โจทย์ส่งท้ายปีเก่า

[gon]

ผมจะกลับบ้านพรุ่งนี้แล้ว
ฝากโจทย์ส่งท้ายปีใหม่นะครับ.
เป็นโจทย์ที่ผมแต่งขึ้นมาเอง
เมื่อคืนนี้ คิดว่าคงไม่ยากและไม่ง่ายจนเกินไปนัก
ผมชอบเรื่องตรีโกณ ฯ มากที่สุดตั้งแต่เรียนมา
จะมีใครชอบเหมือนผมบ้างมั้ยนะ
มาว่ากันที่โจทย์มีอยู่ว่า
จงหาค่าของ

cos²( p / 2n+1 ) + cos²( 3p / 2n+1 ) + ... + cos²( (2n-1)p / 2n+1 )

note. ตอบติดในรูปของ n เมื่อ n เป็นจำนวนนับ.

(2n-1)/4

แต่งโจทย์เพิ่มให้
จงหา sec[p/(2n+1)] + sec[3p/(2n+1)] + sec[5p/(2n+1)] + ... + sec[(2n-1)p/(2n+1)]

ตัวหน้ายิ้มข้างบนคือ Pi นะ (ทำไมพิมพ์แล้วไม่ขึ้น)

sec[Pi/(2n+1)] + sec[3Pi/(2n+1)] + sec[5Pi/(2n+1)] + ... + sec[(2n-1)Pi/(2n+1)] = ?

[Hell]

น่าจะเป็น (n-1)/2 นะ
ใช้ cos²n=(1+cos 2n)/2
กับ cos A+ cos (p-A)=0
แต่ไหงคำตอบออกมาผิดนะ แปลก

ได้ (2n-1)/4 เช่นกันครับ ใช้วิธีแปลง cos²a ให้กลายเป็นเทอม cos(2a) แล้วก็ใช้เทคนิคในการหาอนุกรมตรีโกณแบบเดิม

[mathcenter]

กลับจากบ้านมาแล้วครับ
ปีนี้จะเป็น New อีกที

ครับ (2n - 1)/4 ถูกต้อง
น่าจะมีน้องที่อยู่ ม.5 คิดออกบ้างนะ

โจทย์ที่คุณ <-*-> แต่งให้ว่าง ๆ
ผมจะลองคิดดู

[warut]

โจทย์ของคุณ <-*-> น่าสนใจมากเลย ตอนแรกนึกว่ามีคน
เฉลยไปแล้ว เพิ่งมาสังเกตตอนที่คุณ gon ตอบถึงได้รู้ว่ายัง
ไม่มีใครทำได้ ลองทำดูก็คิดไม่ออกตามเคย รอเซียนมาเฉลย
ดีกว่า

[gon]

โจทย์ของคุณ *
= n -1 เมื่อ n เป็นจำนวนคี่
= -n เมื่อ n เป็นจำนวนคู่

คำตอบหาง่าย แต่วิธีทำหายาก

[gon]

ฮ่า ๆ ผมลักไก่จริง ๆ นั่นล่ะ
ก็อยากจะคิดนาน ๆ ล่ะนะ
แต่เวลาส่วนใหญ่ผมหมดไปกับการเขียนหนังสือ
(สังเกตใหมว่าพักหลัง Update น้อยมาก)
แต่วิธีตรง ยังไงผมก็ไม่ลืมคิดอยู่แล้วล่ะ
ฟ้าประทานความคิดมาให้ผมเมื่อไร
เมื่อนั้นผมก็จะจับปากกาเขียนล่ะนะ
(ข้ออ้างของผมล่ะ)

idea ของผม (คิดไว้นานแล้วแต่เพิ่งจะมีโอกาสpost)คือ
แปลงสมการ x^2n + x^(2n-1) + ... + x + 1 =0 ให้อยู่ในเทอม z
โดย 1/z = x + 1/x จากนั้นจะได้พหุนามในเทอม z
ทำ สปส. หน้า z^n ให้เป็น 1 จากนั้นจะได้ว่า
-2 * สปส.หน้า z^(n-1) คือค่าที่ต้องการ

แต่ยังไม่มีเวลาลองทำจริงๆเสียทีเลยไม่รู้ว่ามันจะ work หรือไม่ เพราะช่วงนี้ยุ่งมากๆ

ปล.มาเ่ล่นเวปบอร์ดคราวนี้ได้โจทย์กลับไปคิดหลายข้อเลย (ยังหวังว่าคงได้คิดก่อนที่มีใครเฉลยไปซะก่อน)