NICE FROM SMO 2004

[LightLucifer]

Find all the pairs of integers $(x,y)$ satisfying the equation
$$(x^2-y^2)^2=1+16y$$

ปล. ผมคิดว่า NICE นะ แต่คงง่ายไปสำหรับหลายคนในบอร์ด

[Suwiwat B]

ทำยังไงเหรอครับ Hint หน่อย ๆๆๆ

[LightLucifer]

พิจรณากรณี $x,y\geqslant 1$ แล้วใช้การบาวค่าดูอ่ะครับ

ส่วนกรณีอื่นก็แทนค่า $x=0$ หรือ $y=0$ แล้วแก้สมการดูอ่ะครับ

[nut@satit]

$(x^2-y^2+1)(x^2-y^2-1)=16y$
$x<y x=y-k$
$x>y x=y+k$
ครับ
หลังจากนั้นสมการจะติดในรูปของ k,y ที่เหลือก็แก้ได้ไม่ยากครับ

[[FC]_Inuyasha]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nut@satit

$(x^2-y^2+1)(x^2-y^2-1)=16y$
$x<y x=y-k$
$x>y x=y+k$
ครับ
หลังจากนั้นสมการจะติดในรูปของ k,y ที่เหลือก็แก้ได้ไม่ยากครับ

ตรงสีแดงมาได้ไงครับ

[Amankris]

น่าจะหมายถึง
case1 ; x<y ---> x=y-k
case2 ; x>y ---> x=y+k

[[FC]_Inuyasha]

เอ่อ คุณ Amankris ครับ โจทย์ที่ผมโพสไป ผมไม่เข้าใจบางส่วน
ถ้าว่างๆก็เข้าไปตอบด้วยนะครับ

[Amankris]

ลองทำดูแล้ว ก็สนุกดีนะ
$(x^2-y^2)^2=1+16y$ ---(*)

case $y\leqslant -1$ ไม่มีคำตอบ
case $y=1,2,4$ ไม่มีคำตอบ
case $y=0$ ได้ $(x,y)=(1,0),(-1,0)$
case $y=3$ ได้ $(x,y)=(4,3),(-4,3)$
case $y\geqslant 5$

Outline

ได้ว่า $(2y-4)^2>17$ ดังนั้น $4y^2>16y+1$

จาก (*) ; $(x^2-y^2)^2<4y^2$

$-2y<x^2-y^2<2y$

$(y-2)^2<y^2-2y<x^2<y^2+2y<(y+1)^2$

$(y-2)^2<x^2<(y+1)^2$

แต่ $x^2\not= y^2$ ดังนั้น $x^2=(y-1)^2$

แทนใน (*) ; $(2y-1)^2=1+16y$ นั่นคือ $y=5$ และ $x=4,-4$

$(x,y)=(4,5),(-4,5)$

[[FC]_Inuyasha]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

ลองทำดูแล้ว ก็สนุกดีนะ
$(x^2-y^2)^2=1+16y$ ---(*)

$
case $y=3$ ได้ $(x,y)=(5,3),(-5,3)$
case $y\geqslant 5$

Outline

ได้ว่า$(2y-4)^2>17$ดังนั้น $4y^2>16y+1$

จาก (*) ; $(x^2-y^2)^2<4y^2$

$-2y<x^2-y^2<2y$

$(y-2)^2<y^2-2y<x^2<y^2+2y<(y+1)^2$

$(y-2)^2<x^2<(y+1)^2$

แต่ $x^2\not= y^2$ ดังนั้น $x^2=(y-1)^2$

แทนใน (*) ; $(2y-1)^2=1+16y$ นั่นคือ $y=5$ และ $x=4,-4$

$(x,y)=(4,5),(-4,5)$

-case y=3 พอแทน(x,y)=(5,3)ค่าแล้วไม่เป็นจริงตามที่อ่ะครับ
-ตรงสีเขียวมันมาได้อย่างไรครับ ช่วยอธิบายเพิ่มเติมหน่อยครับ

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [FC]_Inuyasha

-case y=3 พอแทน(x,y)=(5,3)ค่าแล้วไม่เป็นจริงตามที่อ่ะครับ
-ตรงสีเขียวมันมาได้อย่างไรครับ ช่วยอธิบายเพิ่มเติมหน่อยครับ

-ฮาๆ พิมพ์ผิด

-ก็ $y\geqslant 5$ ไงคับ

[[FC]_Inuyasha]

$y\geqslant 5$นั่นรู้ครับ แต่ว่าเอาไปแทนตรงไหนครับ จึงได้อสมการสีเขียวมา

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [FC]_Inuyasha

ั$y\geqslant 5$นั่นรู้ครับ แต่ว่าเอาไปแทนตรงไหนครับ จึงได้อสมการสีเขียวมา

$y\geqslant 5$

$(2y-4)^2\geqslant (2(5)-4)^2=(10-4)^2=6^2=36>17$

[[FC]_Inuyasha]

ไม่ใช่หยั่งงั้นครับ
ที่คุณ Amankris แทนค่าให้ผมดู อันนั้นคือพิสูจน์ว่าอสมการเป็นจริงเมื่อ y มากกว่าเท่ากับ5
คุณAmankris คงไม่ได้อสมการนี้มาโดยอยู่ดีๆก้ผุดขึ้นมาในหัวหรอก ใช่ไหมครับ
ถ้าไม่ได้เดาช่วยบอกได้ไหมครับ ว่ามันมาจากไหน
ปล.หวังว่าคุณ Amankris จะยังคงไม่รำคาญนะครับ

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [FC]_Inuyasha

ไม่ใช่หยั่งงั้นครับ
ที่คุณ Amankris แทนค่าให้ผมดู อันนั้นคือพิสูจน์ว่าอสมการเป็นจริงเมื่อ y มากกว่าเท่ากับ5
คุณAmankris คงไม่ได้อสมการนี้มาโดยอยู่ดีๆก้ผุดขึ้นมาในหัวหรอก ใช่ไหมครับ
ถ้าไม่ได้เดาช่วยบอกได้ไหมครับ ว่ามันมาจากไหน
ปล.หวังว่าคุณ Amankris จะยังคงไม่รำคาญนะครับ

ไม่รำคาญหรอกคับ

แต่ผมยังไม่เข้าใจคำถามเท่าไร

[[FC]_Inuyasha]

กรรม คือที่คุณAmankris #15ทำให้ผมรู้ว่าอสมการเป็นจริง
แต่ที่ผมถามจริงๆแล้วคือทำอย่างไรถึงจะได้อสมการสีเขียว ออกมา