Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > อสมการ
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 23 ธันวาคม 2015, 20:05
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,234
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default อสมการ

Prove that for $a,b,c>0$ $$\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2-bc}+\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2-ca}+\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2-ab}\le\frac{3}{2}$$
__________________
Vouloir c'est pouvoir
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 21 มกราคม 2016, 01:15
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,234
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

Let $a,b,c>0$ and $a+b+c=3$ Prove that $$\frac{1}{\Big((a-b)^2+3bc+3ca\Big)^2}+\frac{1}{\Big((b-c)^2+3ca+3ab\Big)^2}+\frac{1}{\Big((c-a)^2+3ab+3bc\Big)^2}\ge \frac{1}{12}$$
__________________
Vouloir c'est pouvoir

21 มกราคม 2016 01:22 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 21 มกราคม 2016, 01:17
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,234
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

Let $a,b,c>0$ Prove that $$\frac{a^3+b^3}{2c}+\frac{b^3+c^3}{2a}+\frac{c^3+a^3}{2b}\ge (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+(a^2+b^2+c^2)$$
__________________
Vouloir c'est pouvoir
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 23 มกราคม 2016, 19:46
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง View Post
Let $a,b,c>0$ and $a+b+c=3$ Prove that $$\frac{1}{\Big((a-b)^2+3bc+3ca\Big)^2}+\frac{1}{\Big((b-c)^2+3ca+3ab\Big)^2}+\frac{1}{\Big((c-a)^2+3ab+3bc\Big)^2}\ge \frac{1}{12}$$
$\displaystyle \frac{1}{\Big((a-b)^2+3bc+3ca\Big)^2}+\frac{1}{\Big((b-c)^2+3ca+3ab\Big)^2}+\frac{1}{\Big((c-a)^2+3ab+3bc\Big)^2}$

$\displaystyle \ge \frac{1}{3} \Big( \frac{1}{(a-b)^2+3bc+3ca}+\frac{1}{(b-c)^2+3ca+3ab}+\frac{1}{(c-a)^2+3ab+3bc} \Big)^2$

$\displaystyle \ge \frac{1}{3} \Big( \frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)+4(ab+bc+ca)}\Big)^2 = \frac{1}{3} \cdot \Big( \frac{9}{2\cdot 3^2} \Big)^2 = \frac{1}{12}$
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 23 มกราคม 2016, 20:05
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง View Post
Let $a,b,c>0$ Prove that $$\frac{a^3+b^3}{2c}+\frac{b^3+c^3}{2a}+\frac{c^3+a^3}{2b}\ge (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+(a^2+b^2+c^2)$$
$\displaystyle \frac{a^3+b^3}{2c}+\frac{b^3+c^3}{2a}+\frac{c^3+a^3}{2b} - a^2-b^2-c^2$

$\displaystyle =\frac{(a^3-c^3)+(b^3-c^3)}{2c}+\frac{(b^3-a^3)+(c^3-a^3)}{2a}+\frac{(c^3-b^3)+(a^3-b^3)}{2b}$

$\displaystyle = (b^3-a^3)(\frac{1}{2a}-\frac{1}{2b})+(c^3-b^3)(\frac{1}{2b}-\frac{1}{2c})+(a^3-c^3)(\frac{1}{2c}-\frac{1}{2a})$

$\displaystyle = (b-a)^2(\frac{a^2+ab+b^2}{2ab})+ (c-b)^2(\frac{b^2+bc+c^2}{2bc})+ (a-c)^2(\frac{c^2+ca+a^2}{2ca})$

$\displaystyle \ge \frac{3}{2} ((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)$

ก็จะได้ว่ามากกว่า $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$ ด้วยครับ
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้

23 มกราคม 2016 20:06 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 24 มกราคม 2016, 13:35
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง View Post
Prove that for $a,b,c>0$ $$\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2-bc}+\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2-ca}+\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2-ab}\le\frac{3}{2}$$
$\displaystyle \frac{a^2}{a^2+b^2+c^2-bc}+\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2-ca}+\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2-ab}$

$\displaystyle \le \frac{a^2}{a^2+\frac{1}{2}(b^2+c^2)}+\frac{b^2}{b^2+\frac{1}{2}(c^2+a^2)}+\frac{c^2}{c^2+\frac{1}{2}(a^2+b^2)}$

$\displaystyle = \frac{2a^2}{(a^2+b^2)+(a^2+c^2)}+\frac{2b^2}{(b^2+c^2)+(b^2+a^2)}+\frac{2c^2}{(c^2+a^2)+(c^2+b^2)}$

$\displaystyle \le \frac{1}{2}\Big( \frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{a^2}{a^2+c^2}\Big)+\frac{1}{2}\Big(\frac{b^2}{b^2+a^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}\Big)+\frac{1}{2}\Big(\frac{ c^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{c^2+b^2}\Big)$

$\displaystyle = \frac{3}{2}$

ครบทุกข้อแล้วครับ
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 24 มกราคม 2016, 20:09
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,234
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

เก่งมากๆเลยครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 20:28


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha