ต้องการแนวคิดครับ

[Tony]

1. กำหนด F(a,b,c) = \( (a^{3}b-ab^{3})(b^{3}c-bc^{3})(c^{3}a-ca^{3}) \)
1.1 จงพิสูจน์ว่า 5 l F(a,b,c)
1.2 จงพิสูจน์ว่า 160 l F(a,b,c)
1.3 จงหาจำนวนเต็มบวก n ที่มากที่สุดที่ทำให้ n l F(a,b,c) ทุกๆจำนวนเต็ม a,b,c

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ Tony:
1. กำหนด F(a,b,c) = \( (a^{3}b-ab^{3})(b^{3}c-bc^{3})(c^{3}a-ca^{3}) \)
1.1 จงพิสูจน์ว่า 5 l F(a,b,c)
1.2 จงพิสูจน์ว่า 160 l F(a,b,c)
1.3 จงหาจำนวนเต็มบวก n ที่มากที่สุดที่ทำให้ n|F(a,b,c) ทุกๆจำนวนเต็ม a,b,c

1.1 จาก \(F(a,b,c)=(a^{3}b-ab^{3})(b^{3}c-bc^{3})(c^{3}a-ca^{3})
=a^2b^2c^2(a^2-b^2)(b^2-c^2)(c^2-a^2)\)
เนื่องจาก \(n^2\equiv0,\pm1\ mod\ 5\) ทุกจำนวนเต็ม n เราจะพิจารณากรณีต่อไปนี้
a) หากอย่างน้อยหนึ่งในสามตัว (a,b,c) หารห้าลงตัว จะได้ 1.1 เป็นจริง
b) หากไม่มีตัวใดหารด้วย 5 ลงตัว จะได้ว่าหนึ่งใน factor ผลต่างกำลังสองต้องหารห้าลงตัว (และจะมีห้าเพียงตัวเดียว) ซึ่งทำให้ 1.1 เป็นจริงเช่นกัน

1.2 โดยไม่เสียนัย เราจะพิจารณากรณีต่อไปนี้
ให้ a>b>c>0 เป็นจำนวนเต็ม
a) ทั้ง a,b,c เป็นเลขคู่ จะได้ 64|F
b) a,b คู่ c คี่ จะได้ \(16|a^2b^2\) และ \(4|a^2-b^2\)
c) a คู่ b,c คี่ จะได้ \(4|a^2\) และ \(8|b^2-c^2\)..(*)
d) a,b,c คี่ จาก (*) จะได้ \(8^3|(a^2-b^2)(b^2-c^2)(c^2-a^2)\)
รวมกับผลที่ได้จากตอน 1.1 ก็จะได้ 1.2

1.3 เนื่องจาก n|F ทุกจำนวนเต็มบวก a,b,c จะได้จาก 1.2 ว่า \(n|2^5\cdot3^3\cdot5=4320\) ด้วย (กรณี (a,b,c)=(3,2,1) นั่นคือ nฃ4320)
เราจะหาจำนวนนับ k ที่มากที่สุดที่ทำให้ \(3^k|F\) สำหรับทุก a,b,c
เนื่องจาก \(n^2\equiv0,1\ mod\ 3\) ทุกจำนวนเต็ม n โดยการแจงกรณีในลักษณะเดียวกับ 1.1 และ 1.2 เราจะได้ k=3 ดังนั้น n=4320

[gools]

ผมว่าให้ \(a,b,c\) เป็นจำนวนเต็มคู่ทั้งหมด 1.1 จะไม่เป็นจริงนะครับ

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ gools:
ผมว่าให้ \(a,b,c\) เป็นจำนวนเต็มคู่ทั้งหมด 1.1 จะไม่เป็นจริงนะครับ

ขอขยายความ 1.1 ต่อจากด้านบนนิดนึง
หากทั้ง a,b,c เป็นเลขคู่ จะได้ว่า a,b,c ลงท้ายด้วย 0,2,4,6,8 ซึ่งเมื่อยกกำลังสองแล้วจะลงท้ายด้วย 0,4,6
หากมีอย่างน้อยหนึ่งตัวลงท้ายด้วยศูนย์ 1.1 จะจริง
หากไม่มีตัวใดลงท้ายด้วยศูนย์ ใน \(a^2,b^2,c^2\) ต้องมีอย่างน้อยสองตัวที่ลงท้ายซ้ำกัน ลบกันแล้วจะได้เลขท้ายเป็นศูนย์ ดังนั้น 1.1 เป็นจริงครับ

[Tony]

OoO ขอบคุณสำหรับแนวคิดครับ

2. วันศุกร์ที่ 13 มีความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น เมื่อเปรียบเทียบกับวันอื่นๆในรอบสัปดาห์ ในเวลา 400 ปี มีมากน้อยเท่าใด

[R-Tummykung de Lamar]

ขอแนวคิดอีกข้อนะครับ

3.กำหนด \( \displaystyle{x^2+y^2+z^2+2004w^2=4w(x+y+z)} \)
แล้วค่าของ (x+2)(y+3)(z+4)(w+5)เป็นเท่าไร (เพชรยอดมงกุฎ'47 รอบแรกครับ)

[R-Tummykung de Lamar]

อีกข้อนะครับ
4.ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมใดๆ ต่อด้าน AB ไปที่จุด E แล้ว ต่อ BC ไปที่จุด D จากนั้นลาก AD ตัดกับ BE ที่จุด F ครับ
BC : CD = 5 : 4
AC : CE = 5 : 6
ถ้าให้ AF = mAD
และ BF = nBE
แล้ว \( \displaystyle{\sqrt{m+n}} \) เป็นเท่าไร

[passer-by]

สำหรับข้อ 3 ของน้อง tummykung เมื่อย้ายข้างให้ขวามือเป็นศูนย์ จะได้

\(\large (x-2w)^{2}+(y-2w)^{2}+(z-2w)^{2}+ 1992w^{2}=0 \)

ดังนั้น x=y=z=2w & w=0 สรุปว่า x=y=z=w=0

ข้อนี้จึงตอบ 120

ส่วนข้อ 4
Step 1: จากอัตราส่วนที่โจทย์กำหนด จะได้ พื้นที่ สามเหลี่ยม ABC,BCE ,ACD เป็น 5k, 6k,4k ตามลำดับ สำหรับบางค่า k
Step 2: ลาก ED และใช้อัตราส่วนที่โจทย์กำหนดอีกครั้ง จะได้ พื้นที่สามเหลี่ยม CED เป็น 4.8k
Step 3: ให้พื้นที่สามเหลี่ยม DEF เป็น y ดังนั้น

\( \huge \frac{AD}{DF}=\frac{1}{m-1}=\frac{8.8k}{y}=\frac{9k}{10.8k+y}\)
\(\huge \frac{BE}{EF}=\frac{1}{n-1}=\frac{10.8k}{y}=\frac{11k}{8.8k+y} \)

solve สมการ คู่สุดท้าย บรรทัดใดบรรทัดหนึ่ง ให้ได้ ค่า k/y จากนั้นก็แทนค่าหา m,n จะได้ m=55 , n=45 และทำให้ข้อนี้ ตอบ 10 ครับ

[Tony]

3.<ข้อนี้ผมไม่ค่อยแน่ใจว่าโจทย์มันจะถูกมั้ยนะครับ>
ให้ n เป็นจำนวนเต็มที่ nณ3 และ k เป็นจำนวนเต็มบวก
ให้ A = {1,2,3,...,n} และ B = {1,2,3,...,k}
กำหนด
F(n,k) = {f:AฎB l f(1)นf(2)นf(3)น...นf(n)นf(n+1)}
P(n,k) = {f:AฎB l f(1)นf(2)นf(3)น...นf(n)}
และ f(n,k) = จำนวนฟังก์ชันใน F(n,k)
p(n,k) = จำนวนฟังก์ชันใน P(n,k)
3.1 จงหา F(5,3), P(5,3), f(5,3), p(5,3)
3.2 จงหาตวามสัมพันธ์ระหว่าง f(6,3),p(6,3),f(5,3)
3.3 จงพิสูจน์เพื่อแสดงการหาความสัมพันธ์ระหว่าง f(n,k),p(n,k),f(n-1,k)
3.4 จงหาสูตจรของ f(n,k) และ p(n,k)

[gon]

ถ้ายึดตามนิยามของฟังก์ชันจาก A ไปยัง B ที่ว่า D_f = A และ R_f ฬ B อย่าง F(5, 3) ก็หาไม่ได้ครับ เว้นเสียแต่จะหมายถึง ฟังก์ชันระหว่าง A กับ B (ซึ่งตามหลักสูตรมัธยมปกติ ไม่ได้กล่าวถึง) ซึ่งหมายถึง D_f ฬ A และ R_f ฬ B แบบนี้พอหาได้ครับ.

[Tony]

4. ให้ f:NฎN ที่กำหนดโดย f(1) = 1 , f(2n) = f(n) และ f(2n+1) = f(2n)+1
4.1 จงหาค่ามากที่สุดของ f(n) เมื่อ 1ฃnฃ16
4.2 จงหา n ทุกจำนวน 1 ฃ n ฃ 2548 ที่ทำให้ f(n) มีค่ามากที่สุด
5. ให้ f:NฎR ที่กำหนดโดย \[ f(1)=\frac{1}{2} \]
\[ f(n+1) = (f(n))^{2}+f(n),\ n\geq1 \]
จงหาจำนวนเต็มที่มากที่สุด และน้อยกว่า f(2548)

6.จงหาจํานวนลําดับที่มีความยาว 9 ที่สร้างจากเลข 1 จํานวน 5 ตัว และเลข 2 จํานวน 4 ตัว ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขแต่ละข้อต่อไปนี้
1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม
2 เลข 1 ทั้ง 5 ตัวเรียงติดกัน
3 ไมมี 11 ปรากฏในลําดับ
4 ถ้าอ่านจากซ้ายไปขวาจะต้องพบเลข 1 อย่างน้อย 1 ตัวก่อนที่จะพบเลข 2

7. จงหาจํานวนลําดับ ที่มีความยาว 12 ที่สร้างจากเลข 2 จํานวน 5 ตัว เลข 2 จํานวน 4 ตัว และเลข 3 จํานวน 3 ตัว และสอดคล้องกับเงื่อนไขแต่ละข้อต่อไปนี้
1. ไมมีเงื่อนไขเพิ่มเติม
2. ไมมี 11 ปรากฏในลําดับ
3. ไมมี 11 และ 22 ปรากฏในลําดับ
4. ไมมี 11 หรือ 22 ปรากฏในลําดับ
5. ถ้าอ่านจากซ้ายไปขวา จะต้องพบเลข 1 อย่างน้อย 1 ตัว ก่อนพบเลข 2 และพบเลข 2 อย่างน้อย 1 ตัวก่อนพบเลข 3

8. ให้ M = \( a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{m} \ a_{i}ณ1 \)
จงหาจำนวนลำดับที่มีความยาว n ที่สร้างจาก i จำนวน a_i ตัว
i = 1, 2, 3,...,m โดยที่เมื่ออ่านจากซ้ายไปขวาจะต้องพบ k อย่างน้อย 1 ตัว ก่อนที่ จะพบ k+1 สำหรับทุกๆ k = 1, 2, 3, ..., k-1

[Char Aznable]

ข้อ 4 สังเกตได้ว่า f(2ⁿ-1) = n ทุกจำนวนนับ n
4.1 เห็นได้ x ที่ทำให้f(x)มากที่สุดที่เป็นไปได้คือ x=15 นั่นคือ f(x) มีค่ามากสุดคือ 4
4.2 จะได้ x ที่ให้ค่าf(x)มากที่สุดเพียงจำนวนเดียวคือ 2047 ได้ f(x)=11
ปล.ผมไม่ค่อยแน่ใจวิธีทำนะครับ ขอให้ช่วยตรวจด้วยครับ

[Tony]

4. ถ้าเขียน n ในระบบเลขฐาน 2 จะได้ f(n) คือจำนวนของเลข1 ในระบบเลขฐานสองของ n
เราก็จะทราบว่า f(2047) = 11 แต่ผมไม่แน่ใจว่า จะมี n ที่ \( 2048\leq n \leq 2548 \) ที่มีค่ามากกว่า 11 รึเปล่า

5. ผมได้ \[ f(n)=\frac{(1+2)(1+2+4)(1+2+4+16)...(1+2+4+...+2^{2^{n-1}})}{2^{2^{n-1}}},n\geq2 \]
แต่ผมไม่รู้จะหาค่าตามโจทย์ได้อย่างไร

[Tony]

ช่วยตรวจดูให้ด้วยนะครับ
6.1 \( \frac{9!}{5!4!} \)
6.2 \( \frac{5!}{4!} \)
6.3 1
6.4 \( \frac{8!}{4!4!} \)

7.1 \( \frac{12!}{5!4!3!} \)
7.2 \( \frac{7!}{3!4!}\times\left(\matrix{8\\ 5}\right) \)
7.5 69300 ( ข้อนี้ผมแยกเป็น 5 กรณีครับ)

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อ 4 แน่ใจครับ ว่าไม่มี เหตุผลเพราะ
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1₂ คือ เลขฐานสองจำนวน 11 หลัก ที่ f(n) = 11 (ค่าที่มากที่สุดของ f(n) เมื่อ n เขียนในระบบเลขฐานสองแล้วได้ 11 หลัก)

ต่อจากนั้น สมมติว่า n เขียนแล้วได้ 12 หลักนั่นคือ ต้องมีตัวแรกเป็น 1 จะได้
1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _₂
ซึ่งมีค่าอย่างต่ำ \( \displaystyle{2^{11}\ =\ 2048}\ \ \) แล้ว ตัวต่อมา ถ้าเป็น 1 จะมีค่าอย่างต่ำ \( \displaystyle{2^{11}+2^{10}\ =\ 3072\ >\ 2548} \)
ดังนั้น ตัวที่ 2 จึงเป็น 0 แล้วตัวต่อมากทำนองเดียวกัน คือถ้า เป็น 1 จะมีค่าอย่างต่ำ \( \displaystyle{2^{11}+2^{9}\ =\ 2560\ >\ 2548} \)

ก็จะได้ว่าขึ้นต้นเป็น
1 0 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ ₂
ซึ่งถ้าที่เหลือเป็น 1 หมด f(n) ก็น้อยกว่า 11 อยู่ดีครับ
(ถ้ามีมากกว่านี้ มาตัวแรกก็เกินแล้วครับ)