ชวนคิดโจทย์ Trigonometry

[Switchgear]

ผมหาห้องไม่เจอว่าตรีโกณควรอยู่ในกลุ่มไหน หากผมตั้งกระทู้ผิดที่ ขอรบกวน Webmaster ช่วยย้ายให้ด้วยครับ

ข้อ 1. จงพิสูจน์ว่า $\sin\frac{2\pi}{7}+\sin\frac{4\pi}{7}+\sin\frac{8\pi}{7} = \frac{1}{2}\sqrt{7}$

ข้อ 2. จงพิสูจน์ว่า $\tan^2\frac{\pi}{7}+\tan^2\frac{2\pi}{7}+\tan^2\frac{3\pi}{7} = 21$

ข้อ 3. จงพิสูจน์ว่า $\cos^4\frac{\pi}{7}+\cos^4\frac{2\pi}{7}+\cos^4\frac{3\pi}{7} = \frac{13}{16}$

[Switchgear]

ข้อ 4. จงพิสูจน์ว่า $\sum_{n = 1}^{3} \sin^4\frac{n\pi}{7} = \frac{21}{16}$ และ $\sum_{n = 1}^{3} \csc^4\frac{n\pi}{7} = 32$

ข้อ 5. จงพิสูจน์ว่า $\sum_{n = 1}^{4} \cos^4\frac{n\pi}{9} = \frac{19}{16}$ และ $\sum_{n = 1}^{4} \sec^4\frac{n\pi}{9} = 1120$

[Mastermander]

อันนี้เหมือนจะอยู่ในสต๊อกของพี่กรหมดแล้ว

[Switchgear]

ผมยังไม่เคยเข้าไปอ่านสต๊อกที่ว่า (หรืออาจจำไม่ได้) รบกวนทำ Link ให้ด้วยซิครับ
อยากรู้ว่าใช้วิธีคิดแบบเดียวกันหรือเปล่า ?

[Switchgear]

ผมลองดู "หัวข้อคล้ายคลึงกัน" ใต้กระทู้นี้ ก็ยังไม่เห็นมีของคุณกร
ถ้ายังไง webmaster ช่วยเพิ่มให้ด้วยซิครับ ผมจะได้ตามไปอ่าน

[TOP]

ช่วยค้นได้มาบางส่วน สำหรับปัญหาแนวนี้ แต่คงไม่ใช่การพิสูจน์ทุกข้อของปัญหาคุณ Switchgear ต้องรอให้เจ้าตัวมาตอบอีกทีหนึ่ง

สำหรับคนชอบตรีโกณครับ
!!! New Identity Discover !!!
ใครคิดได้ ช่วยตอบด้วย
เสริมประสบการณ์คณิตศาสตร์ ชุดที่ ๓๒ ทฤษฎีสมการและตรีโกณมิติ

[gon]

ขออภัยที่ตอบช้านะครับ เมื่อวันก่อนผมไม่ได้นอนคืนหนึ่ง (โต้รุ่งครับ) แล้วเมื่อวานก็ไปปิดต้นฉบับ กลับมาก็เปิดเว็บบอร์ดนิดหน่อยแล้วก็นอนยาวเลยเพิ่งตื่นครับ...

อันนี้มีเรื่องแปลก ก่อนตื่นผมฝันครับ ในฝันผมได้ยินเสียงคุณ Switchgear (ไม่เห็นตัวนะครับ) ถามผมว่าตอนเราจะหาเอกลักษณ์เกี่ยวกับฟังก์ชัน sec จะทำอย่างไร

ครับเอกลักษณ์ทั้งหมดที่ผมเคยคิดมาใช้ทฤษฎีสมการ + Vieta's relation + ตรีโกณมิติ + จำนวนเชิงซ้อน แต่เดี๋ยวนี้ไม่ค่อยได้แตะแล้วครับ แตะทีไรผมต้องเผลอติดลมบนยาวทุกที

ถ้าคุณ Switchgear คิดเอกลักษณ์สวยๆได้ ช่วยเอามาแปะด้วยครับ เผื่อยังมีอันที่ผมไม่รู้ว่าจะคิดยังไง หรือ อาจจะได้แนวคิดใหม่ๆอีก

ปล. อยู่ในหมวดนี้ก็น่าจะถูกแล้วครับ.

[Switchgear]

ผมลองตามไปอ่านตามที่คุณ Top แนะนำไว้ พบว่าผลงานคุณ gon สุดยอดมากๆ
มีเอกลักษณ์มากมายไปหมด โจทย์ที่ผมแปะไว้ดูเด็กไปเลย :-)

หากมีเอกลักษณ์สวยๆ ที่คิดว่ามีคนรู้น้อย จะหามาแปะไว้ครับ แต่คิดว่าคงหนีไม่พ้น
สต็อคของคุณ gon :-) (Gon's Notebook ~ Ramanujan's Notebook)

[TOP]

ถึงจะเป็นเอกลักษณ์ที่ซ้ำกัน แต่ถ้ามีบทพิสูจน์ที่สวยงาม หรือมีแนวคิดอื่นที่น่าสนใจ ก็นำเสนอมาได้ครับ จะได้เป็นวิทยาทานต่อไป

[Switchgear]

ผมไปเจอเอกลักษณ์บางข้อเพิ่มเติม ลองเอามาโพสต์ไว้ให้ดู เพราะไม่แน่ใจว่ามีใจ Stock คุณ gon หรือยัง ?
ใครเช็คได้แล้ว ช่วยแจ้งด้วยครับ

ข้อ 4. จงพิสูจน์ว่า $\sin (\alpha + \gamma) \cdot \sin (\beta + \gamma) = \sin (\alpha + \beta + \gamma) \sin \gamma + \sin \alpha \sin \beta $

ข้อ 5. จงพิสูจน์ว่า $$\tan z = \frac{z}{1-\frac{z^2}{3-\frac{z^3}{5-...}}}$$

[gon]

ทั้งสองอันยังไม่มีในสต็อคของผมครับ แต่อันล่างที่เป็นตรีโกณดูคลับคล้ายคลับคลาว่าเหมือนจะเคยเห็นที่ไหนสักแห่ง ผมยังไม่เคยเล่นตรีโกณในรูปเศษส่วนต่อเนื่อง เท่าที่ลองคิดดูู่ อันบนคิดออกแล้วครับ แต่ผมยังมองความสวยงามของมันตอนนี้ไม่ออก

ขอเปลี่ยนเป็นตัวแปรง่าย ๆ นะครับ

ข้อ 4 : จงพิสูจน์ว่า $\sin(A+C)\sin(B+C)=\sin(A+B+C)\sin C + \sin A \sin B$

การพิสูจน์ : สมมติให้ A + B = x , B + C = y , C + A = z จะได้ว่า

$A = \frac{x - y + z}{2} , B = \frac{x + y -z}{2} , C = \frac{-x + y + z}{2}$

ดังนั้นสิ่งที่ต้องการพิสูจน์จะสมมูลกับ การพิสูจน์ว่า

$\sin z \sin y = \sin \frac{x+y+z}{2} \sin \frac{-x+y+z}{2} + \sin \frac{x-y+z}{2}\sin \frac{x+y-z}{2}$

สูตรที่ต้องใช้ คือ $2\sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B) , \quad \cos A - \cos B = -2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}$

R.H.S = $\frac{1}{2}[\cos x - \cos(y+z) + \cos(-y+z) - \cos x]$
$\quad \quad = \frac{1}{2}[\cos(-y+z)-\cos(y+z)]$
$\quad \quad = \frac{1}{2}(-2)\sin z \sin (-y) = \sin z \sin y $ = L.H.S

[Switchgear]

ผมเองก็ยังไม่ประทับใจข้อ 4 เท่าไร ... แต่สำหรับเศษส่วนต่อเนื่องแล้ว ผมชอบความงามของมันมาก
เหลือเชื่อว่าคณิตศาสตร์ที่มนุษย์ค้นพบว่าซ่อนอยู่ในธรรมชาติจะสวยงามขนาดนี้

มีที่ไหนซักแห่งเขียนไว้ว่า
"ความงามของคณิตศาสตร์ ยากจะบอกให้คนอื่นเข้าใจเหมือนเรา ทำนองเดียวกับการชื่นชมภาพศิลปะ"

[Switchgear]

มีข่าวมาแจ้งว่า ใครที่ชอบตรีโกณฯ มาก ขนาดนอนฝันว่าตัวเองนั่งแก้โจทย์ตรีโกณฯ
รีบไปหาซื้อหนังสือ "โลกตรีโกณมิติ" ของ รศ.ดำรงค์ ทิพย์โยธา มาอ่านได้แล้ว
เพิ่งออกเดือนกรกฎาคม 2550 นี้เอง (ตามที่พิมพ์แจ้งไว้ในหนังสือ)

หน้าปกเข้าชุดกับ "โลกอสมการ" และ "โลกอสมการ 2" ซึ่งคิดว่าหลายคนอ่านแล้ว

ราคาตามปก "โลกตรีโกณมิติ" คือ 295 บาท แต่ช่วงนี้ลด 15% ที่ศูนย์หนังสือจุฬาฯ