ถามโจทย์+ หนังสือ

[Aรักการเรียนครับป๋ม]

ห่างเหินไปซะนาน วันนี้ ผมก็อยากเอาโจทย์นี้มาถามอ่ะครับ

$a+b+c = 1$
$a^2 + b^2 + c^2 = 2$
$a^3 + b^3 + c^3 = 3$
ถาม a. $a^4 + b^4 + c^4$
b. $a^5 + b^5 + c^5$

ปล. บอกหน่อยนะครับว่าใครเคยเจอโจทย์นี้ในหนังสือโจทย์ไหน


2. หนังสือของโครงการหนังสือคณิตศาสตร์โรงเรียนเตรียมฯอุดม นี่ มีเล่มไหนน่าสนใจมั่งครับ ผมมี zenith เล่มหนึ่งแล้วอ่ะแล้วบอกหน่อยนะครับว่าตอนนี้ยังขายอยู่อ่ะป่าว ขอบคุณพี่ๆมากๆเลยนะครับ

[M@gpie]

$a^4+b^4+c^4 = \frac{25}{6}, a^5+b^5+c^5=6$ รึเปล่าครับ?

[t.B.]

ผมคิด $a^4+b^4+c^4=4$ , $a^5+b^5+c^5=6$
ส่วนเรื่องหนังสือผมไม่ค่อยจะรู้เรื่องเลยครับว่ามีเล่มอะไรที่น่าสนใจบ้าง

[nooonuii]

$a+b+c=1$
$ab+bc+ca=\dfrac{1}{2}\Big((a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)\Big)=-\dfrac{1}{2}$
$3abc=(a^3+b^3+c^3)-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=\dfrac{1}{2}$

ดังนั้น $a,b,c$ เป็นรากของพหุนาม $t^3-t^2-\dfrac{1}{2}t-\dfrac{1}{6}$
เราจึงได้
$a^4+b^4+c^4=(a^3+b^3+c^3)+\dfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)+\dfrac{1}{6}(a+b+c)=\dfrac{25}{6}$

$a^5+b^5+c^5=(a^4+b^4+c^4)+\dfrac{1}{2}(a^3+b^3+c^3)+\dfrac{1}{6}(a^2+b^2+c^2)=6$

[M@gpie]

อ่า ผมใช้วิธีเดียวกับพี่ noonuii ครับผม

[t.B.]

โอ้ผมไปลองคิดใหม่ได้ $\frac{25}{6} $ แล้วครับตอนแรกแทนค่าผิด

[Aรักการเรียนครับป๋ม]

ใช่ครับ ถ้า$a^4+b^4+c^4$ จะตอบ $\frac {25}{6}$ แต่ผมอยากรู้อ่ะว่ามาจากหนังสืออ่ะไรหรือเปล่าเห็นเพื่อนผมบอกเอามาจากสอวน.รอบสุดท้าย และก็ถามหนังสือของเตรียมฯด้วยนะครับอิอิ

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aรักการเรียนครับป๋ม

ใช่ครับ ถ้า$a^4+b^4+c^4$ จะตอบ $/frac {25}{6}$ แต่ผมอยากรู้อ่ะว่ามาจากหนังสืออ่ะรไหรือเปล่าเห็นเพื่อนผมบอกเอามาจากสอวน.รอบสุดท้าย และก็ถามหนังสือของเตรียมฯด้วยนะครับอิอิ

หนังสือ Winning Solutions ของ Edward Lozansky และ Cecil Roussau เรื่อง symetric function หน้า 103 ครับ

[Aรักการเรียนครับป๋ม]

พี่kanakon มีไฟล์หนังสือนี้ไหมอ่ะครับ หรือเป็นหนังสือ แบบเล่มๆ บอกผมหน่อยนะครับ ว่าซื้อมาจากไหนหมดหรือยัง อยากได้จ่ริงๆครับ ขอบคุณพี่มากๆเลยนะครับ

[dektep]

หนังสือเล่มนี้มีให้สั่งซื้อในค่ายสอวน.(สวนกุหลาบ)ค่ายแรกครับ

[munoi]

อยากได้ หนังสือ zenith หาซื้อได้ที่ไหนบ้างค๊ะ ^^

[drogba]

อยากรู้ว่าจะสั่งหนังสือWinning Solutions
Cecil Roussau zenith

[mantellumarydoll]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$a+b+c=1$
$ab+bc+ca=\dfrac{1}{2}\Big((a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)\Big)=-\dfrac{1}{2}$
$3abc=(a^3+b^3+c^3)-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=\dfrac{1}{2}$

ดังนั้น $a,b,c$ เป็นรากของพหุนาม $t^3-t^2-\dfrac{1}{2}t-\dfrac{1}{6}$
เราจึงได้
$a^4+b^4+c^4=(a^3+b^3+c^3)+\dfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)+\dfrac{1}{6}(a+b+c)=\dfrac{25}{6}$

$a^5+b^5+c^5=(a^4+b^4+c^4)+\dfrac{1}{2}(a^3+b^3+c^3)+\dfrac{1}{6}(a^2+b^2+c^2)=6$

ขออนุญาติรบกวนช่วยอธิบายทีละขั้นหน่อยได้ไหมครับ คือผมไม่ค่อยเข้าใจตรงที่ว่าab+bc+ca หน่ะครับว่ามาจากไหน แล้วทำไมจึงได้คำตอบแบบนั้น
ปล.ผมเป็นเด็กใหม่ ฝากตัวด้วยนะครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mantellumarydoll

ขออนุญาติรบกวนช่วยอธิบายทีละขั้นหน่อยได้ไหมครับ คือผมไม่ค่อยเข้าใจตรงที่ว่าab+bc+ca หน่ะครับว่ามาจากไหน แล้วทำไมจึงได้คำตอบแบบนั้น
ปล.ผมเป็นเด็กใหม่ ฝากตัวด้วยนะครับ

$$(a + b + c)^2 = (a+b+c)(a+b+c) = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$$

ข้างบนนั่นลองคูณกระจายดูนะครับ เมื่อย้ายข้างแล้วจัดรูปจะได้ตามที่สงสัย

[Kild13]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$a+b+c=1$
$ab+bc+ca=\dfrac{1}{2}\Big((a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)\Big)=-\dfrac{1}{2}$
$3abc=(a^3+b^3+c^3)-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=\dfrac{1}{2}$

ดังนั้น $a,b,c$ เป็นรากของพหุนาม $t^3-t^2-\dfrac{1}{2}t-\dfrac{1}{6}$
เราจึงได้
$a^4+b^4+c^4=(a^3+b^3+c^3)+\dfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)+\dfrac{1}{6}(a+b+c)=\dfrac{25}{6}$

$a^5+b^5+c^5=(a^4+b^4+c^4)+\dfrac{1}{2}(a^3+b^3+c^3)+\dfrac{1}{6}(a^2+b^2+c^2)=6$

รบกวนถามหน่อยว่า $a^4+b^4+c^4$ กับ $a^5+b^5+c^5$ ทำไมถึงเท่ากับก้อนพหุนามนั้นครับ เกี่ยวกับสมการ $t^3-t^2-\dfrac{1}{2}t-\dfrac{1}{6}$ ยังไง

ขอบคุณครับ