|
|
|||||||
| สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
  |
|
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
#2
10 พฤษภาคม 2016, 21:09
|
|||
|
|||
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 
|
|
#5
11 พฤษภาคม 2016, 09:44
|
|||
|
|||
|
Divide and Conquer เป็นเทคนิคการแก้ปัญหาโดยแยกคิดทีละส่วนแล้วค่อยนำแต่ละส่วนมาประกอบกันครับ
1. $a,b,c\in (0,1)$ $$ \dfrac{1}{\sqrt{1-a^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1-b^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1-c^2}}\geq \dfrac{1}{\sqrt{1-ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{1-bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{1-ca}} $$ 2. $a,b,c$ เป็นความยาวด้านของสามเหลี่ยม $$ \dfrac{1}{\sqrt{a+b-c}}+ \dfrac{1}{\sqrt{b+c-a}}+ \dfrac{1}{\sqrt{c+a-b}} \geq \dfrac{1}{\sqrt{a}} + \dfrac{1}{\sqrt{b}} + \dfrac{1}{\sqrt{c}} $$ 3. $a,b,c>0$ $$ \dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq \dfrac{a+b+c}{3} $$ 4. $a_1,a_2,\ldots,a_n>0$ $$ \dfrac{1}{a_1^n}+\dfrac{1}{a_2^n}+\cdots+\dfrac{1}{a_n^n} \geq a_1a_2\cdots a_n\left(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}\right) $$ 5. (USAMO 1997) $a,b,c>0$ $$ \dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\leq\dfrac{1}{abc} $$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
|
|
#7
12 พฤษภาคม 2016, 17:37
|
|||
|
|||
|
ง่ายกว่านี้ก็มีครับ พิจารณา
$\displaystyle{\sum_{cyc}\dfrac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}=(a-b)+(b-c)+(c-a)=0}$ นั่นคือเราสามารถทำให้สมมาตรได้เป็น $\displaystyle{\sum_{cyc}\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\dfrac{1}{2}\sum_{cyc}\dfrac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}}$ ที่เหลือก็ไม่ยากแล้วครับโดยสังเกตว่า $a^2+ab+b^2\le 3(a^2-ab+b^2)$ สมมูลกับ $2(a-b)^2\ge 0$ ครับ ปล.สงสัยข้อ 4 ครับว่าโจทย์ผิดหรือเปล่า แทน $n=2, a_1=a_2=3$ ก็ไม่จริงแล้วครับ 12 พฤษภาคม 2016 17:39 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Pitchayut
|
|
#12
13 พฤษภาคม 2016, 13:53
|
|||
|
|||
|
ของคุณ Beatmania สังเกตว่า $\displaystyle{\left(1+\dfrac{1}{3^n}\right)^{3^n}<e}$
ซึ่งให้ว่า $\left(1+\dfrac{1}{3}\right)\left(1+\dfrac{1}{3^2}\right)\left(1+\dfrac{1}{3^3}\right)...<e^{\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{ 3^3}+...}=\sqrt{e}<2$ ครับ อีกข้อนึง (น่าจะง่ายๆ สำหรับคุณ CoNanKung) ให้ $a,b,c>0$ และ $abc=1$ จงพิสูจน์ว่า $\displaystyle{\sum_{cyc}\dfrac{ab}{a^5+b^5+ab}\le 1}$ ปล. $e=2.71828...$ ครับ
|
|
#14
13 พฤษภาคม 2016, 22:07
|
||||
|
||||
|
solutionข้อของคุณpitchayutครับ สวยดีครับ อิอิ
 ปอลิง แนวคิดการเปลี่ยน1เป็นabcที่บรรทัดสุดท้ายคือพยายามทำให้ผลรวมเลขชี้กำลังแต่ละพจน์เท่ากันคือ5 ซึ่งจากโจทย์ให้พิสูจน์ว่าน้อยกว่าเท่ากับ1ซึ่งเป็นค่าคงที่(แสดงว่าถ้าคูณไขว้ก็จะไม่ส่งผลต่อเลขชี้กำลังรวมแต่ละพจน์ครับ) 13 พฤษภาคม 2016 22:30 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ CoNanKung
|
| |
|
|
