Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ทฤษฎีจำนวน
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 06 เมษายน 2016, 01:00
ohmohm ohmohm ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 กันยายน 2013
ข้อความ: 47
ohmohm is on a distinguished road
Default โจทย์ พิสูจน์หารด้วย 13 ลงตัว

เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก ให้พิสูจน์ว่า
$13 | (4\times 4^{2n} + 9\times 3^n)$
ขอบคุณครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 06 เมษายน 2016, 09:07
Thamma Thamma ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 19 กุมภาพันธ์ 2013
ข้อความ: 307
Thamma is on a distinguished road
Default

Induction on $ \unicode{8469} $
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 06 เมษายน 2016, 15:37
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ohmohm View Post
เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก ให้พิสูจน์ว่า
$13 | (4\times 4^{2n} + 9\times 3^n)$
ขอบคุณครับ
$4\cdot 4^{2n} + 9\cdot 3^n\equiv 4\cdot 3^n+9\cdot 3^n \equiv 0 \pmod{13}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 06 เมษายน 2016, 20:48
ohmohm ohmohm ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 กันยายน 2013
ข้อความ: 47
ohmohm is on a distinguished road
Default

$4\times 4^{2(0)} + 9\times 3^{(0)} = 4+9 = 13$
$4\times 4^{2(1)} + 9\times 3^{(1)} = 64+27 = (13\times 5 - 1)+(13\times 2 + 1) = 91 = 13\times 7$

สมมติ $13$ หาร $(4\times 4^{2(k)} + 9\times 3^{(k)})$ ลงตัว คือได้เศษ $0$ สมมติว่า $13$ หาร $4\times 4^{2(k)}$ ได้เศษ $r$ จะได้ว่า $13$ หาร $9\times 3^{(k)}$ ได้เศษ $13-r$ จากนั้นจะมีจำนวนเต็ม $m_{1}$ และ $m_{2}$ ที่ทำให้
$4\times 4^{2(k)} = 13m_{1} + r$ และ
$9\times 3^{(k)} = 13m_{2} + 13 - r = 13(m_{2}-1) - r$

จากนั้นจะได้ว่า
$4\times 4^{2(k+1)} = 16\times 4\times 4^{2(k)}$
$= 16\times (13m_{1} + r)$
$= 16\times 13m_{1} + 16r$
และ
$9\times 3^{(k+1)} = 3\times 9\times 3^{(k)}$
$= 3\times 13(m_{2}-1) - 3r$

นั้นคือ $13$ หาร $(4\times 4^{2(k+1)} + 9\times 3^{(k+1)})$ ได้เศษ $16r-3r=13r$ ซึ่งหารด้วย 13 ลงตัว

ขอบคุณครับ

06 เมษายน 2016 20:50 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ohmohm
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 14:30


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha