Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 03 ตุลาคม 2014, 20:37
Bas with dream Bas with dream ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 18 มิถุนายน 2014
ข้อความ: 11
Bas with dream is on a distinguished road
Default พิสูจน์อสมการ (ช่วยหน่อยครับ)

ให้ x,y เป็นจำนวนจริงบวกที่ x+y=1 จงพิสูจน์ว่า[x+(1/x)]^2 +. [y+(1/y)]^2. มากกว่าเท่ากับ 25/2
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 03 ตุลาคม 2014, 22:57
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

จาก $a^2+b^2\geq \dfrac{(a+b)^2}{2}$ จะได้

$\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2\geq\dfrac{1}{2}\left(x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2$

ลองต่อโดยใช้ $x+y=1$ และ AM-GM ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 09 ตุลาคม 2014, 09:26
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

ถือโอกาสทบทวนความรู้ไปในตัว...

อีกวิธีนึงคือใช้ Jensen เลือกฟังก์ชันเป็น $f(x)=(x+\frac{1}{x})^2$

จะได้ $f(a)+f(b) \geq 2f(\frac{a+b}{2})$

ทำเป็นกรณีทั่วไปก็ได้ $f(a_{1})+f(a_{2})+...+f(a_{n}) \geq nf(\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n})$

จะได้อสมการนี้มา $(a_{1}+\frac{1}{a_{1}})^2+(a_{2}+\frac{1}{a_{2}})^2+...+(a_{n}+\frac{1}{a_{n}})^2 \geq \frac{(n^2+1)^2}{n}$

ซึ่งก็จริงสำหรับ $a_{i} \in \mathbb{R^{+}}$ ที่ $\sum a_{i}=1 $
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 04:40


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha