รวมโจทย์ภาคสี่(คุณภาพดีกว่าภาคที่แล้วมาชัวร์)

[[SIL]]

คูณ รูท x ขึ้นให้หมด แล้วย้ายตัวไหนก็ได้ไปฝั่งซ้าย อัดกำลองสองแล้วแก้ออกมาจะได้สมการ

$x^2-x-1 = 0$
$x^2 = x+1$
$x^4 = x^2+2x+1 = 3x+2$
..
หลังจากนี้ทำต่อไปเลยครับ

[M-A-T-H]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หมาป่าขาว

คิดยังไงเหรอครับ?

คือที่ทำใช้สามเหลี่ยมคล้ายค่ะ ถ้าให้จุดD เป็นจุดตัดระหว่าง BR,AQ, จุด E เป็นจุดตัดระหว่าง BR,PC และ จุดF เป็นจุดตัดระหว่าง AQ,PC แล้ว ดูสามเหลี่ยมคล้าย 2 รูป คือ สามเหลี่ยม ADR กับ สามเหลี่ยม AQC และ สามเหลี่ยม APFกับ สามเหลี่ยม ABQ ตั้งสมการอัตราส่วนด้านไปเรื่อยๆก็ออกค่ะ แต่จิงอย่างที่คุณ banker บอกสามเหลี่ยมนั้นต้องเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าค่ะ


ป.ล. วาดรูปช่วยจะง่ายขึ้นมาก

แถมหน่อยนะคะ ข้อ 7 ตอบ 649.698 ตารางหน่วยรึเปล่าคะ (เลขทึกมาก)

[banker]

เอาโจทย์กับรูปมาตั้งไว้ก่อน







$\frac{AF}{FQ} = \frac{105}{64}$




$\frac{AD}{DQ} = \frac{120}{49}$


AF : FD : DQ = 105 : 15 : 49
อีกสองเส้น ก็จะได้อัตราส่วนเดียวกัน

[Platootod]

ข้อแปดอ่ะครับที่ขึ้นต้นด้วยเลขเจ็ดผมงงๆอ่ะครับเพราะมันใช้พีธากับความสัมพันธ์แล้วไม่ตรง

[banker]

มาถึงทางตัน menelaus ช่วยไม่ได้

เรขาคณิตคิดไม่ออก บอก(อาจารย์)ไมตรี





สามเหลี่ยม $BDQ $ คล้าย สามเหลี่ยม $BRC$

$\frac{a}{15} = \frac{7}{a+b+c} = \frac{c}{7}$

$a(a+b+c) = 105 $ ..........(1)
$c(a+b+c) = 49$ ...........(2)

สามเหลี่ยม $ADR$ คล้าย สามเหลี่ยม $AQC$

$\frac{AR}{AQ} = \frac{DR}{QC} = \frac{AD}{AC}$

$\frac{8}{a+b+c} = \frac{b+c}{8} = \frac{a+b}{15}$

$(b+c)(a+b+c) = 64$ .........(3)

$(a+b)(a+b+c) = 120$ ..........(4)

(3)+(1) ......$(a+b+c)^2 = 169$


$(a+b+c) = 13$

(3)-(2) ..... $b(a+b+c) = 15$

$b= \frac{15}{13}$

$\frac{สามเหลี่ยมABC}{สามเหลี่ยมDEF} = \frac{15^2}{(\frac{15}{13})^2} = 13^2 = 169$

[terng12]

ช่วยข้อแปดทีครับผมใช้พีธากับความสัมพันธ์ที่เค้าให้มามันไม่ตรงกันอ่ะครัย

[คusักคณิm]

ข้่อเจ็ด ไม่มีคำตอบ

[หมาป่าขาว]

ข้อ3 คิดยังไงอ่ะครับ

[banker]

โจทย์ข้อนี้ ถึงทางตันจริงๆ

ถ้าอยู่ในห้องสอบ ขออนุญาตใช้วิชามารก็แล้วกันครับ



เนื่องจากโจทย์ไม่ได้กำหนดตำแหน่งที่แน่นอนของจุด P
จึงขออนุญาตให้จุด P อยู่บนเส้นทแยงมุม AC

ABP = 2, และ BPC = 5
ดังนั้นครึ่งสี่เหลี่ยม ABCD = 7
AP : PC = 2 : 5
ทำให้ APD =2
BPD = 7 - 2 - 2 = 3

ตอบ BPD = 3 ตารางหน่วย

[หมาป่าขาว]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ABP = 2, และ BPC = 5
ดังนั้นครึ่งสี่เหลี่ยม ABCD = 7
AP : PC = 2 : 5
ทำให้ APD =2
BPD = 7 - 2 - 2 = 3

ตอบ BPD = 3 ตารางหน่วย

ทำไม BPD = 7 - 2 - 2 หล่ะครับไม่เข้าใจ

[banker]

ABD เป็นครึ่งสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD = 7 ตารางหน่วย

BPD = ABD - ABP - APD

BPD = 7 - 2 - 2 = 3

[หมาป่าขาว]

อ๋อ...เข้าใจแล้วครับ

[banker]

5.กำหนด ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า p เป็นจุดภายในรูปสามเหลี่ยมนี้ที่จะทำให้ PA=10,PB=12,PC=14
รูปสามเหลี่ยม ABC มีพื้นที่กี่หน่วย

ให้ A เป็นจุดหมุน แกว่งสามเหลี่ยม APB ทวนเข็มนาฬิกามาที่ ACQ โดยให้ AB ทับ AC, AQ = AP = 10 และ QC = PB = 12

จะได้สามเหลี่ยม APQ เป็นสามเหลียมด้านเท่า

พื้นที่สี่เหลี่ยม APCQ = สามเหลี่ยมAPQ + สามเหลี่ยม PQC

= $(\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 10^2) + (\sqrt{(18)(18-10)(18-12)(18-14)})$ .....สามเหลี่ยม PQC ใช้ Heron's (or Hero's) formula

= $(100 \frac{\sqrt{3}}{4}) + ( 24 \sqrt{6})$ .................(1)

ทำนองเดียวกันก็จะได้ พื้นที่สี่เหลี่ยม BPCR = $(169 \frac{\sqrt{3}}{4}) + ( 24 \sqrt{6})$ .................(2)

และ พื้นที่สี่เหลี่ยม APBS = $(144 \frac{\sqrt{3}}{4}) + ( 24 \sqrt{6})$ .................(3)

(1)+(2)+(3) ........$2\bigtriangleup ABC = 110\sqrt{3} + 72\sqrt{6}$

$\bigtriangleup ABC = 55\sqrt{3} + 36\sqrt{6}$

[banker]

จากโจทย์ข้างต้น อ่านดูแล้ว จับใจความได้ว่า
เมื่อพนักงานคนที่ n ได้รับกระดาษมาแล้ว ก็จัดการเอา n ชิ้นมาฉีกชิ้นละ 5 ส่วน บวกกับที่เหลือ พร้อมส่งต่อ

ดังนั้น ชิ้นส่วนที่พร้อมจะส่งต่อ = 2n(n+1) +5

(HINT ที่มาของ 2n(n+1) +5 )

หัวหน้า 1 ฉีกเป็น 5 แล้วส่งต่อให้เบอร์ 1---> 5
เบอร์ 1 ---> 4 + 5 ---> ให้เบอร์ 2 = 9
เบอร์ 2 ---> 9 ---> 7 + 10 ---> ให้เบอร์ 3 -->17
เบอร์ 3--> 17

เบอร์ 1 ได้มา 5 ฉีก 1 เป็น 5 เท่ากับฉีก (5x1) เหลือ 5-1 รวมมี (5x1)+(5-1)

เบอร์ 2 ได้มา (5x1)+(5-1) ฉีก 2 เป็น 5 เท่ากับฉีก (5x2) เหลือ (5x1)+(5-1) -2 รวมมี (5x2)+(5x1)+(5-1) -2 = 10 + 5 + 4 -2 =17

เบอร์ 3 ได้มา (5x2)+(5x1)+(5-1) -2 ฉีก 3 เป็น 5 เท่ากับฉีก (5x3) เหลือ (5x2)+(5x1)+(5-1) -2 -3
รวมมี (5x3) + (5x2)+(5x1)+(5-1) -2 -3
= 15+10+5+4-5 29

เบอร์ 4 ได้มา (5x3) + (5x2)+(5x1)+(5-1) -2 -3 ฉีก 4 เป็น 5 เท่ากับฉีก (5x4) เหลือ (5x3) + (5x2)+(5x1)+(5-1) -2 -3 -4 รวมมี (5x4)+(5x3) + (5x2)+(5x1)+(5-1) -2 -3 -4
= 20+15+10+5+5 -10 =45


จากรูปแบบข้างต้น จะได้ว่า คนที่ n หลังจากฉีกแล้ว พร้อมจะส่งมอบให้คนที่ n + 1
= (5x4)+(5x3) + (5x2)+(5x1)+(5-1) -2 -3 -4
= 5(1+2+3+4)+(5-1) -2 -3 -4
= 5(1+2+3+4) + 5 - (1+2+3+4)

= 4(1+2+3+4) +5

= 4n(n+1)/2 + 5

= 2n(n+1) +5

ทดสอบคนที่ 1 กระดาษที่พร้อมจะส่งต่อ = $2\cdot 1(1+1) + 5= 9 $ ชิ้น
ทดสอบคนที่ 2 กระดาษที่พร้อมจะส่งต่อ = $2\cdot 2(2+1) + 5= 17 $ ชิ้น
ทดสอบคนที่ 3 กระดาษที่พร้อมจะส่งต่อ = $2\cdot 3(3+1) + 5= 29 $ ชิ้น
ทดสอบคนที่ 4 กระดาษที่พร้อมจะส่งต่อ = $2\cdot 4(4+1) + 5= 45 $ ชิ้น

แทนค่า k ของพนักงานคนที่ k
$2k(k+1) +5 \geqslant 2006$

$2k(k+1) \geqslant 2001$

$2k^2 +2k \geqslant 2001$

$2k^2 +2k -2001 \geqslant 0$

K = 32

[banker]

4.กำหนด x และ y เป็นจำนวนเต้มบวกสมการ $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2008}$ มีกี่คำตอบ

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2008}$

$xy = 2008x+2008y$

$xy-2008x-2008y=0$

$xy-2008x-2008y+2008^2=2008^2$

$(x-2008)(y-2008) = 2^6\times 251^2$

จึงมี (6+1)(2+1) =21 คำตอบ