Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > เรขาคณิต
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #31  
Old 06 มกราคม 2006, 08:44
Coco's Avatar
Coco Coco ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 23 กรกฎาคม 2005
ข้อความ: 48
Coco is on a distinguished road
Post

มือใหม่ลองทำครับ ผิดถูกยังไงช่วยแก้ด้วยครับ (Latex ไม่เก่งเลยครับ)


() ถ้ารูปสี่เหลี่ยมนี้แนบในวงกลม
จะได้ว่า g = p - a และ d = p - b
ดังนั้น ab + bg + gd + da = ab +b(p - a) + (p - a)(p - b) + (p - b)b = $\pi^{2}$

() สมมติ a, b, g, d เป็นมุมในสี่เหลี่ยมซึ่ง ab + bg + gd + da = $\pi^{2}$
ดังนั้น (a + g)(b + d) = $\pi^{2}$
มุมในสี่เหลี่ยมรวมกันได้ 2p ดังนั้น (a + g) + (b + d) = 2p
แก้สมการจะได้ g = p - a และ d = p - b
นั่นคือมุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมรวมกันได้ 180 องศา
เพราะฉะนั้นจึงเป็นสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม
__________________
สนใจคณิตศาสตร์ครับ ช่วยชี้แนะด้วยครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #32  
Old 06 มกราคม 2006, 10:23
nongtum's Avatar
nongtum nongtum ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 เมษายน 2005
ข้อความ: 3,246
nongtum is on a distinguished road
Post

ที่ทำมาด้านบนถูกแล้วครับ แต่ขาไปง่ายกว่านั้นเยอะหากสังเกตดีๆ กล่าวคือ αβ+αδ+γβ+γδ=(α+γ)(β+δ)=p2 ครับ

ตอนนี้ก็เหลือแต่รอโจทย์ใหม่จากคุณ coco หรือจากคนที่แสดงโจทย์ข้อ 6 ได้สมบูรณ์ครับ

Edit: ไม่แน่ใจว่าเป็น bug หรือเปล่า ลองก็อบมาตรงๆ นอกจากจะแสดงผลหลังจากกด post ไม่ถูกแล้ว วงเล็บด้านท้ายยังถูกตีความเป็น emocon ไปซะงั้น
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ
ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ)

Stay Hungry. Stay Foolish.

06 มกราคม 2006 10:38 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #33  
Old 10 มกราคม 2006, 00:09
TOP's Avatar
TOP TOP ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 27 มีนาคม 2001
ข้อความ: 1,003
TOP is on a distinguished road
Post

คงจะเป็นผลมาจากตัว Unicode ที่คุณ nongtum ใส่เข้ามา ทำให้เว็บบอร์ดทำงานไม่ถูกต้อง ลองเปลี่ยนมาใช้ UBB Code แทน alpha , beta , gamma สิครับ หรือไม่ก็ใช้เป็น LaTeX แทน
__________________
The difference between school and life?
In school, you're taught a lesson and then given a test.
In life, you're given a test that teaches you a lesson.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #34  
Old 10 มกราคม 2006, 01:42
nongtum's Avatar
nongtum nongtum ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 เมษายน 2005
ข้อความ: 3,246
nongtum is on a distinguished road
Post

ระหว่างรอ ขออีกสองข้อละกัน

9.(Very easy exercise) A circle is tangent to another circle internally at point $E$. A line tangent to the smaller circle at point $P$ intersects the bigger circle at point A and B. Prove that line $EP$ bisects $\angle{AEB}$.

10. (Medium) วงกลมวงหนึ่งผ่านจุดยอด $A$ ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน $ABCD$ ตัดด้าน $AB,\ AD$ และเส้นแทยงมุม $AC$ ที่จุด $K,L$ และ $M$ ตามลำดับ จงแสดงว่า $AB\cdot{AK}+AD\cdot{AL}=AC\cdot{AM}$

ปล. ขอบคุณคุณ top มากครับที่ชี้แจงข้อสงสัย
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ
ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ)

Stay Hungry. Stay Foolish.

16 มกราคม 2006 04:17 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #35  
Old 10 มกราคม 2006, 18:03
Alberta Alberta ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 04 มกราคม 2005
ข้อความ: 90
Alberta is on a distinguished road
Post

ขอข้อ9ก่อนละกันครับ
สังเกตโดยวาดรูปประกอบ
ลากรูปตามเส้นสีแดงดังภาพ
จะเห็นโดยใช้ทบ.เส้นสัมผัสวงกลมว่ามุมในรูปมีขนาดเท่ากัน(มุมที่เท่ากันมีสีเดียวกัน)
พิจรณาสามเหลี่ยม REPและ สามเหลี่ยม PEB จะเห็นได้ไม่ยากว่ามุมที่สาม ต้องเท่ากัน(มุมREP=มุมPEB)
นั้นคือ เส้น PE แบ่งครึ่งมุมAEB ตามต้องการ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #36  
Old 15 มกราคม 2006, 18:38
Alberta Alberta ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 04 มกราคม 2005
ข้อความ: 90
Alberta is on a distinguished road
Post

พี่nongtumครับข้อ10ยากจัง
ขอhintหน่อยก็ดีครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #37  
Old 16 มกราคม 2006, 04:29
nongtum's Avatar
nongtum nongtum ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 เมษายน 2005
ข้อความ: 3,246
nongtum is on a distinguished road
Smile

โจทย์ข้อสิบอาจโหดกว่าที่คิด ใบ้ให้ว่าให้กำหนดจุด G บน AC ที่ทำให้มุม AGB เท่ากับมุม AKM ครับ (ใบ้มากแล้วนะ...)
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ
ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ)

Stay Hungry. Stay Foolish.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #38  
Old 16 มกราคม 2006, 23:16
Alberta Alberta ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 04 มกราคม 2005
ข้อความ: 90
Alberta is on a distinguished road
Icon19

ขอบคุณสำหรับHintมากๆครับ โหขนาดให้Hintแล้วยัง(แอบ)โหดเลยนะเนี่ย
เมื่อทำตามคำแนะนำของพี่nongtumแล้ว โดยการสร้างGบนACให้AKM=AGB
เราจะได้ว่า ABAK= AMAG ...1
แล้วสร้างแบบเดิมอีกโดยสร้างHบนด้านACให้ AHD=ALM
เราจะได้อีกว่า ADAL=AMAH ...2
พิจรณา DH และ BG
จะแสดงว่า DH // BG เนื่องจาก ALM+AKM=180 และเนื่องจากAHD=ALM กับ AKM=AGB เมื่อต่อDH,BGไปถึงX,Yตามลำดับ
จะเห็นว่า XHG=AHD ดังนั้นXHG+AGB=180นั่นคือDH // BG
พิจรณา DBGC และ DADH จะได้ว่า DBGC @ DADH (พิสูจน์ได้ไม่ยากโดยอาศัยผลจากAD=BCและDH // BG )
ดังนั้น AH=GC ...3
นำ1+2 และผลจาก3
จะได้ABAK+ADAL=AMAG+AMAH=AM(AG+AH)=AM(AG+GC)=ACAMตามต้องการ
ปล.พี่ครับ แล้วเราจะรู้ได้ไงว่าเราควรลากอะไรดีละ สร้างแบบนี้ทำยังไงผมก็ไม่มีทางคิดออก ถ้าไม่Hintแน่ๆครับช่วยบอกด้วยครับ

16 มกราคม 2006 23:34 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Alberta
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #39  
Old 17 มกราคม 2006, 02:18
nongtum's Avatar
nongtum nongtum ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 เมษายน 2005
ข้อความ: 3,246
nongtum is on a distinguished road
Smile

ตอนแรกที่เห็นโจทย์ข้อนี้ก็นึกไม่ออกเหมือนกันแหละครับ แต่พอรู้แค่นั้นเป็นอ๋อ

ข้อนี้หากสังเกตหลังจากวาดรูปและไล่มุมแลัวลากเส้นเท่าที่จำเป็นครบ (ในที่นี้ลาก LK ด้วย)โดยที่ยังไม่กำหนดจุด G เราจะพบว่าน่าจะต้องลากเส้นอะไรเพิ่ม แต่เนื่องจากเรามีมุม DAC=มุม ACB แล้ว เราสามารถทดลองสร้าง DCBG ให้คล้ายกับ DALG ได้ไม่ยากนัก (ตรงนี้หากไม่ไล่มุมดีๆจะไม่รู้)
จุด G ในข้อนี้ทำให้ DALM~DCGB และ DAKM~DAGB ซึ่งไล่ต่อไปอีกนิดก็ได้คำตอบ จึงเป็นขั้นตอนที่สำคัญที่สุดครับ

น้อง Alberta ตั้งโจทย์ข้อถัดไปได้เลยครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ
ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ)

Stay Hungry. Stay Foolish.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #40  
Old 17 มกราคม 2006, 17:21
Alberta Alberta ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 04 มกราคม 2005
ข้อความ: 90
Alberta is on a distinguished road
Post

ข้อต่อไปครับ
11. ABC is acute-angled. P is an interior point. The line BP meets AC at E, and the line CP meets AB at F. AP meets EF at D. K is the foot of the perpendicular from D to BC. Show that KD bisects ∠EKF.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #41  
Old 22 เมษายน 2007, 22:41
zead zead ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 ธันวาคม 2005
ข้อความ: 25
zead is on a distinguished road
Default

ยังไม่มีใครตอบข้อ11เลย...ตอบตอนนี้ช้าไปรึป่าวครับ เหอๆ

ไม่ค่อยมั่นใจฝากเช็คให้ด้วยครับ

ใช้ ทฤษฎีบท ceva กับ $\bigtriangleup AFE$ จะได้

$\frac{AB}{BF} \bullet \frac{FD}{DE} \bullet \frac{EC}{AC} = 1$

ดังนั้น$ \frac{FD}{DE} = \frac{BF}{EC} \bullet \frac{AC}{AB} $

จากฏของsine ใน $\bigtriangleup BFK $ได้ว่า

$\frac{BF}{FK} = \frac{sinFKB}{sinB}$ _(1)

ในทำนองเดียวกัน$ \frac{EC}{EK} = \frac{sinEKC}{sinC}$ _(2)

และ$\frac{AC}{AB}=\frac{sinB}{sinc}$ _(3)

$\frac{(1)}{(2)}\times (3);\frac{FD}{DE} = \frac{BF}{EC} \bullet \frac{AC}{AB} = \frac
{FK}{EK} \bullet \frac{sinBKF}{sinEKC} $ _(4)

DK แบ่งครึ่งมุม EKF $\Leftrightarrow มุม FKB = มุม EKC$

สมมติขัดแย้งว่า $มุม FKB\not= มุม EKC$

WLOG;$ มุมFKB>มุมEKC \Rightarrow มุมDKE> มุมFKD

และ จาก (4); \frac{FD}{DE}>\frac{FK}{EK}$

ใน$\bigtriangleup KDE และ\bigtriangleup FKD $ใช้กฏของ sine

แล้วเราจะได้ว่า$ \frac{sinDKE}{sinFKD}=\frac{DE}{EK} \frac{FK}{DF} >1$

นั่นคือ $ \frac{FD}{DE}<\frac{FK}{EK}$ เกิดข้อขัดแย้ง

$\therefore DKแบ่งครึ่งมุมEKF$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #42  
Old 06 มิถุนายน 2007, 20:34
h-man h-man ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 06 มิถุนายน 2007
ข้อความ: 2
h-man is on a distinguished road
Default

มาต่อกันดีกว่า

12. $ABCD$ is a convex quadrilateral. The perpendicular bisectors of $AB$ and $CD$ meet at $Y$. $X$ is a point inside $ABCD$ such that $∠ADX = ∠BCX < 90^o$ and $∠DAX = ∠CBX < 90^o$. Show that $∠AYB = 2 ∠ADX$.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #43  
Old 20 มิถุนายน 2007, 16:37
kartoon's Avatar
kartoon kartoon ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 26 กุมภาพันธ์ 2007
ข้อความ: 78
kartoon is on a distinguished road
Default

กำหนดจุด P และจุด Q อยู่บน Perpendicular bisectors ของด้าน AB
โดยที่ มุม APE = มุม ADX และ มุม PAQ = มุม DAX
เป็นการเพียงพอสำหรับการพิสูจน์ ถ้าเราแสดงให้เห็นได้ว่า P และ Y คือจุดเดียวกัน

เนื่องจาก สามเหลี่ยม ADX คล้ายกับ สามเหลี่ยม APQ ทำให้ AD/AP = AX/AQ
แต่ มุม DAP = มุม XAQ ดังนั้น สามเหลี่ยม DAP คล้ายกับ สามเหลี่ยม XAQ
AD/AX = DP/QX ????????(1)

ทำนองเดียวกัน สามเหลี่ยม BCX คล้ายกับ สามเหลี่ยม BPQ ทำให้ BC/BX = BP/BQ
แต่ มุม PBC = มุม QBX ดังนั้น สามเหลี่ยม PBC คล้ายกับ สามเหลี่ยม QBX
BC/BX = CP/QX ?????????(2)

แต่สามเหลี่ยม AXD คล้ายกับ สามเหลี่ยม BXC
AD/AX = BC/BX ???????..(3)

จาก (1), (2), (3) เราได้ CP = DP
เนื่องจาก Y เป็น unique point ดังนั้น Y กับ P คือจุดๆเดียวกัน
ให้สังเกตว่า คำกล่าวอ้างของโจทย์ จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ AB ต้องไม่ขนานกับ CD
รูปภาพที่แนบมาด้วย
 
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #44  
Old 21 มิถุนายน 2007, 21:27
kartoon's Avatar
kartoon kartoon ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 26 กุมภาพันธ์ 2007
ข้อความ: 78
kartoon is on a distinguished road
Default

13) P เป็นจุดภายนอกวงกลมที่มี O เป็นจุดศูนย์กลาง จาก P ลากเส้นตรงตัดวงกลมที่ Q และ E
(โดยที่ E อยู่ระหว่างP และ Q และ QE ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม)
A และ C เป็นจุดสัมผัสวงกลมของเส้นตรงที่ลากจาก P โดย A อยู่บน minor arc QE
B เป็นจุดบน AC โดยที่ QB แบ่งครึ่งมุม AQC และตัด EC ที่จุด G
F เป็นจุดบน AQ ซึ่ง BF ตั้งฉากกับ BE
FG ตัดกับ AC ที่จุด H
จงพิสูจน์ว่า B,H,F และQ มีวงกลมล้อมรอบได้

(โจทย์ข้อนี้ผมสร้างขึ้นมาเอง ลองพิสูจน์ดูครับ.... )
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #45  
Old 31 สิงหาคม 2007, 20:17
tatari/nightmare's Avatar
tatari/nightmare tatari/nightmare ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 กรกฎาคม 2007
ข้อความ: 276
tatari/nightmare is on a distinguished road
Default

ผมเห็นกระทู้เงียบเหงาเลยมาเพิ่มให้ครับ (ข้อของพี่การ์ตูนนี่ยากจัง ขอ HINT หน่อยได้ใหมครับ )
14.กำหนดสี่เหลี่ยม $ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยมนูน เส้นแบ่งครึ่งมุม $\angle ABC$ ตัดกับด้าน CD ที่ E ถ้า $\angle BCD=\angle CDA ,\angle AEB=90^{\circ}$ จงพิสูจน์ว่า $AB=AD+BC$
15.บทกลับของข้อ 14. จริงหรือไม่ ถ้าจริงจงพิสูจน์ ถ้าไม่จริงจงหาตัวอย่างค้าน
__________________
AL-QAEDA(เอXข้างหน้า!!)!!!!!!!!!!
ถึง บิน ลาเดนจะลาโลกไปแล้ว แต่เรายังมีผู้นำ jihad คนใหม่....อย่าง
อับดุล อาบาเร่ คราลิดทากัน...เราจะใช้รถดูดส้XXเป็นคาร์บอม!!!จงพลีชีพเพื่อผู้นำของเรา!!!!!!!

BOOM!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

31 สิงหาคม 2007 20:19 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ tatari/nightmare
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
geometry [t][h][i][z][t][y] เรขาคณิต 2 23 เมษายน 2007 19:12
Geometry Labs gools ซอฟต์แวร์คณิตศาสตร์ 1 05 กันยายน 2006 21:37
Geometry Construction 3 TOP ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป 4 24 มิถุนายน 2002 01:04
Geometry Construction 4 TOP ซอฟต์แวร์คณิตศาสตร์ 7 23 มิถุนายน 2002 15:05
Geometry Revisited Crazy pOp ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป 2 11 พฤศจิกายน 2001 14:48

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 19:47


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha