ถามคณิตศาสตร์ ม. 1

[banker]

แข่งขันคณิตศาสตร์ ระดับ ม1. แห่งหนึ่ง คิดคำตอบไม่ออกครับ
คำถามคือ ให้หาพื้นที่ของสี่เหลี่ยม ABCD
โจทย์ก็กำหนดตามตัวเลขที่ให้มาตามรูป

ที่ได้ลองคิดมาแล้ว
1. ได้ลากต่อเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า กว้าง 26 ซม. ยาว 40 ซม.
ลองลากเส้น AC เพื่อหาพื้นที่ สามเหลี่ยมสองรูป ABC + ACD ก็คิดไม่ออก
ลองลากเส้น DB แล้วหาพื้นที่สามเหลี่ยม ADB + CDB ก็คิดไม่ออก

ปัญหาคือจุด A อาจอยู่ตรงไหนก็ได้ โจทย์ไม่ได้กำหนดความยาวของ AE มาด้วย และไม่รู้ว่า AB ตัด DF อัตราส่วนเท่าไร

โจทย์นี้ถ้าไม่มีคำตอบให้กาข้อ 5 (ไม่มีคำตอบจาก 4 ข้อเลือก)
ระดับ ม.1 ยังไม่ได้เรียนตรีโกณมิติ

[gon]

ด้าน AE เราหาได้ไม่ยากครับ. โดยใช้ความรู้เรื่องสามเหลี่ยมคล้าย
ซึ่งโดยหลักสูตร เรียนแต่ ป.6 แต่จำไม่ได้ว่าการประยุกต์สอนตอน ม. ไหน

เพราะว่า สามเหลี่ยม AEB กับ BCG คล้ายกัน (ผมให้จุดล่างสุดของรูปเป็น G)
ทำให้ได้ว่า AE / 30 = 10 / 12
แก้สมการได้ AE = 25 ***

ก็จบแล้วครับ. เพราะ
พื้นที่ สี่เหลี่ยม ABCD = พื้นที่รูปใหญ่ทั้งหมด - พื้นที่สามเหลี่ยมมุมฉาก 2 รูปเล็กรวมกัน
= ( พ.ท.สี่เหลี่ยมคางหมู AEFD + พ.ท.สี่เหลี่ยมคางหมู DFGC) -
(พ.ท. สามเหลี่ยม AEB + พ.ท.สามเหลี่ยม BCG)

ตัวเลขที่ผมคิดอย่างคร่าว ๆ (อาจคิดผิด คือ 890 - 435 = 455 ซม.² )ครับ.

หมายเหตุ. โจทย์ข้อนี้ผมว่าใช้ได้เลย สำหรับเด็ก ม.1 อ้อ. โรงเรียนอะไรหรือครับ.

[banker]

ขอบคุณสำหรับคำตอบแต่ก็ยังสงสัย
เรื่องสามเหลี่ยมคล้ายก็มองๆอยู่ครับ แต่พิสูจน์ไม่ได้ว่ามันคล้ายกัน
เหตุผลคือ สามเหลี่ยม BCG มีด้านที่คงที่ แต่จุด A โจทย์ไม่ได้บอกว่าคงที่
ถ้าเกิดผมย้ายจุด A มาทางขวามือหรือซ้ายมือ มุม ABE กับ BAE ก็เปลี่ยนไป ในขณะที่สามเหลี่ยม BCG ยัง FIX กับที่จึงคิดว่าสามเหลี่ยม AEB กับสามเหลี่ยมBCG ไม่น่าจะคล้ายกัน ก็เลยล้มเลิกความคิดนี้ไป

พาลูกไปสอบที่โรงเรียนนครสวรรค์ครับ

[ToT]

นี่งคิดอยู่เหมือนกันครับ แต่ยังพิสูจน์ให้เป็นสามเหลี่ยมคล้ายไม่ได้เหมือนกัน โจทย์ไม่ได้กำหนด AE มา จุด A ก็เลยเลื่อนได้ค่ามุมเลยเปลี่ยนได้ตลอดเลย เหมือนที่คุณ banker ว่า

แต่ถ้าเลื่อนจุด A ไปทับจุด E แล้วสร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้าล้อมรอบ จะหาพท.ได้ออกมา 580 ครับผม

ปล. มุม E G ผมโมเมเอาเองนะครับว่ามันเป็นมุมฉาก ( โจทย์ของ m1 ส่วนใหญ่ก็ยึดรูปเป็นหลักอยู่แล้วใช่ไหมครับ มันไม่เหมือนของ ม.3 รูปหลอกบ้าง ตรีโกณปั่นหัวบ้าง )

[banker]

โจทย์ต้นฉบับเขียนอย่างนี้ครับ
จากรูป (ที่แสดงข้างต้น) เมื่อกำหนดหน่วยความยาวเป็นเซนติเมตร รูปสี่เหลี่ยม ABCD จะมีพื้นที่เท่าไร
1. 480 ตารางเซนติเมตร
2. 510 ตารางเซนติเมตร
3. 520 ตารางเซนติเมตร
4. 540 ตารางเซนติเมตร
ถ้าไม่มีคำตอบที่ถูกต้องให้กาข้อ 5.

แนวคิด
เนื่องจากโจทย์ไม่ได้กำหนดค่ามุมใดๆมาให้ นอกจากมองดูแล้วเห็นว่ามุม AEB กับมุม CGB น่าจะเป็นมุมฉากเท่านั้น
ดังนั้น
ถ้าเลื่อนจุด A มาทางขวาสุดทับจุด E ก็จะทำให้สี่เหลี่ยม ABCD มีพื้นที่มากที่สุด คือ 580 ตารางเซนติเมตร
แต่ถ้าเลื่อนจุด A ไปทางซ้ายมือ พื้นที่ของสี่เหลี่ยม ABCD ก็จะยิ่งน้อยลง
ถ้าเลื่อนจุด A ไปทางซ้ายมือสมมุติถึงจุด x ให้มีความยาว EX (หรือ EA) เท่ากับ 26 เซนติเมตร (ก็ไม่รู้ทำไมต้อง 26)
เนื้อที่สี่เหลี่ยม ABCD ก็จะเท่ากับ 450 ตารางเซนติเมตร

จะเห็นว่า เนื้อที่สี่เหลี่ยม ABCD น้อยสุดและมากสุดจะอยู่ในช่วง 450 กับ 580 ตารางซเนติเมตร ซึ่งคำตอบข้อ 1. 2. 3 . 4. ก็อยู่ในช่วงที่เป็นไปได้
ที่ยกเหตุผลนี้ขึ้นมาก็เพราะถ้าคำตอบของข้อ 1 ถึง 4 ไม่ยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ ก็จะได้ตอบข้อ 5

ปัญหาก็คือ ข้อ 1 2 3 4 มีคำตอบที่ถูกต้องหรือไม่ (ถ้ามี ก็แปลว่าเราคิดไม่ออก)
ถ้าเราคำนวณแล้วพบว่าข้อ 1 2 3 4 ที่ให้คำตอบมาผิดหมด ข้อ 5 ก็เป็นคำตอบสุดท้าย

ถ้าข้อ 5 เป็นคำตอบสุดท้ายก็นับว่าเป็นข้อสอบที่โหดสุดๆข้อหนึ่ง เพราะถ้าใครหลงมานั่งคิดข้อนี้อยู่ก็เรียบร้อยโรงเรียนจีนเลยครับ

หรือท่านอื่นมีความเห็นอย่างไรกันบ้างครับ

ถ้ามุมที่น่าจะเป็นมุมฉากเป็นมุมฉาก คิดว่าถ้าต้องการคำตอบที่เป็นตัวเลขที่แน่นอนก็ต้องกำหนดAEมา
การที่เขาไม่ให้ AE มานั้น คิดว่าเจตนาของผู้ออกข้อสอบตั้งใจจะให้ตอบว่าไม่มีคำตอบที่ถูกต้อง
แต่ผู้ที่ออกข้อสอบคงไม่ได้คิดว่าถ้าเราเลือกAEดีๆก็อาจจะเกิดพื้นที่ที่มีในตัวเลือกได้(เพราะเขาไม่ได้บอกว่าAEมีค่าเท่าใด)
ดั้งนั้นจึงคิดว่าน่าจะตอบว่าอาจจะเป็นไปได้ทั้งตัวเลือก1-4 มากกว่าที่จะตอบว่าไม่มีคำตอบที่ถูกต้อง

และอีกประเด็นคือสังเกตุว่ามุมที่น่าจะเป็นมุมฉากผู้ออกข้อสอบก็ไม่ได้บอกว่าเป็นมุมฉาก จึงตีความได้สองอย่างคือ1.ผู้ออกลืมหรือคิดว่าน่าจะเป็นที่เข้าใจตรงกันว่าเป็นมุมฉาก 2.ผู้ออกตั้งใจจะให้ตอบข้อ5จริงๆ

ดังนั้นจึงขอสรุปว่าปัญหาที่เกิดขึ้นน่าจะมาจากตัวผู้ออกข้อสอบมากกว่าตัวข้อสอบ

[ToT]

ผมว่ามันโหดไปหน่อยนะสำหรับเด็ก ม.1 โดยเฉพาะเรื่องจุด A ที่สามารถเลื่อนได้ ผมว่าคนเขียนโจทย์น่าจะลืมกำหนด AE มามากกว่า ( โจทย์ข้อนี้ถ้ากำหนด AE มาจะเป็นโจทย์ที่โหลที่สุดข้อหนึ่ง เจอกันบ่อยครับ แหะๆๆ เรียนพร้อมกับเรื่องสมุดสนามอะไรพวกนี้อ่ะ) ส่วนเรื่องมุมฉาก ผมว่ามันต้องเป็นมุมฉากแน่นอน เพราะโจทย์ ม.1 แบบนี้ยึดรูปเป็นหลักอยู่แล้ว ไม่ต้องคิดมาก

[TOP]

คิดว่าน่าจะเป็น ลืมกำหนดค่า AE มากกว่า ส่วนเรื่องมุม ABC คงไม่ใช่มุมฉาก เพราะถ้าเป็นมุมฉาก จะได้พื้นที่เป็น 455 cm² ตามที่ กร ได้คำนวณไว้แล้ว แต่มันไม่มีในตัวเลือก และไม่น่าจะให้ตอบข้อ 5

จากตัวเลือกที่กำหนดให้ คิดย้อนกลับไปหา AE จะได้เป็น 20 , 14 , 12 และ 8 cm ตามลำดับ เมื่อพิจารณาจากรูปแล้ว คาดว่า AE ที่ลืมกำหนดให้คือ 20 cm

[gon]

นี่เป็นอาจารย์ที่โรงเรียนผมเรียนมาออกหรือเปล่าครับนี่.
กลับบ้านไปคราวก่อนเห็นมีป้ายประกาศสอบหลายระดับเหมือนกัน

ในมุมมองของผมคล้าย ๆ กับทุกคนครับ. แต่เป็นมุมมองหลายแง่ผสมกันและเพิ่มเติม
ปัญหาที่ผมคาดคิดและพบเจอบ่อยกับตัวเอง
เพราะผมสอนเด็กหลายคน มีข้อสอบที่ทางโรงเรียนของเด็กที่ผมสอนอยู่หลายโรงเรียน
ปัญหาหลายประการที่ผมพบคือ
1. ตัวผู้ออกข้อสอบ ซึ่งมักจะคาดคิดว่าเด็กที่สอบต้องเข้าใจในสิ่งที่ตัวเองคิด
ถ้าผู้ออกข้อสอบจงใจวาดรูปอย่างนี้ ก็น่าจะหมายความว่า เป็นมุมฉาก
แต่ ที่ไม่มีสัญลักษณ์มุมฉากปรากฏเพราะว่า
ก. ผู้ออกข้อสอบลืมใส่สัญลักษณ์ดังกล่าวลงไป
ข. คนพิมพ์ลืมใส่
ค. ไม่มีการตรวจทานข้อสอบหลังจากออกเสร็จ
ทั้ง 3 ข้อนี่ละครับ. ที่ผมพบประจำ โดยเฉพาะข้อ 3. แทบไม่มีโรงเรียนไหนทำเลย
จนกว่าเด็กจะทำแล้วพบว่ามีปัญหา หรือ คนตรวจมาตรวจแล้วพบว่า
เอ. ทำไมข้อนี้เด็กตอบผิดกันเกือบทุกคนเลย หรือ แทบจะไม่เหมือนกันเลย
หรือว่างไว้ เพราะโดยหลักการแล้ว ข้อสอบที่ไม่ยากจนเกินไป
จากสถิติผลการสอบแข่งขันต่าง ๆ เด็ก มักจะถูกเกิน 50 % ขึ้นไป
พูดง่าย ๆ ว่า ถ้าเราเป็นคนตรวจข้อสอบเอง ตรวจไปซักไม่กี่ฉบับ ก็จำ
ตัวเลือกที่ถูกต้องได้แล้ว โดยไม่ต้องดูกระดาษคำตอบ (แน่นอนว่าถึงแม้จะตรวจโดย
การนำกระดาษคำตอบมาเจาะเป็นรู ถ้าผู้ตรวจมีสติก็จะรู้ได้ แต่ถ้าตรวจโดยคอม
แต่ไม่มีการดูสถิติข้อต่าง ๆ ที่นักเรียนทำถูกหรือผิด อย่างนี้ก็สุดจะแก้ไข)

ดังนั้น โดยจะเป็นว่าคนจัดทำข้อสอบจะไม่มีเวลาตรวจทาน หรือ อย่างไรก็ดี
ข้อสอบส่วนใหญ่มักจะมีตัวเลือก จ. ไว้เสมอ จะเรียกว่าเป็นการเผื่อเลือก หรือไว้หลอกเด็ก
หรือ จงใจหลอก ก็ยากสุดจะคาดเดาได้

ทางแก้ที่ดีที่สุดในกรณีมีปัญหา คือ สอบถามไปยังผู้จัดทำการสอบครับ.

อื่น ๆ ในข้อสอบที่คุณ Banker เขียนมาก็ไม่มีตรงไหนที่กล่าวว่าจุด A เลื่อนได้มิใช่หรือครับ.
โดยหลักการข้อสอบระดับนี้ มุมมองการเลื่อนจุด A จะเกินไปไหม ?
หรือ ก็เป็นไปได้ว่า คนออกข้อสอบ หรือ คนพิมพ์ ลืมใส่
ส่วนข้อที่ว่าจะจงใจออก เป็น จ. นั้น ผมคิดว่ามีโอกาสน้อยมาก เพราะตามเหตุผลที่ผมว่ามาแล้ว

สำหรับปัญหาข้อนี้นั้น ผมทำโดยมุมมองดังกล่าวที่ว่ามา
คือ ยึดตามรูป ซึ่งดูยังไงก็น่าโจทย์จงใจให้มุม CBA = CGB = AEB = 90 องศา
ซึ่งเป็นการทำโดย ไม่มีข้อมูล ตัวเลือก ก. ข. ค. ง. เป็นองค์ประกอบในการพิจารณา

แต่ถ้าทำโดยการยึดเสกล สมมติว่า วาดรูปได้เสกล และ จุด A fix ตามรูป อัตราส่วนระหว่าง
AE : CG เล็งด้วยสายตาของผมก็ประมาณ 3: 2 ดังนั้น AE ก็น่าจะเท่ากับ ประมาณ 18 ซม.
หรือ จริง ๆ คือ 20 ซม. ตามที่ Top ทำย้อนกลับไปจากตัวเลือก

คุณ Banker ถ้าคิดอย่างที่ผมว่า ก็ลองเอาไม้บรรทัดวัดในรูปข้อสอบแล้วเทียบอัตราส่วนที่ว่า
ดูซิครับ. อาจจะได้คำตอบที่ลงพอใจที่สุดก็ได้ ปัญหานี้ก็อาจเคลียร์ บนสมมติฐานที่ผมว่าไว้ !!

[banker]

คงถึงบทสรุปแล้วครับ
ผมสรุปตามความเข้าใจของผมเองว่า โจทย์ข้อนี้น่าจะมีคำตอบข้อใดข้อหนึ่งในสี่ข้อ ปัญหาที่เกิดขึ้นน่าจะเป็นข้อบกพร่องของการพิมพ์และไม่ได้ตรวจทาน(อาจเป็นเรื่องเร่งรีบทำก่อนวันสอบเพื่อไม่ให้ข้อสอบรัว) สิ่งที่ตกไปน่าจะเป็นความยาวของด้าน (ซึ่งน่าจะเป็นด้าน AE)ซึ่งเป็นตัวเลขใดตัวเลขหนึ่งมากว่าอย่างอื่น

ขอบคุณทุกท่านที่มีส่วนร่วมครับ