โจทย์ช่วงชั้นที่ 3

[สมชาย]

ช่วยกันเฉลยครับ
(กำลังหัดใช้ Latex ขออภัยหากยังติดๆขัดๆ)

1. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มี B เป็นมุมฉาก โดย AB ยาว 27 หน่วย BC ยาว 9 หน่วย จุด P,Q เป็นจุดบนด้าน AC ที่ทำให้ มุม ABP = มุม PBQ = มุม QBC ถ้า PB ยาว a หน่วย และ BQ ยาว b หน่วย จงหาค่าของ a+13b
2. ABC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วแนบในวงกลมรัศมี 1369 หน่วย และมีวงกลมรัศมี 644 หน่วย แนบในสามเหลี่ยม ABC จงหาว่าจุดศูนย์กลางของวงกลมทั้งสองห่างกันกี่หน่วย
3. จำนวนเต็มบวก n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ (2000n+1)(2008n+1) เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์มีค่าเท่าใด
4. ถ้า a,b เป็นคำตอบของสมการ $(x^2-16)(x-3)^2+9x^2=0$ จงหาค่าของ $a^4+b^4$

[หยินหยาง]

ข้อ 1. ตอบ $72\sqrt{3}$
ข้อ 2. ตอบ 333
ข้อ 3. $n = 501$
ข้อ 4. ถ้า a, b เป็นจำนวนจริง คำตอบของ $a^4+b^4=184$

[สมชาย]

มายังไงบ้างครับ
Please

[หยินหยาง]

ข้อ 1. ใช้กฏของ sine
ข้อ 2. ใช้สามเหลี่ยมคล้าย
ข้อ 3. ใช้ excel ช่วยคำนวณ
ข้อ 4. กระจายเทอมแล้วจัดรูปใหม่ มี 2 ค่าเป็น จำนวนจริง กับอีก 2 ค่าเป็น จำนวนเชิงซ้อน

เพิ่มเติม
ข้อ 3. ถ้าไม่ใช้ excel ก็อาศัยหลักการสังเกตแล้วจัดให้อยู่ในรูปบอง $(a-1)^2$ ซึ่งตอนท้ายจะอยู่ในรูปของ
$16(501)^2n^2-16n^2+8 \cdot (501) \cdot n+1$ ก็จะแก้หา $n$ ได้

[สมชาย]

ขอบคุณมากครับ

[mathematiiez]

ขอบคุณค่ะ ! โจทย์น่าสนใจดี ^^*

[jabza]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ สมชาย

ช่วยกันเฉลยครับ
(กำลังหัดใช้ Latex ขออภัยหากยังติดๆขัดๆ)

1. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มี B เป็นมุมฉาก โดย AB ยาว 27 หน่วย BC ยาว 9 หน่วย จุด P,Q เป็นจุดบนด้าน AC ที่ทำให้ มุม ABP = มุม PBQ = มุม QBC ถ้า PB ยาว a หน่วย และ BQ ยาว b หน่วย จงหาค่าของ a+13b
2. ABC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วแนบในวงกลมรัศมี 1369 หน่วย และมีวงกลมรัศมี 644 หน่วย แนบในสามเหลี่ยม ABC จงหาว่าจุดศูนย์กลางของวงกลมทั้งสองห่างกันกี่หน่วย
3. จำนวนเต็มบวก n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ (2000n+1)(2008n+1) เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์มีค่าเท่าใด
4. ถ้า a,b เป็นคำตอบของสมการ $(x^2-16)(x-3)^2+9x^2=0$ จงหาค่าของ $a^4+b^4$

พี่หยินหยางช่วยกรุณา แสดงวิธีทำข้อ4 ผมทำไม่ได้ คำตอบที่พี่เฉลย=184 ผมกระจายสมการออกมาได้ $x^4-6x^3+2x^2+96x-144=0$ ไปต่อไม่ได้.

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jabza

พี่หยินหยางช่วยกรุณา แสดงวิธีทำข้อ4 ผมทำไม่ได้ คำตอบที่พี่เฉลย=184 ผมกระจายสมการออกมาได้ $x^4-6x^3+2x^2+96x-144=0$ ไปต่อไม่ได้.

คำตอบสั้นๆ ก็คือ $(x^2+2x-6)(x^2-8x+24)$

[jabza]

ผมขอขอบคุณหี่หยิงหยาง.ผมเข้าใจแล้ว โจทย์ข้อนี้เป็นการแยกตัวประกอบที่ดีมาก. ผมสงสัยจังพี่คิดได้อย่างไง เมื่อไหร่จะเก่งอย่างพี่ ขอเป็น Idol ให้ผม. ถ้าไม่รบกวนขอให้พี่ช่วยเฉลยข้อ2ที่ตอบ333 ผมวาดรูปไม่ได้เลย สามเหลี่ยมคล้ายอยู่ตรงไหน.ปล. ผมรู้แล้วพี่คงใช้เท็คนิคแยกตัวประกอบโดยเทียบส.ป.ส.

[jabza]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ สมชาย

ช่วยกันเฉลยครับ
(กำลังหัดใช้ Latex ขออภัยหากยังติดๆขัดๆ)

1. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มี B เป็นมุมฉาก โดย AB ยาว 27 หน่วย BC ยาว 9 หน่วย จุด P,Q เป็นจุดบนด้าน AC ที่ทำให้ มุม ABP = มุม PBQ = มุม QBC ถ้า PB ยาว a หน่วย และ BQ ยาว b หน่วย จงหาค่าของ a+13b
2. ABC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วแนบในวงกลมรัศมี 1369 หน่วย และมีวงกลมรัศมี 644 หน่วย แนบในสามเหลี่ยม ABC จงหาว่าจุดศูนย์กลางของวงกลมทั้งสองห่างกันกี่หน่วย
3. จำนวนเต็มบวก n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ (2000n+1)(2008n+1) เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์มีค่าเท่าใด
4. ถ้า a,b เป็นคำตอบของสมการ $(x^2-16)(x-3)^2+9x^2=0$ จงหาค่าของ $a^4+b^4$

ผมขอถามผู้รู้ข้อ1 โจทย์บอกมุม ABP = มุม PBQ = มุม QBC แสดงว่าAP=PQ=QC ใช่ไหมครับ ผมหาคำตอบได้ไมเท่าพี่หยิงหยาง ข้อ2 ใช้ สามเหลี่ยมคล้าย2 หรือ3ครั้ง. ผมก็ยังทำไม่ได้ข้อ1a+13b=12*รากที่2ของ3+234

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jabza

ผมขอขอบคุณหี่หยิงหยาง.ผมเข้าใจแล้ว โจทย์ข้อนี้เป็นการแยกตัวประกอบที่ดีมาก. ผมสงสัยจังพี่คิดได้อย่างไง เมื่อไหร่จะเก่งอย่างพี่ ขอเป็น Idol ให้ผม. ถ้าไม่รบกวนขอให้พี่ช่วยเฉลยข้อ2ที่ตอบ333 ผมวาดรูปไม่ได้เลย สามเหลี่ยมคล้ายอยู่ตรงไหน.ปล. ผมรู้แล้วพี่คงใช้เท็คนิคแยกตัวประกอบโดยเทียบส.ป.ส.

ข้อ 2 นั้นที่ผมใช้สามเหลี่ยมคล้ายนั้นเพราะเห็นหัวข้ออยู่ในช่วงชั้น 3 แต่ต้องขอโทษด้วยในที่นี้เพื่อเป็นการง่ายสำหรับผมที่ไม่ต้องวาดรูปและเขียนบรรยายใหม่ ประกอบกับความรู้ของคุณ jabza ก็เข้าขั้นเทพแล้วผมจึงขอเอาการพิสูจน์จากหนังสือ AVISO ของมหิดลฯ (ต้องให้เครดิตมหิดลฯ ด้วยครับที่ผลิตหนังสือดีๆอีกเล่ม )ซึ่งใช้ความรู้ตรีโกณมิติใน ม.5 และ ทบ.เกี่ยวกับเรขาคณิต มาอธิบายและเป็นการง่ายสำหรับผมที่ไม่ต้องพิมพ์ latex ด้วยครับ

[teamman]

$x^4-6x^3+2x^2+96x-144 = 0$
มันใช้วิธีแยกยังไงหรอครับถึงไดเป็นแบบของคุณหยินหยางอ่าครับ
คือ ผมแยกแบบนี้ไม่เป็นอ่าครับ หรือว่าต้องใช้วิธีสังเกตเอาครับช่วยบอกหน่อยนะครับ

[jabza]

ขอขอบคุณพี่หยินหยาง ผมเข้าใจแล้วเป็นทบ.Eulerนี้เอง. ข้อ4มีtrick ให้$x^4-6x^3+2x^2+96x-144=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$ จะได้a=2,b=-6, c=-8, d=24 จากนั้นแยกตัวประกอบ$(x^2+2x-6)$โดยใช้สูตรx.....จะรากที่1เป็นจำนวนจริง=-1+sqrt7และ-1-sqrt7นำไปยกกำลัง4 จะได้92+92=184 พี่teammanหรือใครก็ได้ช่วยอธิบายคร่าวข้อ1 ผมได้ตำตอบไม่ตรงกับพี่หยินหยาง.

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ teamman

$x^4-6x^3+2x^2+96x-144 = 0$
มันใช้วิธีแยกยังไงหรอครับถึงไดเป็นแบบของคุณหยินหยางอ่าครับ
คือ ผมแยกแบบนี้ไม่เป็นอ่าครับ หรือว่าต้องใช้วิธีสังเกตเอาครับช่วยบอกหน่อยนะครับ

ผมก็ใช้แบบเดียวกับคุณ jabza ครับ คือใช้การสังเกต โดยเฉพาะ -144

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jabza

...โดยใช้สูตรx.....จะรากที่1เป็นจำนวนจริง=-1+sqrt7และ-1-sqrt7นำไปยกกำลัง4

ผมเสนออีกทางเลือกเผื่อสนใจ $a^4+b^4=(a+b)^4-4ab(a^2+b^2)-6a^2b^2$
และ $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$ แต่เรารู้ว่า $a+b =....$ และ $ab=...$

[jabza]

ขอขอบคุณพี่หยินหยางอีกครั้ง rep13ผมขอบคุณผิดคนคิดว่าเป็นพี่teamman พี่ช่วยhintข้อ1.ให้ละเอียด ไม่ต้งวาดรูป ผมได้คำตอบ a+13b=12*รากที่2ของ3+234แต่ของพี่ได้=72sqt3