Limit

[ksp123]

จงหาค่าของ Lim x---> infinity ของ [x]! / [x]^[x]

กำหนดให้ [x] คือ ฟังก์ชันปัดค่าลงเป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่มีค่าต่ำกว่า x

[M@gpie]

เราอาจมองว่า \[\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{[x]!}{[x]^{[x]}} = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n!}{n^n}\]

ต่อไปเราสามารถแสดงได้ว่า
\[\frac{1}{n^n} \leq \frac{n!}{n^n} \leq \frac{1}{2^n}\left( 1+\frac{1}{n}\right)^n\]

ดังนี้

โดยอสมการ AM-GM
\[\sqrt[n]{\frac{1}{n}\cdot \frac{2}{n} \cdot \frac{3}{n} \cdot ... \cdot \frac{n}{n}} \leq \frac{1}{n}\left( \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \frac{3}{n} + ... + \frac{n}{n}\right)\]
ใช้สูตรผลรวมกับฝั่งขวา
\[ \sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}} \leq \frac{n(n+1)}{2n^2}\]
ยกกำลัง n ทั้งสองข้างจะได้ว่า
\[ \frac{n!}{n^n} \leq \frac{1}{2^n}\left( 1+\frac{1}{n}\right)^n\]

เนื่องจาก ${\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^n} = 0 = \frac{1}{2^n}\left( 1+\frac{1}{n}\right)^n}$ ดังนั้น $ {\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n!}{n^n}=0 }$

[ksp123]

สุดยอดค่ะ

ขอบคุณมาก คงต้องใช้ลำดับช่วยอะเนอะ

แต่อยากจะรบกวนหน่อยว่า เจ้า 1/2^n (1 + 1/n)^n มันมี limit = 0 ได้อย่างไร
อ้างอิงทฤษฎีไหนคะ

[owlpenguin]

ก็ $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{1}{2^x}=0$ และ $\displaystyle \lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\rightarrow\therefore\lim_{x \to \infty}\frac{1}{2^x}(1+\frac{1}{x})^x=0\times e=0$
ถูกหรือเปล่าครับ

[M@gpie]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ owlpenguin

ก็ $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{1}{2^x}=0$ และ $\displaystyle \lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n=e\rightarrow\therefore\lim_{x \to \infty}\frac{1}{2^x}(1+\frac{1}{n})^n=0\times e=0$
ถูกหรือเปล่าครับ

แนวคิดถูกต้องครับ แต่แก้ $x$ กะ $n$ ให้ถูกต้องร้อยเปอร์เซนด้วยนะครับ

[nooonuii]

แบบนี้ก็ได้ครับ $$0\leq \frac{n!}{n^n}\leq \frac{1}{n}$$

[M@gpie]

อสมการของพี่ noonuii พิสูจน์ด้วย induction รึเปล่าครับ ?

[nooonuii]

$n\cdot n!=2\cdot 3\cdots n\cdot n\leq n^n$