Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์มัธยมศึกษา > ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย > ข้อสอบในโรงเรียน ม.ปลาย
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 10 พฤศจิกายน 2006, 00:43
passer-by passer-by ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 11 เมษายน 2005
ข้อความ: 1,442
passer-by is on a distinguished road
Smile สมาคม ม.ปลาย 2549

ดูดมาจากที่ http://www.vcharkarn.com/include/vca....php?Pid=62489

ร่วมเฉลยกันตามสะดวกเลยนะครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 10 พฤศจิกายน 2006, 20:25
ผู้ไม่ประสงค์ออกนาม's Avatar
ผู้ไม่ประสงค์ออกนาม ผู้ไม่ประสงค์ออกนาม ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 28 ตุลาคม 2006
ข้อความ: 34
ผู้ไม่ประสงค์ออกนาม is on a distinguished road
Talking

รบกวนคุณ passer-by ช่วยหาข้อสอบ ม.ต้น สมาคมปี49 ให้หน่อยครับ ขอบคุณครับ
__________________
ที่คำตอบคุณไม่เหมือนคนอื่นเพียงคนเดียว อาจไม่ใช้คุณผิด แต่อาจเพราะคนอื่นเค้าผิดก็ได้
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 11 พฤศจิกายน 2006, 19:33
passer-by passer-by ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 11 เมษายน 2005
ข้อความ: 1,442
passer-by is on a distinguished road
Smile

ลองเข้าที่link นี้ แก้ขัดไปก่อนได้ไหมครับ เพราะตอนนี้ผมก็ไม่มีต้นฉบับข้อสอบสมาคม ม.ต้นในมือ เหมือนกัน

ผมรู้สึกว่าตั้งแต่น้อง tummykung ไม่อยู่ (ซึ่งผม assume ว่าน่าจะอยู่ค่าย สสวท.) หลังจากนั้น หาคน scan & แปะ ข้อสอบ ที่เป็น big match ยากจังเลย

ในส่วนของสมาคม ม.ปลาย โดยรวมก็ดีครับ จะมีข้อ 10 กับ 27 ที่ความรู้ ม.ต้น จะช่วยได้เยอะ

แต่ตอนนี้ ผมอยากรู้เฉลยข้อ 20 มากเลย เพราะผมไม่ค่อยชอบโจทย์สไตล์นี้ กับอีกข้อคือข้อ 35 ซึ่งผมว่าโหดสุดในนี้แล้วมั้งคับ

สำหรับข้ออื่นๆ ผมให้เป็น Hint / Suggestion เท่าที่จำเป็นของบางข้อนะครับ

4. $ f(x) = 1+\frac{x}{x^2+1} $

ถ้า $ y= \frac{x}{x^2+1} \rightarrow yx^2-x+y=0 $

จากนั้นก็พิจารณาค่า discriminant $( b^2-4ac) $ ครับ ก็จะได้ค่า range

5. พิจารณา
$ a_1r(1+r+r^2+r^3)=\frac{5}{8} $ และ $ a_1r^3(1+r+r^2+r^3)=\frac{5}{32} $

6. $\begin{array}{rcl} \frac{\sin(A-B)}{\cos A\cos B}+\frac{\sin(B-C)}{\cos B \cos C}+\frac{\sin (C-A)}{\cos A \cos C} &= & - \frac{\sin(A-B)\cos(A+B)+\sin(B-C)\cos(B+C)+\sin(C-A)\cos(C+A)}{\cos A \cos B \cos C} \\ &= & - \frac{1}{2}(\frac{(\sin 2A - \sin 2B)+(\sin 2B -\sin 2C)+ (\sin 2C - \sin 2A))}{\cos A \cos B \cos C}) \\ & = & 0 \end{array}$

10. วาดรูปแล้ว ลากรัศมีตั้งฉากกับเส้นตรง L ครับ จะเกิดสามเหลี่ยมคล้าย แล้วก็หามุมของสามเหลี่ยมออกมา สุดท้ายจะพบว่ามุมป้านที่เส้นตรงทำกับแกน X คือ 120 องศา

14. $ \log_{4x}2x^2 =\log_{4x}(\frac{16x^2}{8}) = 2 - \log_{4x} 8 $

อีก 2 พจน์ก็ทำเหมือนกันครับ สุดท้ายจะเหลือเพียง $ \log_{4x}2 =\log_{9y}3 = \log_{25z} 5 = k $ หลังจากนั้นก็เขียน x,y,z ในเทอมของ k ให้ได้ครับ

15. $ \frac{4!}{2!2!}{6 \choose 2} + 2{6 \choose 2}\frac{4!}{3!} $ (แบบ AABB กับแบบ AAAB )

16. เอา A, F ออกไปก่อน จากนั้นก็คิดแยกกรณี 0,2,2 กับ 1,2,1 และ 0,3,1

22. ให้ a,b,c,d,e เป็นสมาชิกของ A โดย a <b< c< d < e แล้วก็ลองเริ่มพิจารณาจาก ผลบวกน้อยสุดกับมากสุด ก่อน

25. มองเป็นแง่ของ graph theory จะช่วยได้เยอะครับ

เราจะให้จุดบนกราฟแต่ละจุด แทนส่วนของเส้นตรงในโจทย์ และจะเชื่อมจุด 2 จุดบนกราฟ ก็ต่อเมื่อ ส่วนของเส้นตรง 2 เส้นนั้น ตัดกัน

เท่ากับว่า ปัญหานี้ จะมี จุดยอด 8 จุด มี edge 13 เส้น และมี 7 จุดที่มีดีกรี 3 หลังจากนี้ก็คงไม่ยากแล้วในการหาดีกรีจุดที่ 8

ข้ออื่น เก็บไว้รอคนอื่นมาตอบแล้วกันครับ เพราะผมก็เริ่มขี้เกียจพิมพ์นิดๆ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 12 พฤศจิกายน 2006, 15:11
passer-by passer-by ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 11 เมษายน 2005
ข้อความ: 1,442
passer-by is on a distinguished road
Post

ในที่สุด ก็รู้ว่า ข้อ 35 ถูก modify มาจาก Putnam 1992 นั่นเอง

35. ให้ A เป็นเมตริกซ์จัตุรัส ขนาด 2549 x 2549 โดย

$$ a_{ij}= \left\{ \begin{array}{rcl} i+2 & i= j \\ 1 & i \neq j \end{array}\right. $$

ถ้า $ H_n = 1+\frac{1}{2}+\cdots\frac{1}{n}$ แล้วหาค่า det(A) ในเทอมของ $ H_n $ สำหรับค่า n ที่เหมาะสม

HINT/SUGGESTION

(1) เปลี่ยนแถวที่ i เป็น $ -R_1+R_i \quad i= 2,3,\cdots 2549 $ แน่นอนว่า row operation ด้วยวิธีนี้ ทำให้ ค่า det คงเดิม

(2) transpose เมตริกซ์ (ค่า det ก็ยังคงเดิม)

(3) เปลี่ยนแถวที่ 1 ของเมตริกซ์ที่ถูก transpose ด้วย $ \frac{2}{i}R_{i-1}+R_1 \quad i= 3,4,\cdots 2550 $

จากนั้นก็หา det(A) จากการกระจาย cofactor ของแถวที่ 1 พบว่า

$ det(A)=(3+2(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots\frac{1}{2550}))(\frac{2550!}{2})= 2550! H_{2550} $
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 12 พฤศจิกายน 2006, 19:02
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,605
gon is on a distinguished road
Smile

สงสัยอาจารย์ที่คณะวิทยาศาสตร์ จุฬา ฯ คงต้องขยันขวนขวายดัดแปลงข้อสอบอยู่บ่อย ๆ

วันก่อนที่โรงเรียนสาธิตจุฬา มีโครงการคัดเด็กพิเศษ (ม.ต้น) (คนละโครงการกับ "ครีม" ) (ข้างล่างกระดาษข้อสอบเขียนว่า คณะวิทยา ฯ จุฬา ฯ) ข้อสอบรอบสองรู้สึกว่าจะมี 5 ข้อ ข้อสุดท้ายถ้าจำไม่ผิด โจทย์มีอยู่ว่า

"จงหาจำนวนเต็มบวก a, b ทั้งหมด ที่ทำให้ $a^{10} + b^{10}$ หารด้วย a + b ลงตัว"
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 12 พฤศจิกายน 2006, 20:15
warut warut ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 พฤศจิกายน 2001
ข้อความ: 1,627
warut is on a distinguished road
Post

อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ gon:
"จงหาจำนวนเต็มบวก a, b ทั้งหมด ที่ทำให้ $a^{10} + b^{10}$ หารด้วย a + b ลงตัว"
แล้วคำตอบคืออะไรครับ เซตคำตอบที่ผมหาได้คือ $$ \{ \, (a,b) \mid a \in \mathbb N, \; b = d-a, \; d>a, \; d \mid 2a^{10} \, \} $$ ไม่รู้มันยุ่งยากไปรึเปล่า
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 14 พฤศจิกายน 2006, 22:39
Mastermander's Avatar
Mastermander Mastermander ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 ตุลาคม 2005
ข้อความ: 796
Mastermander is on a distinguished road
Post

จงหาจำนวนจริงบวก a ที่น้อยที่สุดที่ทำให้
\[ \int_0^{2\pi}\big|\sin(x+2549a)-\sin(x+2006a)\big|\,dx \]

มีค่าสูงสุด...


รบกวนด้วยครับ
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ

14 พฤศจิกายน 2006 22:41 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Mastermander
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 14 พฤศจิกายน 2006, 23:29
warut warut ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 พฤศจิกายน 2001
ข้อความ: 1,627
warut is on a distinguished road
Post

อยากได้ค่าสูงสุด ก็ทำให้ phase มันต่างกันอยู่ $\pi$ radians (i.e. in antiphase) สิครับ $$ 2549a - 2006a = \pi \quad \Rightarrow \quad a= \frac{\pi}{543} $$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 27 พฤศจิกายน 2006, 04:48
passer-by passer-by ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 11 เมษายน 2005
ข้อความ: 1,442
passer-by is on a distinguished road
Icon18

สงสัยผมจะต้องถอนคำพูดที่บอกว่า ข้อ 35 ยากสุดแล้วมั้งเนี่ย

เพราะข้อ 33 รู้สึกจะปวดหัวกว่าอีกเพราะต้องอ้างอิงทฤษฎีเรขาคณิต

33. ให้ A B C D เป็นจุดบนวงกลม เรียงตามเข็มนาฬิกา ถ้า ผลบวกกำลังสองของด้านทั้งสี่ เท่ากับผลบวกกำลังสองของเส้นทแยงมุม และ $ \mid \vec{AB} \mid = a \,\, , \mid \vec{BC} \mid = b $

หาค่า $ \vec{AC}\cdot \vec{BD} $ ในเทอมของ a, b

Solution : อ้างอิงทฤษฏีในเรขาคณิตที่ว่า สำหรับ convex quadrilateral ABCD (ตามโจทย์)
$$ a^2+b^2+c^2+d^2 = (Di_1)^2+(Di_2)^2+4x^2 $$
เมื่อ x แทนความยาวเส้นเชื่อมจุดกึ่งกลางเส้นทแยงมุม
a,b,c,d คือด้านทั้งสี่ และ $ Di_1 $ และ $ Di_2 $ แทนความยาวเส้นทแยงมุม

ดังนั้น จากโจทย์ทำให้เราพบว่า จุดตัดเส้นทแยงมุม แบ่งครึ่งเส้นทแยงมุมด้วย

เนื่องจาก ABCD เป็น cyclic ทำให้เส้นทแยงมุม 2 เส้นยาวเท่ากัน (By intersection chord theorem)

และยังทำให้ สี่เหลี่ยมดังกล่าวเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานด้วย

ดังนั้น $ \vec{AB} = \vec{CD} \,\,\, , \vec{BC} = \vec{DA} $

และ $ \vec{AC} \cdot \vec{BD}= (\vec{AD}+\vec{AB} )\cdot (\vec{BA}+\vec{BC})= (\vec{BC}+\vec{AB} )\cdot (\vec{BC}-\vec{AB})= b^2-a^2 $

p.s. ใครมีวิธีแบบไม่ต้องอ้างอิงทฤษฎีข้างต้นเกี่ยวกับผลบวกกำลังสอง ก็บอกกันด้วยนะครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #10  
Old 01 ธันวาคม 2006, 11:24
Sophia_Venus Sophia_Venus ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 พฤศจิกายน 2006
ข้อความ: 9
Sophia_Venus is on a distinguished road
Post

อยากทราบข้อ 21 ค่ะ ว่าทำอย่างไร
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #11  
Old 01 ธันวาคม 2006, 13:12
alpha alpha ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 04 พฤศจิกายน 2001
ข้อความ: 119
alpha is on a distinguished road
Post

อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ Sophia_Venus:
อยากทราบข้อ 21 ค่ะ ว่าทำอย่างไร


เฉลยเฉพาะ ข้อ 21 นะครับ

พิจารณา f(n) จะได้ว่า
f(n)= 1,2,3,4,... เมื่อ n เป็นจำนวนคู่ (สังเกตว่า f(n) มีค่าเป็นจำนวนคู่ได้ในกรณีนี้เท่านั้น)
f(n)= 5,9,13,... เมื่อ n เป็นจำนวนคี่

โจทย์ต้องการ n ที่ทำให้ f(f(n))= 37
เราจะเริ่มจากหา f(n) (ตัวข้างในน่ะครับ) ที่ทำให้ f(f(n))=37 ก่อน
กรณี f(n) ดังกล่าวเป็นจำนวนคู่ จะได้ว่า f(n)=74 เท่านั้นครับ
กรณี f(n) เป็นจำนวนคี่บ้าง จะได้ว่า f(n) = 17
ลองคิดดูนะครับว่ามาได้อย่างไร

ต่อไปก็จะเอา f(n)= 17,74 มาหาค่า n
กรณีแรก f(n)=74 ชัดเจนนะครับว่า n= 148
กรณีที่ 2 f(n)=17 ก็ต้องทำ ทำนองเดียวกับขั้นตอนก่อนหน้านะครับ แยกกรณี n เป็นเลขคี่-คู่
จะได้ n = 34 และ 7
สรุปว่าเซตคำตอบนั้นก็คือ {7, 34, 148} ครับ

ปล.1 ไม่ได้เข้ามาหลายปี รู้สึกบอร์ดจะครึกครื้นขึ้นเยอะนะครับเนี่ย
ปล.2 ไม่ได้ทำโจทย์พวกนี้ก็หลายปีแล้วเหมือนกัน ยังไงฝากท่าน gon ตรวจสอบให้ด้วยนะครับ
ปล.3 พิมพ์ครั้งก่อนส่งไม่ติด เน็ตหลุดพอดี ต้องพิมพ์ซ้ำใหม่หมดเลย T_T
__________________
การกลายพันธุ์:
เมื่อเอาปี 2542 เป็นปีฐาน พบว่า
ข้อสอบคณิต 1 ปัจจุบัน ยากราวกับ สมาคมคณิตศาสตร์ ปี 42
ข้อสอบคณิต 2 ปัจจุบัน ยากราวกับ ข้อสอบคณิต 1 ปี 42
ข้อสอบสมาคมคณิตศาสตร์ ปัจจุบัน ยากราวกับข้อสอบโอลิมปิกไทย ปี 42

อนาคต คณิต 1 จะกลายเป็นโอลิมปิก คณิต 2 จะกลายเป็นสมาคมฯ แล้วทีนี้ ข้อสอบโอลิมปิกไทย จะกลายเป็น IMO มั้ยล่ะเนี่ย
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #12  
Old 02 ธันวาคม 2006, 18:47
RedfoX's Avatar
RedfoX RedfoX ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 ตุลาคม 2006
ข้อความ: 182
RedfoX is on a distinguished road
Post

อืม ไปดูแล้วงงมากครับ โจทย์ไม่เรียงข้อนี่ดูแล้วลายตา ลายตา จริงๆ
__________________
ชอบคณิตศาสตร์ครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #13  
Old 21 พฤษภาคม 2007, 01:36
devilzoa devilzoa ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 ธันวาคม 2005
ข้อความ: 83
devilzoa is on a distinguished road
Default

ผมลองคิดข้อ 34 ดูอ่ะครับ (ไม่รู้ว่าช้าเกินรึเปล่า)
$$(\sqrt{5}-1)(3+\sqrt{5})^{x}+(\sqrt{5}+1)(3-\sqrt{5})^{x}=4\cdot 2^{x}$$
เปลี่ยนรูปดูได้
$$[(\sqrt{5}-1)(3+\sqrt{5})^{x}]^{2}+4\cdot 4^{x}=4\cdot 2^{x}[(\sqrt{5}-1)(3+\sqrt{5})^{x}]$$
ให้ $a=(\sqrt{5}-1)(3+\sqrt{5})^{x}$
จะได้
$$a^{2}-4\cdot 2^{x}a+4\cdot 4^{x}=0$$
$$(a-2\cdot 2^{x})^{2}=0$$
$$(\sqrt{5}-1)(3+\sqrt{5})^{x}=2\cdot 2^{x}$$
แล้วไปยังไงต่อครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #14  
Old 21 พฤษภาคม 2007, 04:04
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ devilzoa View Post
ผมลองคิดข้อ 34 ดูอ่ะครับ (ไม่รู้ว่าช้าเกินรึเปล่า)
$$(\sqrt{5}-1)(3+\sqrt{5})^{x}+(\sqrt{5}+1)(3-\sqrt{5})^{x}=4\cdot 2^{x}$$
เปลี่ยนรูปดูได้
$$[(\sqrt{5}-1)(3+\sqrt{5})^{x}]^{2}+4\cdot 4^{x}=4\cdot 2^{x}[(\sqrt{5}-1)(3+\sqrt{5})^{x}]$$
ให้ $a=(\sqrt{5}-1)(3+\sqrt{5})^{x}$
จะได้
$$a^{2}-4\cdot 2^{x}a+4\cdot 4^{x}=0$$
$$(a-2\cdot 2^{x})^{2}=0$$
$$(\sqrt{5}-1)(3+\sqrt{5})^{x}=2\cdot 2^{x}$$
แล้วไปยังไงต่อครับ
จัดรูปใหม่

$\Big(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\Big)^x = \dfrac{2}{\sqrt{5}-1}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$

สังเกตว่า $\Big(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\Big)^2=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$

ดังนั้น $x=\dfrac{1}{2}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #15  
Old 21 พฤษภาคม 2007, 16:41
devilzoa devilzoa ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 ธันวาคม 2005
ข้อความ: 83
devilzoa is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ warut View Post
อยากได้ค่าสูงสุด ก็ทำให้ phase มันต่างกันอยู่ $\pi$ radians (i.e. in antiphase) สิครับ $$ 2549a - 2006a = \pi \quad \Rightarrow \quad a= \frac{\pi}{543} $$
ไม่เข้าใจข้อนี้อ่ะครับ!?!

สมาคมปีที่แล้ว ยากจังเลยครับ

21 พฤษภาคม 2007 16:43 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ devilzoa
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
ข้อสอบ ชิงถ้วย สมเด็จพระเทพ 2549 (ม.ต้น) Eddie ข้อสอบในโรงเรียน ม.ต้น 31 16 ตุลาคม 2010 15:30
เฉลยคณิต สสวท.2549 jaidee ข้อสอบในโรงเรียน ประถมปลาย 11 24 พฤษภาคม 2008 09:10
โจทย์ A-net ปี2549 (ล่าสุดๆ) jabza ข้อสอบในโรงเรียน ม.ปลาย 13 25 ตุลาคม 2006 10:06
งานมหกรรมหนังสือระดับชาติ ครั้งที่ 11 (18-29 ตุลาคม 2549) sck ฟรีสไตล์ 0 17 ตุลาคม 2006 11:32
สสวท. เริ่มรับสมัครสอบโอลิมปิก ปี 2549 แล้ว gon ข่าวคราวแวดวง ม.ปลาย 5 23 มิถุนายน 2006 20:33

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 12:51


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha