ขอถามหน่อยครับ ( การเทียบเท่ากันของเซต - ความสัมพันธ์ )

[ToT]

คือผมอ่านจากแบบเรียนมาตรฐาน ให้นิยามของเซตที่เทียบเท่ากันไว้ว่า เป็นเซตที่มีสมาชิกเท่ากัน

แล้วตอนนี้มีโจทย์ในหนังสือเรียน ( ที่เตรียมพิมพ์เอง ) ถามว่า เซตใดต่อไปนี้ที่เทียบเท่ากัน

P = {1,2,3,4,.....}
Q = {3,6,9,12,.....}
R = {2,4,6,8,.....}

แล้วอาจารย์ก็เฉลยว่าทั้งสามเซตเทียบเท่ากันเพราะ ถ้าเอาสมาชิกของ P ทุกตัวมาคูณกับ 3 ได้เซต Q ถ้าเอามาคูณกับ 2 ได้เซต R

ต่อมามีโจทย์อีกข้อถามว่า เซตอนันต์ทุกเซตเป็นเซตเทียบเท่ากันหรือเปล่า ตอบว่า ไม่จริง ผมเองก็งงๆ สมาชิกมันเป็น inf ถามนิยามนี่นา .....

ผมก็เลยอยากทราบว่า เซตที่เทียบเท่ากันต้องมีความสัมพันธ์กันแบบ 1:1 และเขียนออกมาเป็นรูปแบบที่ตายตัวได้ ( เช่น 2n , 3n ) ผมเข้าใจถูกหรือเปล่า หรือเป็นเพราะแบบเรียนไม่ได้อธิบายในส่วนตรงนี้เพราะมันเกินหลักสูตรไป

[warut]

เรื่องเซ็ตนี่เป็นเรื่องยุ่งยากและซับซ้อนมากครับ คิดมากไปอาจเป็นบ้าได้ ดังนั้นพี่ขอ
อธิบายสั้นๆเท่านั้นนะครับ ถ้าจะเอาอย่างละเอียดคงต้องคุยกันเป็นการส่วนตัวแล้วล่ะ

เซ็ต A และ B จะเทียบเท่ากันก็ต่อเมื่อเราสามารถหาฟังก์ชัน 1-1 และ onto จาก A
ไปยัง B ได้

ดังนั้น
1. ถ้า A และ B เป็นเซ็ตจำกัดแล้วล่ะก็ A และ B จะเทียบเท่ากันก็ต่อเมื่อเซ็ตทั้งสองมี
จำนวนสมาชิกเท่ากัน
2. เซ็ตที่เทียบเท่ากับ N (เซ็ตของจำนวนนับ) เราเรียกว่าเป็นเซ็ตอนันต์ที่นับได้
3. R (เซ็ตของจำนวนจริง) เป็นเซ็ตที่นับไม่ได้ดังนั้น R ไม่เทียบเท่ากับ N

ตัวอย่างที่ 1
N เทียบเท่ากับเซ็ตต่อไปนี้
Z (เซ็ตของจำนวนเต็ม)
Q (เซ็ตของจำนวนตรรกยะ)
เซ็ตของจำนวนคี่
เซ็ตของจำนวนเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 2
R เทียบเท่ากับเซ็ตต่อไปนี้
[0, 1]
เซ็ตของจำนวนอตรรกยะ
C (เซ็ตของจำนวนเชิงซ้อน)

ผิดพลาดประการขอให้ผู้รู้ที่ซุ่มอ่านอยู่ช่วยแก้ไขด้วยนะครับ

[TOP]

เรื่องนี้มันลงลึกไปในเรื่องของ Set Theory ซึ่งพี่ก็ไม่เคยเรียนมาซะด้วยสิ (หวังว่าจะมีผู้รู้มาช่วยอธิบายเสริมด้วยนะครับ ) อย่างไรก็ตามนี่เป็นเพียงความคิดเห็นของพี่เท่านั้น

เราจะมีวิธีวัดอย่างไร เพื่อระบุว่าเซ็ตทั้งสองเป็นเซ็ตที่เทียบเท่ากัน ?
โดยหลักการเบื้องต้นที่เราใช้กันอยู่คือ ใช้วิธีจับคู่หนึ่งต่อหนึ่ง หากเราสามารถแสดงความสัมพันธ์ แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างสมาชิกในเซ็ตทั้งสองได้ ก็จะถือว่าเป็นเซ็ตที่เทียบเท่ากัน ซึ่งก็ฟังดูแล้วเข้าท่าดี โดยอาศัยวิธีการนี้ เราลองนำมาใช้ตรวจสอบการเทียบเท่ากันของเซ็ตของ จำนวนนับ จำนวนเต็ม จำนวนคู่ จำนวนคี่ และ จำนวนตรรกยะ ว่าจะได้ผลเป็นอย่างไร

เซ็ตของจำนวนนับ เทียบเท่ากันกับ เซ็ตของจำนวนเต็ม {1,2,3,...} ซ {0,1,-1,2,-2,3,-3,...}
เซ็ตของจำนวนนับ เทียบเท่ากันกับ เซ็ตของจำนวนคู่ {1,2,3,...} ซ {0,2,-2,4,-4,6,-6,,...}
เซ็ตของจำนวนนับ เทียบเท่ากันกับ เซ็ตของจำนวนคี่ {1,2,3,...} ซ {1,-1,3,-3,5,-5,,...}
เซ็ตของจำนวนนับ เทียบเท่ากันกับ เซ็ตของจำนวนตรรกยะ {1,2,3,...} ซ {0 , 1/1 , -1/1 , 1/2 , -1/2 , 2/1 , -2/1 , 3/1 , -3/1 , 2/3 , -2/3 , 1/3 , -1/3 , 1/4 , -1/4 , ...} สำหรับวิธีการไล่ลำดับของจำนวนตรรกยะให้ครบ ให้ดูแนวการไล่ตัวเลขจากแผนภาพข้างล่าง


เราจะสรุปได้ว่าเซ็ตของจำนวนนับ จำนวนเต็ม จำนวนคู่ จำนวนคี่ และจำนวนตรรกยะ ล้วนเป็นเซ็ตที่เทียบเท่ากัน โดยมีจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์ (ให้สังเกตด้วยว่า เซ็ตเหล่านี้เป็นเซ็ตที่ นับได้ เพราะเราสามารถเขียนแจกแจงออกมาได้ทุกตัว) ผลลัพธ์ที่ได้ขัดกับความรู้สึกรึเปล่า เพราะเรารู้มาว่า N ฬ Z ฬ Q ดังนั้นมันควรจะได้ผลลัพธ์เป็น n(N) < n(Z) < n(Q) แสดงว่าการเทียบเท่ากันของเซ็ต ไม่ได้หมายความว่า จะได้จำนวนสมาชิกเท่ากันด้วย ส่วนสาเหตุที่เป็นเช่นนั้นอาจเป็นไปได้ว่า การกำหนดวิธีการตรวจสอบดังกล่าว ใช้ได้ผลกับเซ็ตที่มีจำนวนสมาชิกจำกัดเท่านั้น ใช้ไม่ได้กับเซ็ตที่มีจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์ หรือไม่ก็ต้อง ไปคิดกันใหม่ว่า เท่ากันคืออะไร ไม่เท่ากันคืออะไร มากกว่าคืออะไร น้อยกว่าคืออะไร

แล้วกรณีเซ็ตของจำนวนจริงละ เทียบเท่ากันกับเซ็ตของจำนวนนับหรือไม่ สำหรับปัญหาข้อนี้ Cantor ได้แสดงให้เห็นว่าเซ็ตของจำนวนจริง นับไม่ได้ และมีจำนวนมากกว่าเซ็ตของจำนวนนับ สำหรับการพิสูจน์จะใช้วิธี contradiction

โดยสมมติให้ เซ็ตของจำนวนจริงนับได้ ดังนั้นจึงสามารถ เขียนแสดงความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับเซ็ตของจำนวนนับได้ สมมติว่าเราได้ลำดับของจำนวนจริงออกมาดังรายการข้างล่าง (เอามาเพียงช่วงต้นๆ)

3	.	1	4	1	5	9	...
1	.	4	1	4	2	1	...
1	.	7	3	2	0	5	...
2	.	2	3	6	0	6	...
2	.	7	1	8	2	8	...
0	.	1	4	2	8	5	...

เราจะแสดงให้เห็นว่า มีจำนวนจริงที่ไม่อยู่ในรายการดังกล่าว ขอให้สังเกตตัวเลขในแนวทแยงมุมเป็นสำคัญ (ตัวหนาและขีดเส้นใต้) เราจะเริ่มต้นจากการ
เลือกตัวเลขในหลักที่ 1 ให้ไม่ตรงกับตัวเลขในแถวที่ 1 คอลัมน์ที่ 1 สมมติว่าเราเลือกเลข 2
เลือกตัวเลขในหลักที่ 2 ให้ไม่ตรงกับตัวเลขในแถวที่ 2 คอลัมน์ที่ 2 สมมติว่าเราเลือกเลข 3
เลือกตัวเลขในหลักที่ 3 ให้ไม่ตรงกับตัวเลขในแถวที่ 3 คอลัมน์ที่ 3 สมมติว่าเราเลือกเลข 2
เลือกตัวเลขในหลักที่ 4 ให้ไม่ตรงกับตัวเลขในแถวที่ 4 คอลัมน์ที่ 4 สมมติว่าเราเลือกเลข 5
เลือกตัวเลขในหลักที่ 5 ให้ไม่ตรงกับตัวเลขในแถวที่ 5 คอลัมน์ที่ 5 สมมติว่าเราเลือกเลข 1
เลือกตัวเลขในหลักที่ 6 ให้ไม่ตรงกับตัวเลขในแถวที่ 6 คอลัมน์ที่ 6 สมมติว่าเราเลือกเลข 4
ทำเช่นนี้ไปเรื่อยๆ เราจะได้ว่า จำนวนจริงที่เราหามาได้(2.32514...) จะไม่ซ้ำกับทุกจำนวนจริงที่ปรากฏในรายการดังกล่าวเลย (เพราะจะมีอยู่หลักหนึ่งซึ่งค่าไม่ตรงกันเสมอ) ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ดังนั้นเราจึงไม่สามารถเขียนแสดงความสัมพันธ์ แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับเซ็ตของจำนวนนับได้

สำหรับการพิสูจน์อันนี้พี่ก็ยังงงๆอยู่ อาจเข้าใจอะไรบางอย่างผิดไป คือหากเราลองนำวิธีพิสูจน์นี้มาดัดแปลงใช้ ในการพิสูจน์ว่า เซ็ตของจำนวนนับ ไม่สามารถเขียนแสดงความสัมพันธ์ แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับเซ็ตของจำนวนนับได้ ก็น่าจะได้ กล่าวคือ เราลองแสดงรายการของจำนวนนับทั้งหมดออกมา จากนั้นจะมีวิธีเลือกจำนวนนับที่ไม่ซ้ำกับจำนวนนับที่อยู่ในรายการออกมาได้ โดยเริ่มจากการเลือกเลขหลักหน่วย ที่ไม่ซ้ำกับตัวเลขในหลักหน่วยของแถวแรก เลือกเลขหลักสิบ ที่ไม่ซ้ำกับตัวเลขในหลักสิบของแถวที่สอง ทำซ้ำเช่นนี้ไปเรื่อยๆ ก็จะได้จำนวนนับที่ไม่ซ้ำกับในรายการดังกล่าวเช่นกัน

ก็เป็นเพียงความคิดเห็นเล็กๆน้อยๆครับ รอผู้รู้ตัวจริงจะดีกว่า
-----------------------------------------------------
สำหรับสองกระทู้ข้างล่างนี้ เป็นกระทู้ประวัติศาสตร์อันหนึ่ง แห่งห้องหว้ากอ ที่น่าสนใจและยาวมากๆ ต้องตั้งสติให้ดีขณะอ่าน ไม่งั้นลมปราณอาจแตกซ่านได้ (ถ้าที่นี่มีการถกปัญหาคณิตศาสตร์ แบบสองกระทู้นี้ได้จะดีมากครับ )
ถ้าให้ A = { X | X is a set } แล้วขอถามว่า A เป็น set ใช่หรือไม่?
ลูกถามเลขมา...ตอบไม่ได้...ช่วยตอบที

[warut]

ตอบคุณ TOP นะครับ (แม้ผมจะไม่ได้รู้และสนใจ set theory เท่าไหร่นัก )

เราเรียกจำนวนสมาชิกของเซ็ตว่า cardinality ของเซ็ต และกำหนดให้เซ็ตที่เทียบ
เท่ากันมี cardinality เดียวกัน ดังนั้นเราจึงถือว่า N และ Z ต่างก็มี
จำนวนสมาชิกเท่ากัน

จริงๆแล้วนิยามของเซ็ตอนันต์ก็คือเซ็ตที่มี proper subset ที่เทียบเท่ากับตัวมันเอง

เรามักใช้ตัว Aleph (ซึ่งเป็นอักษร Hebrew ตัวแรก) ห้อยด้วย 0 เพื่อแทน card(N)
แต่สมัยก่อนใช้ w ซึ่งผมก็จะขอใช้ตัวนี้แทนไปก่อน เราเรียก w ว่าเป็น
first transfinite cardinal เพราะ N เป็นเซ็ตอนันต์ที่เล็กที่สุด

เราใช้ c แทน card(R) และเราเรียกมันว่า cardinality of continuum

เรารู้ว่า cardinality ของ P(A) (power set ของ A) จะใหญ่กว่า card(A) เสมอ
พูดให้ชัดเจนลงไปได้ว่า card(P(A)) = 2^card(A) > card(A)
และเรายังรู้ด้วยว่า
w = card(N) = card(Z) < card(P(N)) = 2^w = c

ปัญหาที่สำคัญมากที่สุดอันนึงใน set theory ก็คือมีเซ็ต X ที่
w < card(X) < c หรือไม่ (continuum hypothesis)

สำหรับการใช้ Cantor's diagonal argument ในการพิสูจน์ uncountability
ของ R นั้นเป็นเรื่องละเอียดอ่อนมาก แม้แนวคิดหลักจะเหมือนกับที่คุณ TOP
แสดง แต่โดยทั่วไปแล้วเค้าพิจารณาเฉพาะช่วง [0, 1) นั่นคือพิจารณาเฉพาะจำนวนที่
อยู่ในรูป 0.xxxxxx...

ส่วนเรื่องปัญหาการใช้ Cantor's diagonal argument กับ N นั้นเกิด
จากตัวเลขที่คุณ TOP สร้างขึ้นมานั้นมันมีค่าเป็นอนันต์ มันไม่ใช่จำนวนนับอะครับ

พูดถึง pantip ผมไม่ได้เข้าไปเล่นมานานหลายปีแล้ว ไม่คิดว่าจะคึกคักกันขนาดนี้
แต่ผมชอบที่นี่มากกว่านะครับ เพราะผมว่าโดยเฉลี่ยแล้วคนที่นี่ nice กว่าเยอะเลย

[ToT]

อืม ... พอจะเข้าใจขึ้นมาบ้างครับ แต่ยังงงๆเรื่อง Cantor อยู่

[TOP]

ขอบคุณ คุณ warut ครับ สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม แต่ยังสงสัยอยู่หลายประเด็นดังนี้

• cardinaltity ใช้กับเซ็ตจำกัดได้หรือไม่ หรือใช้กับเซ็ตที่มีจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์เท่านั้น
• cardinality ถูกสร้างขึ้นเพื่อหลีกเลี่ยง ไม่ต้องไปยุ่งเกี่ยวกับ ฅ ?
• ทำไม 2^w = c

[warut]

ท cardinality ใช้กับเซ็ตจำกัดได้ครับเช่น card({0, 1}) = 2
ท คือ Cantor พบว่าอนันต์มันไม่ได้มีอยู่แค่หนึ่งเดียวก็เลยต้องมีการแยกแยะกันออกไปนะครับ
ท แนวคิดคร่าวๆก็คือเราสามารถ map สับเซ็ตแต่ละอันของ N
ไปยัง (0, 1) ได้ด้วยเทคนิคในตัวอย่างต่อไปนี้ครับ
{ 1, 2, 3 } ฎ 0.111000... (ฐาน 2)
{ 2, 3, 5 } ฎ 0.011010... (ฐาน 2)

[TOP]

ขอบคุณครับ ปัญหาเรื่อง cantor นี่เข้าใจยากจัง ยังมีอีกหลายประเด็นที่ยังไม่เข้าใจ ก็คือ

• จากเรื่องการใช้ Cantor's diagonal argument กับจำนวนนับที่ได้เคยถามไปแล้ว คือผมมองว่าตราบใดที่ ในรายการของจำนวนนับดังกล่าวไม่มี ฅ ปรากฏให้เห็น(ซึ่งผมก็เชื่อว่าไม่มี หรือใครเขียนจำนวนนับตัวนั้นออกมาให้เห็นได้บ้าง ) จำนวนนับที่ผมหามาได้ก็จะไม่มีทางไปถึง ฅ ครับ
• ดูจากการ mapping แล้ว จะได้ว่า 2^w = card((0,1)) ยังไม่ได้ครอบคลุมไปถึง R มีเทคนิคอะไรเชื่อมโยงไปยัง R อีกรึเปล่าครับ
• ผมคิดว่า Cantor's diagonal argument ได้ให้ข้อสรุปแล้วว่า รูปแบบการเขียนแสดงค่าของจำนวน ที่เราใช้กัน แสดงได้เฉพาะจำนวนตรรกยะเท่านั้น ดังนั้นหากเรานำเอา Cantor's diagonal argument มาใช้กับ (0,1) ที่โดน mapping เราจะพบว่ามีจำนวนจริง(จำนวนอตรรกยะ) ในช่วงดังกล่าว ที่ไม่โดน mapping เสมอ นั่นก็หมายความว่า 2^w = card(Q(0,1))

[warut]

ท จำนวนที่ได้ออกมามันจะเป็นอะไรคล้ายๆอย่างนี้ไงครับ
...155487864012.

ท ก็เพราะ card((0, 1)) = card(R) = c น่ะครับ
หรือถ้าต้องการ explicit mapping ก็เช่น x ฎ tan(p(x - 1/2))

ท ข้อนี้งงคำถามมากครับ สิ่งที่ Cantor's diagonal argument พิสูจน์คือ
เซ็ตของจำนวนจริงเป็น uncountably infinite set นี่ครับ ไม่ได้เกี่ยวข้องกับเรื่อง
จำนวนตรรกยะ-อตรรกยะนี่นา

ผมว่าอย่าไปคิดมากเลยครับเรื่องพวกเนี้ย ยิ่งตอนหลังนี่รู้สึกว่าการโคจรของลมปราณ
ของคุณ TOP ชักจะแปลกๆไป แล้วเรื่องนี้ก็ไม่ใช่เรื่องที่ผมถนัดด้วย ผมเองก็มีเค้าว่า
จะโดนธาตุไฟเข้าแทรกอยู่เหมือนกัน ดีไม่ดีเดี๋ยวจะลงเอยแบบ Godel หรือ Lebesgue ได้

[TOP]

ฮ่าๆ อย่าไปสนใจลมปราณของผมเลยครับ(ปล่อยให้มันเพี้ยนๆบ้างก็ดี) ตอนนี้คิดเทคนิคการ mapping จำนวนนับไปยัง (0,1) ได้แล้ว เรียกว่า mirror mapping ดังนี้
1 ฎ 0.1
2 ฎ 0.2
34 ฎ 0.43
567 ฎ 0.765
8910 ฎ 0.0198
อย่างนี้จะถือว่า card(N) = card((0,1)) หรือไม่

[warut]

mirror mapping ของคุณ TOP มันไม่ onto นี่ครับ ยกตัวอย่างเช่น
เราไม่สามารถหาจำนวนนับ n ที่จะถูก map ไปยัง 1/3 = 0.333333... ได้

[TOP]

ถ้ากรณีที่ผมยกขึ้นมาไม่สามารถ mapping ไปยัง 0.33333... ได้ ผมว่า กรณีที่คุณ warut ยกขึ้นมาก็ไม่สามารถหา subset ที่ mapping ไปยัง 0.01010101...₂ ได้เช่นกัน (0.33333... = 0.01010101...₂) เพราะใน subset นั้นจะต้องมีจำนวนนับ ที่เกิดขึ้นมีค่าเป็น ฅ เช่นเดียวกับ ที่ไม่สามารถหาจำนวนนับที่ mapping กับ 0.33333... ได้ ดังนั้นหาก subset ที่ว่ายอมให้ มีค่าดังกล่าวได้ กรณีที่ผมยกขึ้นมาก็ควรจะมีค่าดังกล่าวได้ด้วยเช่นกัน

[warut]

ผมว่าคุณ TOP กำลังสับสนจริงๆแล้วนะเนี่ย แต่ผมจะลองพยายามดูอีกสักครั้ง

พิจารณาช่วง (2, 3) จะเห็นว่า (2, 3) เป็นเซ็ตอนันต์ แต่ไม่มีสมาชิกตัวไหนใน (2, 3)
ที่มีค่าเป็นอนันต์เลย ฉันใดก็ฉันนั้นถ้าแทนที่ (2, 3) ด้วย R หรือ N ทุกอย่าง
ก็ยังคงเหมือนเดิม อย่าลืมนะครับว่าไม่มีสมาชิกตัวไหนเลยใน N ที่มีค่าเป็นอนันต์
เพียงแต่ N มีจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์ ตรงนี้สำคัญมากถ้าไม่ทำความเข้าใจให้ตรงกัน
ก่อนก็ไม่มีประโยชน์อะไรที่จะไปพูดถึงเรื่อง mapping

0.3333... ใน mirror mapping ของคุณ TOP ตรงกับ ...3333. = 3 + 3*10 + 3*10² + 3*10³ + ... ซึ่งไม่ใช่จำนวนนับ
ส่วน 0.010101...₂ ของผมนั้นตรงกับเซ็ต { 2, 4, 6, ... } มันต่างกันมากเลยนะครับ

[TOP]

จาก "N = { 1 , 2 , 3 , ... } มีจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์ แต่ไม่มีสมาชิกตัวไหนเลยใน N ที่มีค่าเป็นอนันต์" ถ้าผมทำอย่างนี้ละ
... 3333 = 3 + 3*10 + 3*10² + 3*10³ + ...
ด้านขวามือของสมการคือ ผลรวมของสมาชิกในเซ็ต { 3 , 30 , 300 , 3000 , ... } ซึ่งมีเป็นจำนวนอนันต์เทอม แต่ไม่มีเทอมใดเลยที่ มีค่าเป็นอนันต์ แล้วค่ามันจะเป็นอนันต์ได้อย่างไร (สมบัติปิดการบวก) อ๊าก! ปวดหัว ไม่มีใครช่วยคิดเลย ลองเอาคำถามนี้ไปคิดกันเล่นๆดูนะครับ

จงบอกว่าข้อใดถูก ข้อใดผิด
1) 0.3333 ... ฮ { 0.3 , 0.33 , 0.333 , 0.3333 , ... }
2) ... 3333 ฮ { 3 , 33 , 333 , 3333 , ... }
3) ถ้า A เป็น countable set แล้ว n(A) ฮ N
4) N มีจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์ แต่ไม่มีสมาชิกตัวไหนเลยใน N ที่มีค่าเป็นอนันต์

[warut]

สมบัติปิดการบวกใช้ได้กับการบวกเป็นจำนวนจำกัดครั้งเท่านั้นครับ

ลองคิดเปรียบเทียบกับความจริงที่ว่า
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ... = ln 2
ถ้าคิดอย่างที่คุณ TOP ว่าข้อความนี้มันก็ต้องผิดเพราะข้างซ้ายเป็นจำนวนตรรกยะ
ทั้งหมดแต่ข้างขวาเป็นจำนวนอตรรกยะ

การกระทำอะไรในทางคณิตศาสตร์ที่เป็นอนันต์ครั้งเป็นเรื่องที่ต้องระมัดระวังมาก
เพราะผลมันอาจแตกต่างกับการกระทำเป็นจำนวนจำกัดครั้งได้ และที่สำคัญที่สุดคือ
อย่าลืมว่า ฅ นั้นไม่ใช่จำนวนจริงนะครับ

1. ผิด แต่ว่า 0.3333... = sup { 0.3, 0.33, 0.333, ... } = lub { 0.3, 0.33, 0.333, ... }
2. ผิด แต่ว่า ฅ = sup { 3, 33, 333, 3333, ... }
3. ผิด เช่น A = N
4. ถูกต้องครับ