โจทย์คณิตสอบเข้า Gifted ปีการศึกษา 2556 (ขอนแก่นวิทย์)

[whatshix]

ลูกศิษย์ช่วยกันจำออกมาให้บางข้อ

สุชาติเลือกจำนวนเฉพาะที่มีค่าน้อยกว่า 35 อยู่ 11 ตัว โดยสุชาติเลือก 8 ตัว ได้แก่ A B C D E F G H โดยสุชาติสังเกตว่า A+B=C+D=E+F=G+H จงหาค่าของ A+B

กระดาษมีความกว้าง 20 หน่วย ยาว 24 หน่วย ถ้ากลิ้งวงกลมที่มีรัศมี 2 หน่วย ไปรอบขอบกระดาษ จะมีพื้นที่ที่ไม่ถูกวงกลมกลิ้งทับกี่ตารางหน่วย

จงหาเลขโดดในหลักหน่วย $2^{2556} + 3^{2556}$

จงหาเลขโดดในหลักหน่วย $2^{49} + 2$

ครึ่งหนึ่งของผลบวกของเลขที่อยู่ระหว่าง 22 และ 220 ที่มี 1 เป็นหลักหน่วย เท่ากับเท่าใด

หรือ

ครึ่งหนึ่งของผลบวกของเลขที่อยู่ระหว่าง 20 และ 220 ที่มี 1 เป็นหลักหน่วย เท่ากับเท่าใด

(พอดีว่าโจทย์ 2 ข้อข้างบนเป็นข้อเดียวกันแต่เด็ก 2 คนบอกมา 2 ตัวเลขครับ)

จากรูป เป็นการต่อไม้ขีดไฟเป็นรูปสามเหลี่ยม อยากทราบว่าถ้าต้องการต่อให้ได้รูปสามเหลี่ยม 99 รูป จะต้องใช้ไม้ขีดไฟกี่อัน

นาย ก ซื้อสลากกินแบ่งเลขท้าย2ตัว ตั้งแต่เลข 00-99
นาย ข ซื้อสลากกินแบ่งเลขท้าย2ตัวเป็นเลขคู่ ตั้งแต่เลข 02-98
นาย ค ซื้อสลากกินแบ่งเลขท้าย2ตัวเป็นเลขคี่ ตั้งแต่เลข 01-99
จงเรียงลำดับคนที่มีโอกาสถูกสลากกินแบ่งจากมากที่สุดไปหาน้อยที่สุด

นำลูกบาศก์ขนาด 1 ลูกบาศก์หน่วย จำนวน 48 ชิ้นมาประกอบเป็นทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก กว้าง 4 หน่วย ยาว 3 หน่วย และสูง 4 หน่วย เมื่อทาสีที่บริเวณผิวนอกของทรงสีเหลี่ยมมุมฉากจนครบทุกหน้า จะมีลูกบาศก์ขนาด 1 หน่วยกี่ชิ้น ที่ไม่โดนทาสีที่ด้านใดเลย

สี่เหลี่ยม ABCE เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส โดยมี DC ยาวเป็น 3 เท่าของ ED และมีจุด F เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน AE จงหาอัตราส่วนของพื้นที่ส่วนที่แรเงาต่อพื้นที่ส่วนที่ไม่แรเงา

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mijymijy

สมมุติให้ $ A\otimes B = (A\times B) + 9 $
มุตตาอายุ $ 8\otimes 4 $ ปี
พ่อของมุตตามีอายุเป็น 2 เท่าของมุตตา พ่อของมุตตาอายุเท่าใด

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mijymijy

แม่ค้าขายข้าวหลาม เรียงข้าวหลาม ดังรูป ถ้าเรียง 16 ชั้น ต้องใช้ข้าวหลามกี่กระบอก

[whatshix]

สุชาติเลือกจำนวนเฉพาะที่มีค่าน้อยกว่า 35 อยู่ 11 ตัว โดยสุชาติเลือก 8 ตัว ได้แก่ A B C D E F G H โดยสุชาติสังเกตว่า A+B=C+D=E+F=G+H จงหาค่าของ A+B

5+31 = 7 + 29 = 13 + 23 = 17 + 19 = 36

ตอบ 36

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

3.2556 หารด้วย 4 ลงตัว
$2^{2556}+3^{2556}$ ลงท้าย 6+1=7
4.49 หารด้วย 4 เศษ 1
ดังนั้น $2^{49} $ มีหลักหน่วย =2
$2^{49}+2$ มีหลักหน่วย =4

[whatshix]

กระดาษมีความกว้าง 20 หน่วย ยาว 24 หน่วย ถ้ากลิ้งวงกลมที่มีรัศมี 2 หน่วย ไปรอบขอบกระดาษ จะมีพื้นที่ที่ไม่ถูกวงกลมกลิ้งทับกี่ตารางหน่วย

จากรูปจะเห็นว่าพื้นที่ที่ไม่ถูกกลิ้งทับ เท่ากับ $(16\times12) + [(4\times4) - (3.14\times2\times2)] = 195.44$

ตอบ 195.44 ตารางหน่วย

ปล.ข้อนี้ลุกศิษย์ไม่ได้บอกค่า $\pi $ มา แต่เดาจากตัวเลข น่าจะใช้ 3.14

[whatshix]

จงหาเลขโดดในหลักหน่วย $2^{2556} + 3^{2556}$

หาเลขโดดในหลักหน่วยของ $2^{2556}$
พิจารณา
$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
$2^4 = 16$

$2^5 = 32$
$2^6 = 64$
$2^7 = 128$
$2^8 = 256$

พบว่าเลขชี้กำลังทำให้หลักหน่วยกลับมาเท่าเดิมทุกๆ 4 ตัว
ต้องการหาเลขโดดในหลักหน่วยของ $2^{2556}$
จึงนำ 2556 ไปหารด้วย 4 เหลือเศษ 0
ดังนั้นเลขโดดในหลักหน่วยของ $2^{2556}$ จะเหมือนหลักหน่วยของ $2^4$ ซึ่งก็คือ 6 นั่นเอง

ด้วยวิธีการเดียวกันนี้ เราจะพบว่า เลขโดดในหลักหน่วยของ $3^{2556}$ จะเหมือนหลักหน่วยของ $3^4$ ซึ่งก็คือ 1 นั่นเอง

เลขโดดในหลักหน่วย $2^{2556} + 3^{2556}$ จึงมีค่าเท่ากับ 6+1 = 7

ตอบ 7

[whatshix]

จงหาเลขโดดในหลักหน่วย $2^{49} + 2$

เนื่องจาก 49 หารด้วย 4 เหลือเศษ 1
ดังนั้นเลขโดดในหลักหน่วยของ $2^{49}$ จะเหมือนหลักหน่วยของ $2^1$ ซึ่งก็คือ 2 นั่นเอง

เลขโดดในหลักหน่วย $2^{49} + 2$ จึงเท่ากับ 2 + 2 = 4

ตอบ 4

[whatshix]

ครึ่งหนึ่งของผลบวกของเลขที่อยู่ระหว่าง 22 และ 220 ที่มี 1 เป็นหลักหน่วย เท่ากับเท่าใด

31 + 41 + 51 + 61 + 71 + 81 + 91 + 101 + 111 + 121 + 131 + 141 + 151 + 161 + 171 + 181 + 191 + 201 + 211 <<< 19 ตัว

= $\frac{19}{2}\times(31+211) $ = 2299

ครึ่งหนึ่งของ 2299 = 1149.5

ตอบ 1149.5

ปล.ครั้งแรกที่เฉลย มี 221 เกินมา 1 ตัว ของคุณคุณ FedEx ที่ทักท้วงมาครับ

--------------------------------------------------------------------------------

อันนี้โจทย์เดียวกันแต่อีกตัวเลขนึงครับ (ไม่รู้ว่าตัวเลขไหนเป็นของจริง เฉลยมันทั้ง 2 โจทย์เลยนี่แหละ )

ครึ่งหนึ่งของผลบวกของเลขที่อยู่ระหว่าง 20 และ 220 ที่มี 1 เป็นหลักหน่วย เท่ากับเท่าใด

21+31 + 41 + 51 + 61 + 71 + 81 + 91 + 101 + 111 + 121 + 131 + 141 + 151 + 161 + 171 + 181 + 191 + 201 + 211 <<< 20 ตัว

= $\frac{20}{2}\times(21+211) $ = 2320

ครึ่งหนึ่งของ 2320 = 1160

ตอบ 1160

[whatshix]

จากรูป เป็นการต่อไม้ขีดไฟเป็นรูปสามเหลี่ยม อยากทราบว่าถ้าต้องการต่อให้ได้รูปสามเหลี่ยม 99 รูป จะต้องใช้ไม้ขีดไฟกี่อัน

1 รูป ใช้ 3 อัน = $(1\times2) + 1$
2 รูป ใช้ 5 อัน = $(2\times2) + 1$
3 รูป ใช้ 7 อัน = $(3\times2) + 1$
4 รูป ใช้ 9 อัน = $(4\times2) + 1$
ดังนั้น
99 รูป ใช้ $(99\times2) + 1$ = 198 + 1 = 199 อัน

ตอบ 199

[whatshix]

นาย ก ซื้อสลากกินแบ่งเลขท้าย2ตัว ตั้งแต่เลข 00-99
นาย ข ซื้อสลากกินแบ่งเลขท้าย2ตัวเป็นเลขคู่ ตั้งแต่เลข 02-98
นาย ค ซื้อสลากกินแบ่งเลขท้าย2ตัวเป็นเลขคี่ ตั้งแต่เลข 01-99
จงเรียงลำดับคนที่มีโอกาสถูกสลากกินแบ่งจากมากที่สุดไปหาน้อยที่สุด

ก ซื้อ 100 ตัว
ข ซื้อ 49 ตัว
ค ซื้อ 50 ตัว

ดังนั้น คนที่มีโอกาสถูกมากที่สุดคือ ก ตามด้วย ค และ ข

ตอบ ก>ค>ข

ของจริงใครเค้าจะซื้ออย่างนาย ก เล่า

[mijymijy]

สมมุติให้ $ A\otimes B = (A\times B) + 9 $
มุตตาอายุ $ 8\otimes 4 $ ปี
พ่อของมุตตามีอายุเป็น 2 เท่าของมุตตา พ่อของมุตตาอายุเท่าใด

[mijymijy]

แม่ค้าขายข้าวหลาม เรียงข้าวหลาม ดังรูป ถ้าเรียง 16 ชั้น ต้องใช้ข้าวหลามกี่กระบอก

[whatshix]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mijymijy

สมมุติให้ $ A\otimes B = (A\times B) + 9 $
มุตตาอายุ ปี
พ่อของมุตตามีอายุเป็น 2 เท่าของมุตตา พ่อของมุตตาอายุเท่าใด

มุตตาอายุ $ 8\otimes 4 = (8\times 4) + 9$ = 41 ปี

พ่ออายุเป็น 2 เท่าของมุตตา พ่ออายุ 82 ปี

ตอบ 82 ปี

[whatshix]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mijymijy

แม่ค้าขายข้าวหลาม เรียงข้าวหลาม ดังรูป

ถ้าเรียง 16 ชั้น ต้องใช้ข้าวหลามกี่กระบอก

1 ชั้น = 1
2 ชั้น = 1+2
3 ชั้น = 1+2+3
.
.
.
16 ชั้น = 1+2+3+...+16 = $\frac{16\times 17}{2} = 136$ กระบอก

[FedEx]

ครึ่งหนึ่งของผลบวกของเลขที่อยู่ระหว่าง 22 และ 220 ที่มี 1 เป็นหลักหน่วย เท่ากับเท่าใด

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ whatshix

31 + 41 + 51 + 61 + 71 + 81 + 91 + 101 + 111 + 121 + 131 + 141 + 151 + 161 + 171 + 181 + 191 + 201 + 211 + 221

= (31 + 221) + (41 + 211) + (51 + 201) + ... + (121 + 131) <<< 10 คู่ (20 จำนวน)
= 252 + 252 + 252 + ... + 252 <<< 10 ตัว
= 2520

ครึ่งหนึ่งของ 2520 = 1260

ตอบ 1260

ขอบคุณคุณ whatshix มากครับที่ช่วยเอาข้อสอบมาโพสต์

จำนวนสุดท้ายตามเงื่อนไข น่าจะเป็น 211 รึเปล่าครับ

ถ้าใช่ ครึ่งหนึ่งของผลรวมจะเป็น (31+41+51+....211) / 2 = 2299/2 = 1149.50

[whatshix]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ FedEx

ครึ่งหนึ่งของผลบวกของเลขที่อยู่ระหว่าง 22 และ 220 ที่มี 1 เป็นหลักหน่วย เท่ากับเท่าใด



ขอบคุณคุณ whatshix มากครับที่ช่วยเอาข้อสอบมาโพสต์

จำนวนสุดท้ายตามเงื่อนไข น่าจะเป็น 211 รึเปล่าครับ

ถ้าใช่ ครึ่งหนึ่งของผลรวมจะเป็น (31+41+51+....211) / 2 = 2299/2 = 1149.50

ขอบคุณมากครับ ที่ทักท้วงมา มีตัวสุดท้ายเกินมาจริงๆด้วย -_-")

ปล.ลองถามเด็กอีกคน บอกว่า เป็น 20 - 220 เดี๋ยวกลับไปแก้ใหม่แล้วก็เฉลยมันทั้งสองตัวเลขเลย