แนวๆTMO

[LightLucifer]

มาเพิ่มโจทย์ให้ครับ อิอิ

จงพิสูจน์ว่ารากจริงทั้งหมดของพหุนาม $P(x)=2x^5-25x^4+110x^3-200x^2+160x-100$ มีค่าอยู่ในช่วง $(1,4)$

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

มาเพิ่มโจทย์ให้ครับ อิอิ

จงพิสูจน์ว่ารากจริงทั้งหมดของพหุนาม $P(x)=2x^5-25x^4+110x^3-200x^2+160x-100$ มีค่าอยู่ในช่วง $(1,4)$

แยกตัวประกอบได้

$(x-4)^3(2x^2-x+2)=-28$

ขั้นแรกพิสูจน์ว่า ถ้า $x<0$ จากสมการจากโจทย์จะได้ $P(x)<0$

ถ้า $x\geq 4$ จะฝั่งซ้ายมากกว่าเท่ากับ 0 ซึ่งขัดแย้งกับข้างซ้ายติดลบ ดังนั้น $x <4$

ถ้า $0< x<1$ ดังนั้นจะได้ $2<2x^2-x+2<3 $

และให้ $A= (x-4)^3$ จะได้ $2A<-28<3A$ แก้อมสการออกมาได้

$ 4-\sqrt[3]{\dfrac{28}{3}} < x <4-\sqrt[3]{14}$ เกิดข้อขัดแย้ง

ดังนั้น $1<x$

$x \in (1,4)$

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

Number

1.ให้ $p_1,p_2,...p_n\geq 5 $ จงแสดงว่า

$\displaystyle 2^{p_1p_2p_3...p_n}+1$ มีจำนวนตัวประกอบอย่างน้อย $4^n$ ตัว

2. ให้ $n$ เป็นจำนวนนับ จงแสดงว่า $(n+1)(n+2)...(n+10)$ ไม่มีทางเป็นกำลังสองสมบูรณ์

Combinatorics

1.There are n distinct points in the plane. Prove that the number

of point pairs with the unit distance is smaller than $\dfrac{n}{4}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}n^{\frac{3}{2}}$

[~ArT_Ty~]

Inequality

For $a,b,c>0 , a+b+c=1$ prove that
$$ \frac{a^2}{1+(a+b)^2}+\frac{b^2}{1+(b+c)^2}+\frac{c^2}{1+(c+a)^2}\le\frac{2187}{13}\cdot\frac{a^8+b^8+c^8}{ab+bc+ca} $$

Functional Equation

Determine all continuous function $ f\colon\mathbb{(0,+\infty)} \to\mathbb{(0,+\infty)} $ satisfying
$$ f(x^3)+f(y^3)+f(z^3)=f(xyz)f(\frac{x}{y})f(\frac{y}{z})f(\frac{z}{x}) $$

Geometry

Let $l$ be a tangent to the incircle of triangle $ABC$. Let $l_{a},l_{b}$ and $l_{c}$ be the respective images
of $l$ under reflection across the exterior bisector of $\hat A,\hat B$and $\hat C$. Prove that the triangle formed by these lines is congruent to $ABC$.

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

#34 ยากจังครับ ทำไม่ได้เลยอ่ะครับ ขอ Hint หน่อยครับ

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

Solnนี้ credit AOPSครับ
Homogenise this into
\[\sum_{cyc}\frac{a^2}{(a+b)^2+(a+b+c)^2}\leq \frac{3^7}{13}\cdot\frac{a^8+b^8+c^8}{(a+b+c)^6(ab+bc+ca)}.\]
Now we can scrap the previous condition of $a+b+c=1$ and assume that $a+b+c=3.$ Then it suffices to check that
\[\sum_{cyc}\frac{a^2}{(a+b)^2+9}\leq \frac 3{13}\cdot\frac{a^8+b^8+c^8}{(ab+bc+ca)}.\]
Note that we have the following identity: $\frac{9a^2}{(a+b)^2+9}=a^2-\frac{a^2(a+b)^2}{(a+b)^2+9},$
Which, in accordance with the Cauchy-Schwarz inequality, leads us to
\[\sum_{cyc}\frac{9a^2}{(a+b)^2+9}\leq\sum_{cyc}a^2-\frac{\left(\sum a^2+\sum ab\right)^2}{2(\sum a^2+\sum ab)+27}.\]
Let $x=\sum_{cyc}a^2$ and $y=\sum_{cyc}ab,$ so that we have $x+2y=9$ and $x\ge y,$ leading to
\[\frac{(x+y)^2}{2(x+y)+27}=\frac{x+y}{2+\frac{27}{x+y}}\geq \frac{2(x+y)}{13}.\]
So it is sufficient to check that
\[x-\frac{2(x+y)}{13}\leq\frac{27}{13}\cdot\frac{a^8+b^8+c^8}{ab+bc+ca};\]
Which, on using the inequality $27(a^8+b^8+c^8)\geq (a^2+b^2+c^2)^4,$ reduces to
\[\frac{x^4}{y}+2y\geq 11x\]
Now note that, \[\begin{aligned}\frac{x^4}{y}+2y\geq \frac{9x^2}{y}+2y&=\frac{7x^2}{y}+\left(\frac{2x^2}{y}+2y\right)\\&\geq 7x+4x=11x;\end{aligned}\]
Where the last step follows from $x\geq y$ and the AM-GM inequality. Equality holds in the original inequality iff $a=b=c=\frac13.\Box$

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ข้างซ้ายเป็น 15/8 ครับ คราวนี้ผิดตรงไหนอีกหรอครับ

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

NT
1.หาจำนวนเฉพาะp,qทั้งหมดที่ $pq|(5^p-2^p)(5^q-2^q)$(credit:beatmania)
2. จงหาจำนวนเต็มบวก $a$ ที่น้อยที่สุด ซึ่งสอดคล้องกับ $1971\mid 50^n+a\cdot 23^n$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนคี่(credit:tonklaZolo)
Combinatorics
1.พิจารณาการเดินบนด้านของรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่ารูปหนึ่ง โดยแต่ละก้าวสามารถเดินจากจุดยอดหนึ่งไปยังจุดยอดอื่นที่ติดกันเท่านั้น จงหาจำนวนเส้นทางการเดินที่จะกลับมายังจุดตั้งต้นหลังเดินไป$n$ก้าว
2.(TMO9th)
นักเรียนชายและหญิง อย่างละ 2n คน แข่งเทควันโดแบบพบกันหมด และมีเกณฑ์ให้คะแนนดังนี้
(ก) ถ้าเพศเดียวกันแข่งกัน ผู้ชนะได้ 3 คะแนน ผู้แพ้ได้ 0 คะแนน และเสมอคนละ 1 คะแนน
(ข) ถ้าชายแข่งกับหญิง ในกรณีที่หญิงชนะ จะได้ 3 คะแนน แพ้ 0 คะแนน และเสมอได้ 2 คะแนน ในกรณีชายชนะ ได้ 2 คะแนน แพ้หรือเสมอได้ 0 คะแนน
หลังการแข่งขันสิ้นสุด หาคะแนนรวมเด็กแต่ละคน และ P แทนจำนวนคู่แข่งขันที่ผลการแข่งขันเสมอ และ Q แทนจำนวนคู่แข่งขันทั้งหมด ถ้านักเรียนที่ได้คะแนนสูงสุดได้ 4n-1 คะแนน หาค่า $\frac{P}{Q}$

hint

:ดูคะแนนต่ำสุด แต่ผมไม่รู้จะไปต่อยังไงครับ

[Beatmania]

#39 NT
1.โจทย์เป็นแบบนี้ป่ะครับ $pq|(5^p-2^p)(5^q-2^q)$
ถ้าโจทย์เป็นอย่างที่ว่า
คร่าวๆนะครับ

1.ถ้า $p=q$ มีกรณีเดียว คือ $p=q=3$

2.ถ้า $p>q$ ดู $q|5^p-2^p$ และ $q|5^{q-1}-2^{q-1}$ จะได้ $q|5^{(p,q-1)}-2^{(p,q-1)}$

ซึ่งก็คือ $q|5-2$ ได้ $q=3$

3.แสดงต่อจาก 2.ได้ไม่ยากว่า $p=13$

2.แยกตัวประกอบ 1971 ดูครับ

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

#39 NT
$..........$2.แยกตัวประกอบ 1971 ดูครับ

ใช้$mod27, mod73$หรือเปล่าครับ มันจะได้ว่า $a\equiv -1(mod27)$และ$a\equiv 1(mod73)$

[Beatmania]

ครับ แล้วก็ใช้ CRT เลย

Combi:2.ทดลองหารูปแบบการแข่งในกรณี $n=1,2,3,...$ ดูครับ แล้วสังเกตอะไรบางอย่าง

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

ครับ แล้วก็ใช้ CRT เลย

Combi:2.ทดลองหารูปแบบการแข่งในกรณี $n=1,2,3,...$ ดูครับ แล้วสังเกตอะไรบางอย่าง

ขอบคุณมากครับ

[Euler-Fermat]

ผมช่วยเติมให้แนวคิดคล้ายกับข้อด้านบน

1.Find all solution p,q are primes such that $pq \mid 5^p+5^q$

2.If p is odd prime prove that $p^3 \mid \binom{2p}{p}-2$

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ข้อ 2 นัมเบอร์งดงามมากเลยนะครับ

[Euler-Fermat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย

ข้อ 2 นัมเบอร์งดงามมากเลยนะครับ

ครับ ใช้หลายเรื่องหน่อยครับ