ช่วยคิดหน่อยครับ

[Psychoror]

$a=\sqrt{82-\sqrt{58-a}}$
$b=\sqrt{82+\sqrt{58-b}}$
$c=\sqrt{82-\sqrt{58+c}}$
$d=\sqrt{82+\sqrt{58+d}}$
แล้วจงหาค่าของ $abcd$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Psychoror

$a=\sqrt{82-\sqrt{58-a}}$
$b=\sqrt{82+\sqrt{58-b}}$
$c=\sqrt{82-\sqrt{58+c}}$
$d=\sqrt{82+\sqrt{58+d}}$
แล้วจงหาค่าของ $abcd$

ชอบโจทย์ข้อนี้จังเลยครับ ไม่ทราบว่าไปได้แต่ใดมา
ตอบ 6666 ครับ

Hint:

พิสูจน์ว่า $a,b,-c,-d$ เป็นรากของพหุนามกำลังสี่ตัวเดียวกัน จากนั้นใช้ความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์

[Psychoror]

ขอบคุณมากๆๆๆๆครับ เข้าใจแล้วครับ

[Psychoror]

กรุณาช่วยอีกหน่อยนะครับ ทำไม่ได้จริงๆอ่ะครับ (อาจจะมีอีกสามสี่ข้ออ่ะครับ) *** ลืมอ่านครับ คือโจทย์นี้ IMC ภูมิภาคอ่ะครับ
1. $$a^2-2a=-1$$
$$b^2-3b=1$$
$$c^2-4c=-1$$
แล้ว $3a^3-b^3+c^3+\frac{3}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+200$ มีค่าเท่าไร


2. $x_1+x_2+x_3=4 , x_2+x_3+x_4=6 , x_3+x_4+x_5=8 , x_4+x_5+x_6=12$
$ x_5+x_6+x_7=15 , x_6+x_7+x_8=19 , x_7+x_8+x_9=23 , x_8+x_9+x_{10}=27$
$x_9+x_{10}+x_1=30 , x_{10}+x_1+x_2=36$
แล้ว $3x_1+4x_{10}$ มีค่าเท่าใด

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Psychoror

กรุณาช่วยอีกหน่อยนะครับ ทำไม่ได้จริงๆอ่ะครับ (อาจจะมีอีกสามสี่ข้ออ่ะครับ) *** ลืมอ่านครับ คือโจทย์นี้ IMC ภูมิภาคอ่ะครับ
1. $$a^2-2a=-1$$
$$b^2-3b=1$$
$$c^2-4c=-1$$
แล้ว $3a^2-b^3+c^3+\frac{3}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+200$ มีค่าเท่าไร


2. $x_1+x_2+x_3=4 , x_2+x_3+x_4=6 , x_3+x_4+x_5=8 , x_4+x_5+x_6=12$
$ x_5+x_6+x_7=15 , x_6+x_7+x_8=19 , x_7+x_8+x_9=23 , x_8+x_9+x_{10}=27$
$x_9+x_{10}+x_1=30 , x_{10}+x_1+x_2=36$
แล้ว $3x_1+4x_{10}$ มีค่าเท่าใด

ข้อ 2 โจทย์เป็น $3a^3-b^3+c^3+\frac{3}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+200 $ หรือเปล่าคับ

HINT

$$1)~~a^3+\frac{1}{a^3} =(a+\frac{1}{a} )(a^2-1+\frac{1}{a^2} )$$
$$\because~~ a^2-2a=-1 \Rightarrow a+\frac{1}{a}=2 ~~and~~a^2-1+\frac{1}{a^2}=1$$
ทำอย่างนี้กับทุกพจน์ที่มีนะครับก็จะได้คำตอบออกมา
2) นำทุกพจน์มาบวกกัน จะได้ $3(x_1+x_2+x_3+...+x_{10})=...$ แล้วกำจัดพจน์ 1-9 ก็จะได้ค่า $x_{10}$ แล้วกำจัดพจน์ 2-10 ก็จะได้ค่า $x_1$ ครับ

[Psychoror]

แหะๆๆๆ ขอโทษทีครับ พิมพ์ผิด ได้แล้วครับ ขอบคุณมากครับ

[Anonymer]

นำมาบวกกันหมดจะได้
$\displaystyle{\sum_{i = 1}^{10} x_i=60}$
และหาสมการ 3 มาบวกกันได้

$\displaystyle{\sum_{i = 1}^{9} x_i=39}$
ได้ $x_{10}=21$
ในทำนองเดียวกันได้ $x_1 = 12$
ก็ตอบ 120 ค่ะ

[Dr.K]

กระทู้เก่า http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=4129
( คำตอบ 6666 )
หมายถึงว่า a = b = -c = -d หรือครับ

[SiR ZigZag NeaRton]

ข้อ 1 โจทย์เป็น $3a^3-b^3+c^3+\frac{3}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+200 $
ตอบ222อ่ะเปล่า

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Dr.K

( คำตอบ 6666 )
หมายถึงว่า a = b = -c = -d หรือครับ --> ไม่ใช่อย่างนั้นหรอกครับ

แบบว่ามีสมการกำลังสี่ อยู่หนึ่งชุด ที่มีรากของสมการอยู่ 4 ตัว คือ a, b, e และ f
โดยที่ e = -c และ f = -d ($ค่าของ abcd = abef$ครับ) แล้วเราจะได้รูปสมการใหม่เป็น
$a=\sqrt{82-\sqrt{58-a}}$ ---- (1)
$b=\sqrt{82+\sqrt{58-b}}$ ---- (2)
$-e=\sqrt{82-\sqrt{58-e}}$ ---- (3)
$-f=\sqrt{82+\sqrt{58-f}}$ ---- (4)

ผมจะแปลงสมการที่ 3 ให้ดูเป็นตัวอย่างนะครับ (เพื่อที่จะทำให้เข้าใจได้ง่ายขึ้น)
ยกกำลังสองได้ $e^2 = 82-\sqrt{58-e}$
ลบด้วย 82 ได้ $e^2-82 = -\sqrt{58-e}$
ยกกำลังสองได้ $e^4-164e^2+6724 = 58-e$
จัดรูปสมการได้ $e^4-164e^2+e+6666 = 0$ (แสดงว่า e เป็นรากหนึ่งของสมการ $x^4-164x^2+x+6666 = 0$)

ทำแบบเดียวกันก็จะได้ว่า a, b, e และ f ทั้งสี่ตัวเป็นรากของสมการ $x^4-164x^2+x+6666 = 0$ นั่นเอง ---- (5)

และจะได้ว่า (x-a)(x-b)(x-e)(x-f) = 0 หรือ $x^4+kx^3+mx^2+nx+abef = 0$ ---- (6)

เมื่อเทียบส.ป.ส ระหว่างสมการ (5)กับ(6) จะได้ว่า abcd = abef = 6666 จบครับ