Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > อสมการ
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 27 พฤศจิกายน 2015, 16:12
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,234
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default Unsolved inequality

รบกวนช่วยพิสูจน์ให้หน่อยครับ (ถ้ามันจริง) ตอนนี้ยังติดๆอยู่ครับ เเต่มันมากกว่า $2$ เเน่ๆ ไม่รู้ว่าอันนี้จะจริงมั้ย
$a,b,c>0$


$\displaystyle\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge \frac{3}{\sqrt{2}}$
__________________
Vouloir c'est pouvoir

27 พฤศจิกายน 2015 19:42 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 27 พฤศจิกายน 2015, 20:37
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

ไม่จริงครับ ให้ $b=c$ และให้ $a\to 0$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 27 พฤศจิกายน 2015, 21:15
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,234
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii View Post
ไม่จริงครับ ให้ $b=c$ และให้ $a\to 0$
ครับ ตอนเเรกผมคิดว่าถ้าจริงอันนี้จะพิสูน์ได้ง่ายกว่าอันนี้มาก ( ซึ่งสวยงามมากด้วยครับ )
ถ้า $a,b,c>0$ เเล้ว $$ \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge 2\sqrt{1+\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$$

ซึ่งเป็นโจทย์อสมการที่สมมูลกับ (ซักเเหล่งนึงใน MCT นี้เเหละครับ) ที่ว่า
ให้ $a,b,c>0$ เเละ $ab+bc+ca=1$ จงเเสดงว่า $$\sqrt{a^3+a}+\sqrt{b^3+b}+\sqrt{c^3+c}\ge 2\sqrt{a+b+c}$$

ว่าจะลองดู เเต่ดูเเล้วยังไม่น่าจะมีปัญญาทำได้น่ะครับ

ปล.ผมอยากรู้ว่า http://www.artofproblemsolving.com/c...166513p5583746 เค้าทำกันไปได้ยังไงเหรอครับบ
__________________
Vouloir c'est pouvoir

28 พฤศจิกายน 2015 00:05 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 28 พฤศจิกายน 2015, 13:26
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

เขามีโปรแกรมคอมพิวเตอร์ช่วยคิดให้ แต่ไม่รู้รายละเอียดว่าทำได้ถึงระดับไหนครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 29 พฤศจิกายน 2015, 14:14
Beatmania's Avatar
Beatmania Beatmania ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤษภาคม 2011
ข้อความ: 279
Beatmania is on a distinguished road
Default

$$\sum_{cyc}\sqrt{c^3+c}\geq 2\sqrt{a+b+c}$$

$$\iff \sum_{cyc}\sqrt{c(c+a)(c+b)}\geq 2\sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}$$

$$\iff (\sum_{cyc}\sqrt{c(c+a)(c+b)})^2\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$$

$$\iff \sum_{cyc}a(a+b)(a+c) +2\sum_{cyc}\sqrt{ab(a+b)^2(b+c)(c+a)}\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$$

$$\iff \sum_{cyc}(a^3)+3abc+\sum_{cyc}(a^2b+b^2a)+2\sum_{cyc}\sqrt{ab(a+b)^2(b+c)(c+a)}\geq 4\sum_{cyc}(a^2b+b^2a)+12abc$$

$$\iff \sum_{cyc}(a^3)+3abc+2\sum_{cyc}\sqrt{ab(a+b)^2(b+c)(c+a)}\geq 3\sum_{cyc}(a^2b+b^2a)+12abc$$

ซึ่งเป็นจริงจากที่

$$\sum_{cyc}(a^3)+3abc\geq \sum_{cyc} (a^2b+b^2a)$$

$$2\sum_{cyc}(a+b)\sqrt{ab(b+c)(c+a)}\geq 2\sum_{cyc}(a+b)(ab+c\sqrt{ab})$$

$$2\sum_{cyc}(a+b)\sqrt{ab(b+c)(c+a)}\geq 2\sum_{cyc}a^2b+b^2a+ac\sqrt{ab}+bc\sqrt{ab}) \geq 2\sum_{cyc}(a^2b+b^2a)+12abc$$
__________________
I'm Back

29 พฤศจิกายน 2015 14:16 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Beatmania
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 29 พฤศจิกายน 2015, 23:47
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,234
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania View Post

ซึ่งเป็นจริงจากที่

$$2\sum_{cyc}(a+b)\sqrt{ab(b+c)(c+a)}\geq 2\sum_{cyc}(a+b)(ab+c\sqrt{ab})$$
ยอดเยี่ยมมากครับน้องเจ พี่มองบรรทัดนี้ไม่ออกเลย = ="
__________________
Vouloir c'est pouvoir
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
Inequality BLACK-Dragon อสมการ 20 24 มีนาคม 2011 11:35
inequality Influenza_Mathematics อสมการ 7 11 ธันวาคม 2010 21:43
inequality Wings_Evolution ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป 13 26 พฤศจิกายน 2010 22:33
Own Inequality tatari/nightmare อสมการ 2 06 มกราคม 2009 00:07
โจทย์ Inequality devilzoa อสมการ 18 09 มีนาคม 2007 05:35

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 00:41


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha