Shortlisted TMO8

[~ArT_Ty~]

http://math.science.cmu.ac.th/tmo8/docs/test.pdf

[Cachy-Schwarz]

ขอบคุณมากคับ ^^

[C H O]

ขอบคุณครับ
กำลังอยากได้อยู่พอดี

[ยอดคัมภีร์]

เหมือนจะไม่ใช่shortlistนะครับ

[~ArT_Ty~]

ใช่ครับ แต่ว่ามันไม่มีเฉลยครับ : )

[จูกัดเหลียง]

อยากให้ ออก A4,A5,A9 เยอะๆ
ปล. ขอบคุณมากนะครับ

[PP_nine]

ขอบคุณมากครับบบ

แต่รู้สึกปีนี้ สอวน ออกมาเยอะมาก

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

ใช่ครับ แต่ว่ามันไม่มีเฉลยครับ : )

ไม่งั้นมา ช่วยกันเฉลยปะครับ

[LightLucifer]

Shortlist ที่มีเฉลยด้วย จะแจกไปศูนย์ละเล่มครับ

[No.Name]

มาแล้วหรอครับเนี่ย ขอลองข้อนี้ก่อนเลยเหมือนจะง่าย

N2(สอวน.)จงหาจำนวนเฉพาะคี่ $p$ ทั้งหมดที่ทำให้ $\frac{2010^p+1}{2011}$ หารด้วย $2011$ ลงตัว

$\dfrac{2010^p+1}{2010+1}=2010^{p-1}-2010^{p-2}+....+1$

$=(-1)^{p-1}-(-1)^{p-2}+(-1)^{p-3}-...+1 (mod 2011)$

เนื่องจาก $p$ เป็นจำนวนเฉพาะคี่

$\underbrace{1+1+1...+1}_{p}=p$

จะได้ว่า $\dfrac{2010^p+1}{2011} \equiv p \pmod{2011}$

และเนื่องจาก $2011$ เป็นจำนวนเฉพาะ จึงได้ว่า

$p=2011$

[No.Name]

N7 ให้ $X={n\in\mathbb{Z^{+}} }|10^n+3$ เป็นจำนวนประกอบ} จงแสดงว่า X เป็นเซตอนันต์

วิธีที่ 1

$10^{13}\equiv 10 \pmod{13} $

$10^{13}+3\equiv 10+3 \equiv 0 \pmod{13} $

ทุกๆ $n$ ที่ $13|n$

วิธีที่ 2

$10^4 \equiv 4 \pmod{7}$

$10^6 \equiv 1 \pmod{7}$

$10^{6k+4}+3 \equiv 0 \pmod{7}$

จะได้ว่า $n=6k+4$ โดยที่ $k=0,1,2...$

[No.Name]

ถ้า $a,b,c\in \mathbf{R} $ และสอดคล้องกับเงื่อนไข $abc=1$ แล้ว

จงแสดงว่า $displaystyle\dfrac{b^3c^3}{b+c}+\dfrac{a^3c^3}{a+c}+\dfrac{a^3b^3}{a+b}\ge \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$

ให้ $a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}$ ได้ว่า $xyz=1$

จากโจทย์เมื่อแทนได้เป็น

$\displaystyle\frac{1}{x^2y^2(x+y)}+\frac{1}{y^2z^2(y+z)}+\frac{1}{x^2z^2(x+z)}$

$=\frac{z^2}{x+y}+\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}$

โดย โคชี ชวาซต์(ไม่รู้เขียนถูกหรือเปล่านะครับ )

$\displaystyle\frac{z^2}{x+y}+\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}\ge\frac{1}{2}(x+y+z)$

ไม่ไหวละครับพลังหมด

[จูกัดเหลียง]

จะร่วมกันเฉลยเหรอครับ (ดีเหมือนกัน 555+)

[No.Name]

G1 ให้ ABC เป็นรปสามเหลี่มหน้าจั่วโดยมี AB=BC และ BD ตั้งฉากกับ AC ซึ่งทำให้ CD:AD=1:2 จงแสดงว่า $BC^2=\dfrac{2}{3}AC^2$

เห็นเรขาข้อนี้ง่าย(เพราะข้ออื่นทำไม่เป็นแล้ว)


$BD^2=AB^2-AD^2$

$BC^2=BD^2+DC^2$

$BC^2=AB^2-AD^2+DC^2$

$AD=\frac{2}{3}AC,DC=\frac{1}{3}AC$

จะได้ว่า

$BC^2=AB^2-\dfrac{4}{9}AC^2+\dfrac{1}{9}AC^2$

$BC^2=AC^2-\dfrac{3}{9}AC^2$

$BC^2=\frac{2}{3}AC^2$

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

จะร่วมกันเฉลยเหรอครับ (ดีเหมือนกัน 555+)

คุณ จูกัดเหลียงเก่งนะครับ ช่วยๆกันหลายๆคน