ถามเกี่ยวกับ MYMATHS หน่อยครับ

[gools]

เห็นพี่ธนสินเขาว่าสามารถใช้แคลคูลัสในการแก้ปัญหา IMO ได้ รบกวนพวกพี่ๆช่วยยกตัวอย่างโจทย์ IMO แล้วแสดงวิธีทำโดยใช้แคลคูลัสแก้ให้หน่อยครับ

[nooonuii]

ก็น้อง Gools ใช้มันอยู่บ่อยๆไม่ใช่เหรอครับ พิสูจน์อสมการโดยใช้คุณสมบัติของ convex หรือ concave function พวกนี้ต้องเช็คโดยใช้อนุพันธ์ทั้งนั้นแหละครับ

[gon]

ตัวอย่างหนึ่งที่เ็ห็นได้ชัดก็คือ IMO 1984 ครับ.
จงพิสูจน์ว่า สำหรับทุกจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ x, y, z โดยที่ x + y + z = 1 จงแสดงว่า
\[0 \le yz + zx + xy - 2xyz \le \frac{7}{27} \]

ขั้นที่ 1: จะแสดงว่า \(0 \le yz + zx + xy - 2xyz \)
อันนี้ไม่ใช้แคลคูลลัสก็ได้ครับ. เพราะเห็นได้ชัดว่าถ้าจัดรูปเป็น \(z(x+y) + xy(1-2z) \)
แต่ x + y + z = 1 จะต้องมีอย่างน้อย 1 ค่าใน 3 ค่าที่มีค่าน้อยกว่า 1/2 ดังนั้น \(z(x+y) + xy(1-2z) \ge 0\)

ขั้นที่ 2 อันนี้จะใช้แคลลูลัสได้ดังนี้
ให้ \( f(x, y, z) = yz + zx + xy - 2xyz \Rightarrow f'(x , y , z) = (z+y-2yz, z+x-2xz, y+x-2xy) \) โดยที่ \(g(x, y, z) = x + y + z = 1 \Rightarrow grad \, g(x, y, z) = (1, 1, 1) \)

โดย Lagrange Multipliers จะมี k ที่ทำให้ \(f'(x, y, z) = k \, grad \, g(x, y, z)\)

ดังนั้น \(z + y - 2yz = z + x - 2xz = y + z - 2xy = k\)
เมื่อระบบสมการจะได้ \((x, y, z) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)\) และ cyclic หรือ \((x, y, z) = (\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})\)

ดังนั้นที่เราต้องการคือ \(f(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{2}{27} = \frac{7}{27}\)