเท่าที่แต่ละด้านยาว $a$ รัศมีวงกลมแนบในจะเป็น $r=\frac{\triangle}{S}=\frac{\sqrt3}{6}a$
ทำให้ระยะจากจุดยอดไปหา $MN$ เป็น $\frac{\sqrt3}{3}a$ ดังนั้น $MN=\frac{2\sqrt3}{3}a\tan 30^\circ=\frac{2}{3}a$

แทนค่าในโจทย์เข้าไป เราจะได้ $\frac{4010}{3}=1336\frac23<MN<\frac{4014}{3}=1338$
ก็เลยตอบข้อ ค. ครับ

[nooonuii]

มาต่อ Jigsaw ให้คุณ nongtum ครับ

ตอนที่ 2

4. ข้อนี้ใครท่องพยัญชนะไม่ครบคงไม่รอดครับ

สังเกตว่าพยัญชนะตัวที่ 2n จะแปรผันตรงกับพยัญชนะตัวที่ 2n+3 และแปรผกผันกับตัวที่ 2n+1,2n+2
เนื่องจาก บ เป็นพยัญชนะตัวที่ 26 เราจะได้ว่า บ แปรผกผันกับ ฮ

9. $\displaystyle{ \frac{x-1}{x^3-x^2-x+1} = \frac{1}{x^2-1} }$

ดังนั้น $A(x+1) + B(x-1) = C+1$
เทียบสัมประสิทธิ์จะได้
$A+B=0$
$A-B = C+1$

แก้สมการหา $A,B$ ในรูปของ $C$ จะได้
$\displaystyle{ A = \frac{C+1}{2}, B = - \frac{C+1}{2}}$
แก้อสมการ $A\geq B\geq C$ จะได้ $C = -1$

10. ขอนี้โหดร้ายสำหรับเด็กม.ต้น มากๆเลยครับ
ให้ $\displaystyle{x = \sqrt[5]{362+\sqrt{131043}}}$ จะได้ว่า $\displaystyle{\frac{1}{x} = \sqrt[5]{362-\sqrt{131043}}}$
ดังนั้น $\displaystyle{x^5+\frac{1}{x^5} = 724}$
ให้ $\displaystyle{a = x + \frac{1}{x}}$ จะได้ว่า
$\displaystyle{x^2+\frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = a^2 - 2}$
$\displaystyle{x^3+\frac{1}{x^3} = (x^2 + \frac{1}{x^2})(x+\frac{1}{x}) - (x+\frac{1}{x}) = a^3 - 3a}$
$\displaystyle{x^4+\frac{1}{x^4} = (x^3 + \frac{1}{x^3})(x+\frac{1}{x}) - (x^2+\frac{1}{x^2}) = a^4 -4a^2 + 2}$
$\displaystyle{x^5+\frac{1}{x^5} = (x^4 + \frac{1}{x^4})(x+\frac{1}{x}) - (x^3+\frac{1}{x^3}) = a^5 -5a^3 + 5a}$

ดังนั้นจะได้สมการพหุนาม
$a^5 - 5a^3 + 5a - 724 = 0$
$(a - 4)(a^4+4a^3+11a^2+44a+181) = 0$
เพราะฉะนั้น $a=4$ (เนื่องจาก $a>0$ เทอมหลังเป็นบวกเสมอ )

ที่เหลือก็จัดรูปครับ เหนื่อยอีกรอบ จะได้คำตอบเท่ากับ $\frac{1}{64}$

[sornchai]

คุณ nooonuii ครับเก่งมากเลยที่ช่วยเฉลยข้อ 10 ให้แต่ผมสงสัยว่าทำไม
($a_{ 1 }-a_{2 })+(a_{ 2 }-a_{3 })+........+(a_{n }-a_{1 })=0 $
และทำไม A = B =$ \frac{1}{2} $ ผมพื้นฐานไม่แน่นครับช่วยอธิบายหน่อย

[nooonuii]

11.
$\begin{array}{rcl} \displaystyle{ \frac{n^2 + 2n + 3}{n^4 + 6n^3+11n^2+6n} } & = & \displaystyle{\frac{n(n+1) + (n+3)}{n(n+1)(n+2)(n+3)}} \\ & = & \displaystyle{ \frac{1}{(n+2)(n+3)} + \frac{1}{n} \big( \frac{1}{(n+1)(n+2)} \big) } \\ & = & \displaystyle{\frac{1}{2} \big( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \big) - \frac{1}{2} \big( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \big) + \big( \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} \big) } \end{array} $

ดังนั้น

$\displaystyle{ \sum_{n=1}^{200} \frac{n^2 + 2n + 3}{n^4 + 6n^3+11n^2+6n} = \frac{1}{2} \big( 1 - \frac{1}{201} \big) - \frac{1}{2} \big( \frac{1}{2} - \frac{1}{202} \big) + \big( \frac{1}{3} - \frac{1}{203} \big) = \frac{2383625}{4121103}}$

ข้อความเดิมของคุณ sornchai:
คุณ nooonuii ครับเก่งมากเลยที่ช่วยเฉลยข้อ 10 ให้แต่ผมสงสัยว่าทำไม
($a_{ 1 }-a_{2 })+(a_{ 2 }-a_{3 })+........+(a_{n }-a_{1 })=0 $
และทำไม A = B =$ \frac{1}{2} $ ผมพื้นฐานไม่แน่นครับช่วยอธิบายหน่อย

ลองดูที่ตัวตั้งในแต่ละวงเล็บนะครับ ผลบวกทั้งหมดจะเท่ากับ $a_1+a_2+\cdots + a_n$ ในขณะเดียวกัน ดูที่ตัวลบในแต่ละวงเล็บถ้านำมาบวกกันจะได้ $a_2 + a_3 + \cdots + a_n + a_1 = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ ดังนั้นพอเอามาลบกันก็เลยเป็นศูนย์ครับ

โจทย์กำหนดไว้ครับว่า $A\geq \frac{1}{2} \geq B$ แต่เราได้ว่า $A = B$ อสมการก็เลยถูกบีบให้เป็นเท่ากับครับ

[หยินหยาง]

ตอนที่ 1 ข้อ 6 ตอบข้อ ก คือ - 1
bx จะมีค่ามากกว่า 1 เสมอ เมื่อกำหนดให้ 0 a b 2b
ดังนั้น (1 - bx)/(1 + bx) จะมีค่าเป็นลบ ต่อจากนั้นนำ (1 - bx)/(1 + bx) เข้าไปในรากเพื่อไปคูณกับ (1 + ax)/(1 - ax) ซึ่งจะตัดกันหมดเหลือ
เท่ากับ 1 แต่เนื่องจากเรารู้ว่าค่าของ (1 - bx)/(1 + bx) เป็นลบเราจึงต้องคงเครื่องหมายลบไว้หน้าราก ดังนั้นคำตอบสุดท้ายจึงเป็น - 1
ตอนที่ 2 ข้อ 1 ตอบ 393
ขออภัยด้วยที่ยังไม่เฉลยวิธีทำเพราะข้าน้อยใช้ LaTeX ไม่ค่อยเป็นเวลาพิมพ์เศษส่วนมันไม่ออกเป็นเศษส่วนข้าน้อยจะพยายามลองดูและจะตามมาแสดงวิธีทำทั้งตอนที่ 1 ข้อ 6 และ ตอนที่ 2 ข้อ 1 แต่ถ้าหากใครสามารถรู้วิธีทำก็เชิญแสดงฝีมือได้เลยครับ ส่วนข้ออื่นๆ หากมีเวลาข้าน้อยจะร่วม
สัปยุทธด้วยในคราวต่อไป

[passer-by]

SELECTED HINTS/SOLUTIONS FOR PLANE GEOMETRY QUESTIONS

ข้อ 2 (ตอนที่ 1)
ให้ R แทน circumradius และ r แทน inradius
เราสามารถหา พื้นที่สามเหลี่ยมในโจทย์ได้ จาก (i) Herons' formula , (ii) ในเทอมของ circumradius และด้านทั้ง 3 , (iii) ในเทอมของ inradius และด้านทั้ง 3
กล่าวคือ

(i) Heron's formula : $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \rightarrow \frac{\sqrt{(100-c^2)(c^2-16)}}{4} \cdots(1) $

(ii) $ \text{Area}=\frac{abc}{4R} \rightarrow \frac{21c}{4R}=\frac{21c}{14r}=\frac{3c}{2r}\cdots(2) $

(iii) $ \text{Area}= rs= \frac{(10+c)r}{2}\cdots(3) $

จาก (1) =(2)=(3) เมื่อ ทำให้เหลือ c ตัวแปรเดียว จะได้ $ (c-8)(c^2-2c-20) =0 $

แต่โจทย์ต้องการ integer ดังนั้น ตอบ 8


ข้อ 17 (ตอนที่ 1)

ให้ AB,BC,CA ยาว 2006,2007,2005 หน่วย ตามลำดับ และ O เป็นจุด ศ.ก. วงกลมแนบใน

ถ้า M อยู่บน AB และ N อยู่บน BC เราจะได้ MO= MA , ON= NC (HINT : ลาก M,N ตั้งฉากกับ AC และลาก O ตั้งฉากกับ AB,BC)

จากสามเหลี่ยมคล้ายจะได้

$\frac{2006-MO}{2006}=\frac{2007-ON}{2007}=\frac{MN}{2005} $

ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า $ \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \rightarrow \frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d} $
ดังนั้น

$ \frac{4013-MN}{4013}=\frac{MN}{2005} $

เมื่อ solve แล้วจะได้ MN ประมาณ 1337 หน่วย


ข้อ 28 (ตอนที่ 2) ตอบ 35 องศา ครับ แล้วเดี๋ยวว่างๆจะเอารูปข้อนี้มาแปะให้นะครับ

ข้อ 34 (ตอนที่ 2) ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า AB เป็นคอร์ดร่วม , PAB เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า และ AQB เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก solve หารัศมีวงกลม Q ถ้าผมคิดเลขไม่ผิด น่าจะตอบ $ 3\sqrt{2}-3 $ ครับ


ส่วนข้ออื่นๆ
ข้อ 15 ตอนที่ 1 ผมไม่ได้ตรงกับตัวเลือกเลยครับ ยังไงใครว่างช่วยเช็คให้นิดนึงนะครับ
ข้อ 19 ตอนที่ 1 ผมก็ได้ 665 วิธีเหมือนน้อง prachya ครับ
ข้อ 5 ตอนที่ 2 ผมได้ 1 ครับ โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า (-8)*X= -1/8 แล้วก็คิดจาก -7ไล่กลับไปหา -1
ข้อ 18 ตอนที่ 2 คุณ nongtum ลืมบวก 0.25 หรือเปล่าครับ
ข้อ 32 ตอนที่ 2 ผมได้ $ x^3+x $ โดย ใช้ ข้อเท็จจริงที่ว่า $ x^4+1 | x^{4k}+1 $ เมื่อ k เป็นเลขคี่

[nooonuii]

ตอนที่ 2 ข้อ 13

โจทย์กำหนดให้ $a-b=3 , d-c=1,ab+cd=-2.5$
จะได้ว่า
$(a-b)^2 + (c-d)^2 = 10$
ดังนั้น $a^2+b^2+c^2+d^2 = 10 + 2(ab+cd) = 5$

ต่อไปพิจารณา
$(a+b)^2 + (c+d)^2 = a^2+b^2+c^2+d^2 +2(ab+cd) = 0$

ดังนั้น $a + b = c + d = 0$

แก้สมการเชิงเส้นได้
$a = \frac{3}{2}, b = -\frac{3}{2}, c = -\frac{1}{2},d=\frac{1}{2}$

ขอจบไว้แค่นี้นะครับเพราะมองเลขชี้กำลังไม่เห็นครับ

[nongtum]

ตามแก้ตามขอบคุณฉบับแรก เฉลยหลักในหน้าแรกค่อยแก้ตอนเฉลยเสร็จและถูกทุกข้อ

คุณหยินหยาง
ขอบคุณที่ช่วยแย้งทั้งสองข้อครับ คิดทีหลังก็ตรงกันครับ
กระทู้ฝึกพิมพ์ LaTeX ไปดูได้ในห้องปัญหาการใช้เวบบอร์ดครับ มีสองสามกระทู้

คุณ passer-by

ตอนแรก
ข้อ 2 ใช้แนวคิดเดียวกันครับ
ข้อ 13 ไม่ได้คิดอ้อมๆแบบผม เยี่ยมครับ
ข้อ 15 ได้ $\frac{\cos^2\theta+1}{\cos^2\theta-1}$ ใช่ไหมครับ ถ้างั้นข้อนี้ก็ไม่มีคำตอบล่ะ
แล้วจะรอรูปข้อ 28 นะครับ
ข้อ 34 คิดได้ตรงกันครับ

ตอนที่สอง
ข้อ 5 ผมมองตรงที่ 8*x=-1/8 ออกนะ แต่ตอนแรกกลับเข้าใจผิดนึกว่ามันเปลี่ยนกลุ่มได้ ก็เลยผิดไปตามระเบียบ คำตอบคิดทีหลังตรงกันครับ
ข้อ 18 กับ 32 ผมสะเพร่าเองล่ะ เดี๋ยวค่อยแก้

คุณ nooonuii
ผมคงต้องฝึกเรื่องอสมการอีกเยอะเลยล่ะ เจอโจทย์แนวนี้ทีไรทำไม่เคยรอดสักที
ส่วนโจทย์ในไฟล์สแกนข้อ 13 ตอนที่ 2 ที่อ่านไม่ออกนั้น(ขออภัยครับ ใช้ resolution เล็กไปนิด) มันคือ $d^{8007}-a^{8001}-b^{8003}-c^{8005}$ ครับ

ยังยินดีรับคำเสนอแนะสำหรับข้ออื่นๆนะครับ

แก้ไข: แถมคำตอบให้ช่วยเช็คอีกข้อ
ตอนสอง ข้อ 33
สมมติรัศมีทรงกลมเป็น $r$ จะได้ส่วนสูงและรัศมีฐานกรวยเป็น $3r$ และ $\sqrt3r$ ตามลำดับ อัตราส่วนที่ต้องการจึงเป็น 4:9

[nooonuii]

23. โจทย์น่าจะมีปัญหาครับ เพราะมีคำตอบเป็นจำนวนอนันต์ กรณีที่ง่ายที่สุดคือให้ตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์ จะเห็นว่าอีกสองตัวแปรที่เหลือสามารถเลือกให้เป็นจุดใดๆบนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ รัศมี $\frac{\sqrt{2}}{2}$

25. จากเงื่อนไขจะได้ว่า $a+b = -1, ab = c$

ดังนั้น
$a+b = -1$
$a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 1 - 2c$
$a^3+b^3 = (a^2+b^2)(a+b) - ab(a+b) = 3c - 1$
$a^4+b^4 = (a^3+b^3)(a+b) - ab(a^2+b^2) = 2c^2 -4c + 1$

จากเงื่อนไขโจทย์อีกอันหนึ่ง เอามากระจายแล้วจัดรูปจะได้
$$2(a^4+b^4) + 4(a^3+b^3) + ab + 2(a+b) + 4 = 0$$

แทนค่าแล้วจัดรูปอีกครั้งจะได้
$$4c^2 + 5c = 0$$

ดังนั้น $c = 0,-\frac{5}{4}$

[หยินหยาง]

ขอลุยตอนที่ 1 ก่อนนะครับ ดูเฉพาะข้อที่ผมทำได้ไม่เหมือนคนอื่นนะครับ
ข้อ 7. ได้ -( A^2+AB+B^2) ซึ่งไม่มีอยู่ในคำตอบ
ข้อ 15. ไม่มีคำตอบได้ (cos^{ 2 }q+1 ) /(cos^{ 2 }q-1 )
ข้อ 19. ไม่มีคำตอบคิดได้ 665 วิธี
ส่วนตอนทึ่ 2 ยังไม่ได้ลุย ดูแค่บางข้อ เช่น ข้อ 1 ได้คำตอบ 393 และอีกข้อ คือ ข้อ 17 ผมได้ผลบวกของรากเท่ากับ 0 ครับ คือมีรากเป็น 2 กับ -2 ไม่ตรงกับคุณ nongtum รบกวน คุณ nongtum ลองช่วยเช็คคำตอบอีกที เพราะผมใช้วิชามาร( common sense นะ) โดยดูพจน์ที่อยู่ในรากคือ
9+sqrt[80] และ 9-sqrt[80] ถ้านำมาบวกกันจะได้ = 18 ดังนั้น x ต้องเท่ากับ 2 และ 9+sqrt[80] และ 9-sqrt[80] เป็น conjugate ซึ่งกันและกัน และเมื่อ x = -2 ก็จะทำให้ผลบวก = 18 เหมือนกัน แต่ก็ไม่แน่ใจว่าจะครบทุกคำตอบหรือไม่ ถ้าผมผิดช่วยอธิบายด้วย ส่วนการแก้สมการโดยการ take log ยังไม่ได้ลองดู
ส่วนข้ออื่นๆ ขอเวลาดูหน่อยครับ แล้วจะมาลุยต่อ

[nooonuii]

30. โจทย์กำหนด

$x^2+y^2 - 2x + 4y = 0 \, ...............(1)$
$x^2+y^2+xy+3y - 4 = 0 \, .........(2)$

ให้ $a = x - 1, b = y + 2$
ดังนั้น (1) เขียนได้เป็น
$a^2 + b^2 = 5 \, .........(3)$

(2) - (1) จะได้
$xy + 2x - y - 4 = 0$

จัดรูปให้อยู่ในรูปตัวแปร $a,b$ ได้เป็น

$ab = 2 \, .........(4)$

แก้ระบบสมการ (3) และ (4) ได้
$(a,b) = (-1,-2), (-2,-1), (1,2), (2,1)$

ดังนั้น
$(x,y) = (0,-4), (-1,-3), (2,0), (3,-1)$

ค่าสูงสุดของ $x^2+y^2$ จึงมีค่าเท่ากับ $16$

[nongtum]

ตามแก้ตามขอบคุณฉบับที่สอง เฉลยหลักในหน้าแรกค่อยแก้ตอนเฉลยเสร็จและถูกทุกข้อ

เอาเฉพาะข้อที่ผมไม่ได้พูดถึงข้างบนละกัน
ตอนแรกข้อที่ 7 ใช่ครับ มันไม่มีคำตอบอย่างที่บอก
ตอนที่สองข้อ 19 มี x=-2 อีกตัวจริงด้วย

แถมให้เช็คอีกข้อครับ
ตอนที่สอง ข้อ 30 พอแก้ระบบสมการจะได้คำตอบคือ (x,y)=(-1,-3),(0,-4),(2,0),(3,-1) ดังนั้นค่าสูงสุดที่ต้องการคือ 16 ครับ

สำหรับตอนที่สอง เหลือข้อ
15. g ที่คูณด้านหน้า เป็นอะไรครับ
28. รอรูปจากคุณ passer-by
31. ตกลง $y_1$ ที่ไม่ได้แก้คืออะไรครับ