euler's theorem

[prophet]

จงแสดงว่า ถ้า p และ qเป็นจำนวนเฉพาะที่ต่างกันแล้ว $p^(q-1) +q^(p-1) \equiv 1 (mod pq)$

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ prophet

จงแสดงว่า ถ้า p และ qเป็นจำนวนเฉพาะที่ต่างกันแล้ว $p^(q-1) +q^(p-1) \equiv 1 (mod pq)$

คุณ prophet หมายถึง

$p^{(q-1)} +q^{(p-1)} \equiv 1 (mod pq)$ หรือเปล่าครับ--------*

หรือ $ p(q-1)+q(p-1)\equiv 1\pmod{pq} $ --------**

ครับเพราะถ้าเป็นอย่าง ** มันไม่ได้อ่ะครับ

[prophet]

เป็นไปตามสมการ* ผมยังพิมพ์ภาษาคอมไม่เก่งครับโทษที

[BLACK-Dragon]

ข้อนี้ยากมากๆเลยครับขอ hint หน่อยได้ไหมครับ
ช่วงนี้ไม่ค่อยมีเวลาเลย

[nongtum]

็#19
Hint: Consider the product $(p^{q-1}-1)(q^{p-1}-1)$

[BLACK-Dragon]

ขอบคุณมากๆครับ

[prophet]

จาก p,q เป็นจำนวนเฉพาะ $\phi (p) = p-1 $ , $ \phi (q) = q-1 $
$P^{(q-1)}\equiv 1 (mod q )$
$q^{(p-1)}\equiv 0 (mod q)$
$P^{(q-1)}+q^{(p-1)}\equiv 1 (mod q)$...............(1)
$q^{(p-1)}\equiv 1 (mod p )$
$p^{(q-1)}\equiv 0 (mod p)$
$P^{(q-1)}+q^{(p-1)}\equiv 1 (mod p)$...............(2)
จาก $(p,q)=1$ และ (1),(2)
$P^{(q-1)}+q^{(p-1)}\equiv 1 (mod pq)$
อาจพิมพ์ผิดนะครับพึงหัดพิมพ์

[BLACK-Dragon]

ช่วงนี้เน็ตไม่ค่อนติด
ขอเยอะๆเลยละกันครับ
นานๆมาที ส่วนข้อเมื่อกี้ขอคุณครับ

แต่ขอบคุณมากนะครับ
ลืมใช้ phi-function สนิทเลย

[prophet]

ลองดูอีกสักข้อดีไหมครับ
ให้$p$เป็นจำนวนเฉพาะที่สอดคล้องกับ$5^{(p^2)}+1\equiv 0(mod p)$ จงหาp=?

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ prophet

ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่สอดคล้องกับ $5^{p^2}+1\equiv 0\pmod{p}$ จงหา $p$

$p=2,3$ เท่านั้น

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ prophet

ลองดูอีกสักข้อดีไหมครับ
ให้$p$เป็นจำนวนเฉพาะที่สอดคล้องกับ$5^{(p^2)}+1\equiv 0(mod p)$ จงหาp=?

$5^{p-1}\equiv 1 \pmod{p}$
$5^p \equiv 5 \pmod{p}$
$5^{p^2} \equiv 5 \pmod{p}$ บรรทัดนี้ผมไม่แน่ใจ
$5^{p^2}+1 \equiv 6 \pmod{p} $
$6\equiv 0 \pmod{p}$

$p$ มีสิทธิ์เป็น $1,2,3,6 p เป็นจำนวนเฉพาะ$
$ p เป็น 2,3$

ขออีกครับ สนุกดี ข้อเมื่อกี้ผิดพลาดตรงไหนบอกครับ

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

$5^{p-1}\equiv 1 \pmod{p}$
$5^p \equiv 5 \pmod{p}$
$5^{p^2} \equiv 5 \pmod{p}$ บรรทัดนี้ผมไม่แน่ใจ.....$5^{p^2} =(5^p)^p$
$(5^p)^p \equiv 5^p \pmod{p} \rightarrow 5^{p^2} \equiv 5 \pmod{p}$
$5^{p^2}+1 \equiv 6 \pmod{p} $
$6\equiv 0 \pmod{p}$

$p$ มีสิทธิ์เป็น $1,2,3,6 p เป็นจำนวนเฉพาะ$
$ p เป็น 2,3$

ไม่รู้ว่าที่ผมเขียนเพิ่มพอจะใช้อธิบายได้ไหมครับ ลองดูเพราะผมก็ไม่คุ้นเรื่องmodๆ

[BLACK-Dragon]

ขอบคุณคุณ กิตติมากครับ
ตรงนั้นผมไม่รู้จะสื่ออกมายังไง
ขอบคุณครับ