อสมการง่ายๆ ช่วยหน่อยน่ะครับ

[[G]enerate]

A.M.-G.M.-H.M.

1. ให้ $a,b,c > 0$ จงแสดงว่า $\frac{ab}{a+b} + \frac{bc}{b+c} + \frac{ca}{c+a} \leqslant \frac{a+b+c}{2}$

2. ให้ $x,y, z > 0$ และ $xyz = 1$ จงพิสูจน์ว่า $\frac{1+xy}{1+x} + \frac{1+yz}{1+y} + \frac{1+zx}{1+z} \geqslant 3$

3. ให้ $a,b,c,d \geqslant 0$ จงแสดงว่า $\sqrt{(a+c)(b+d)} \geqslant \sqrt{ab} + \sqrt{cd} $

4. ให้ $a,b,c > 0$ จงพิสูจน์ว่า $2\sqrt{ab+bc+ca} \leqslant \sqrt{3}\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)} $

5. ให้ $a,b,c > 0$ จงพิสูจน์ว่า $\frac{a+b+c}{3} \geqslant \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}} \sqrt[3]{abc} $

[PP_nine]

1. ให้ $a,b,c > 0$ จงแสดงว่า $\frac{ab}{a+b} + \frac{bc}{b+c} + \frac{ca}{c+a} \leqslant \frac{a+b+c}{2}$

ใช้ AM-HM แยกทีละพจน์ครับ ได้ $\frac{ab}{a+b}=\frac{1}{1/a+1/b} \le \frac{a+b}{4}$

ทำนองเดียวกันก็จะได้ $\frac{bc}{b+c} \le \frac{b+c}{4}$ และ $\frac{ca}{c+a} \le \frac{c+a}{4}$

รวมกันหมดจึงได้ $\frac{ab}{a+b} + \frac{bc}{b+c} + \frac{ca}{c+a} \le \frac{a+b+c}{2}$

2. ให้ $x,y, z > 0$ และ $xyz = 1$ จงพิสูจน์ว่า $\frac{1+xy}{1+x} + \frac{1+yz}{1+y} + \frac{1+zx}{1+z} \geqslant 3$

ข้อนี้ใส่ $xy=\frac{1}{z}$ ลงไปก่อนในพจน์แรก และทำนองเดียวกันกับพจน์หลัง ก็จะได้

$\frac{1+xy}{1+x} + \frac{1+yz}{1+y} + \frac{1+zx}{1+z} = \frac{1+z}{z(1+x)}+ \frac{1+x}{x(1+y)}+ \frac{1+y}{y(1+z)}$

ที่เหลือก็ใช้ AM-GM ตัดกันหมดจนเหลือ 3 ครับ

3. ให้ $a,b,c,d \geqslant 0$ จงแสดงว่า $\sqrt{(a+c)(b+d)} \geqslant \sqrt{ab} + \sqrt{cd} $

การจายสะดวกสุดครับ แล้วค่อยทำ backward โดยยกกำลังสองก่อนเป็น $ab+ad+bc+cd \ge ab+cd+2\sqrt{abcd}$

จัดรูปสวยๆเป็น $ad+bc \ge 2\sqrt{abcd}$ ซึ่งจริงโดย AM-GM



ข้อ 4-5 ขอทิ้งไว้ก่อน ช่วงนี้ไม่ค่อยมีเวลาว่างเท่าไหร่ แวะมาให้เล่นๆ

[[G]enerate]

โอ้! ขอบคุณครับ

[Amankris]

ข้อสุดท้ายไม่จริงนะครับ

[Keehlzver]

ข้อ 4 มันคืออสมการที่ทุกคนรู้จักกันดี แปดส่วนเก้าอะไรซักอย่าง ลองไปทำดูนะครับ เฉลยไปไม่สนุก

ข้อ 5 ตกเงื่อนไขบางอย่างไป ทำให้โจทย์ผิด ถ้าถามว่า จงหาเงื่อนไขที่ทำให้อสมการเป็นจริง เราจะแก้ปัญหาข้อนี้อย่างไรกันดี

EDIT เพิ่ม
ผมว่าโจทย์ตกเงื่อนไข $a^2+b^2+c^2=3$ ไปสำหรับข้อ 5
ส่วนข้อ 4 ผมเจอสองวิธี วิธีแรกใช้อสมการ $(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$

อีกวิธีคือ ให้ $p=a+b+c$ , $q=ab+bc+ca$ , $r=abc$
ยกกำลัง 6 จะได้อสมการ $64q^3\leq 27(pq-r)^2$
กระจายออกมาแล้วใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า $p^2\geq 3q$ ฉะนั้น $27p^2q^2\geq 81q^3$ จบแบบสวยๆ

[template]

1.\[\sum_{cyc}\frac{ab}{a+b}=\sum_{cyc}\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leqslant\sum_{cyc}\frac{a+b}{4}=\frac{a+b+c}{2}\]
2.\[\frac{1+xy}{1+x}+\frac{1+yz}{1+y}+\frac{1+zx}{1+z}=\frac{yz+y}{yz+1}+\frac{1+yz}{1+y}+\frac{y+1}{y+yz}\geqslant3\]
3.\[\sqrt{(a+c)(b+d)}=\sqrt{ab+cd+ad+bc}\geqslant\sqrt{ab+cd+2\sqrt{abcd}}=\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\]