Marathon - มัธยมต้น

[Siren-Of-Step]

ไม่มีใครตั้งโจทย์ต่อหรือเนี่ย

[~ArT_Ty~]

สามเหลี่ยมมีเส้นส่วนสูงทั้งสามยาว 12 15 20 หน่วย

จงหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยมนั้น

[XCapTaiNX]

1. จงหาผลรวมของเลขโดดทั้งหมด ที่ใช้ในการเขียนตัวเลขตั้งแต่ $1-500000$

2. $4+44+444+4444+44444+...+4444444..(200 ตัว)$
จงหาว่า ผลรวมเลขโดดของ $5$หลักสุดท้าย หารด้วย $13$ เหลือเศษเท่าใด

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ XCapTaiNX

2. $4+44+444+4444+44444+...+4444444..(200 ตัว)$
จงหาว่า ผลรวมเลขโดดของ $5$หลักสุดท้าย หารด้วย $13$ เหลือเศษเท่าใด

จะได้ว่า 5 หลักสุดท้ายคือ $15960$

$1+5+9+6+0=21$ หารด้วย $13 $ เหลือเศษ $8$

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ XCapTaiNX

1. จงหาผลรวมของเลขโดดทั้งหมด ที่ใช้ในการเขียนตัวเลขตั้งแต่ $1-500000$

ตั้งแบบนี้ครับ

499999
499998
499997
.
.
.
000002
000001
000000
ตั้งได้ 500000 หลัก

หลักหน่วยมี $ (0+1+2+3+4+5+6+7+8+9) $คูณ 50000 ชุด
หลักสิบมี $ (0+1+2+3+4+5+6+7+8+9) $คูณ 50000 ชุด
หลักร้อยมี $ (0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)$ คูณ 50000 ชุด
หลักพันมี $(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)$ คูณ 50000 ชุด
หลักหมื่นมี $(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)$ คูณ 50000 ชุด
หลักแสนมี $(0+1+2+3+4)$ คูณ 100000 ชุด

จาก $0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45$
ได้ว่า $5(45)(50000)+(10)(100000) = 11250000 + 1000000 = 12250000$
มี $500000$ อีก $1$ จำนวน
$\therefore ตอบ 12250005$

[Siren-Of-Step]

ไม่รู้ผิดตรงไหน ทำไมได้ไม่เท่ากัน
เสนอแบบง่าย ๆครับ
1,499999 2,499998 ............. , 249999,250001 , 250000 , 500000
$50(249999) + 7 + 5$
$12499962$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ไม่รู้ผิดตรงไหน ทำไมได้ไม่เท่ากัน
เสนอแบบง่าย ๆครับ
1,499999 2,499998 ............. , 249999,250001 , 250000 , 500000
$50(249999) + 7 + 5$
$12499962$

น่าจะผิดตรงนี้ครับ

จากตัวอย่างที่ยกมาข้างต้น เป็นการจับคู่

1,499999 (ผลรวมสองจำนวนเท่ากับ 500 000) (ผลรวมเลขโดดเท่าับ 50)

2,499998 (ผลรวมสองจำนวนเท่ากับ 500 000) (ผลรวมเลขโดดเท่าับ 50)
.
.

249999,250001 (ผลรวมสองจำนวนเท่ากับ 500 000) (ผลรวมเลขโดดเท่าั 50)
.
.


แต่จากการสังเกต

ในช่วงเปลี่ยนหลัก จากหลักหน่วย มาเป็นหลักสิบ
10, 499990 (ผลรวมสองจำนวนเท่ากับ 500 000) (ผลรวมเลขโดดเท่าับ 41)
.
.


ในช่วงเปลี่ยนหลัก จากหลักสิบ มาเป็นหลักร้อย
100, 499900 (ผลรวมสองจำนวนเท่ากับ 500 000) (ผลรวมเลขโดดเท่าับ 41)

.
.


ในช่วงเปลี่ยนหลัก จากหลักร้อย มาเป็นหลักพัน
1000, 499000 (ผลรวมสองจำนวนเท่ากับ 500 000) (ผลรวมเลขโดดเท่าับ 23)
.
.


ในช่วงเปลี่ยนหลัก จากหลักพัน มาเป็นหลักหมื่น
10000, 490000 (ผลรวมสองจำนวนเท่ากับ 500 000) (ผลรวมเลขโดดเท่าับ 14)
.
.
จะมีที่อื่นเป็นอย่างอื่นอีกหรือเปล่า ยังไม่ได้ดู

[~ArT_Ty~]

ไม่มีใครทำข้อของผมเหรอครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

ไม่มีใครทำข้อของผมเหรอครับ

ไม่ได้โพสต์ไม่ได้แปลว่าไม่มีคนทำ อาจกำลังคิด แต่ยังคิดไม่ออก
ผมกำลังมองว่า มันมีได้หลายคำตอบหรือเปล่า

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

สามเหลี่ยมมีเส้นส่วนสูงทั้งสามยาว 12 15 20 หน่วย
จงหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยมนั้น

จุดที่ส่วนสูงของสามเหลี่ยมตัดกัน เราเรียก orthocenter
กำลังดูว่า ถ้าไม่ fix ด้านใดด้านหนึ่ง หรือfix มุมใดมุมหนึ่งแล้ว พื้นที่จะเปลี่ยนไปไหม(คือมีได้หลายคำตอบ)


หรือถ้าเราเปลี่ยนจุดตัด ขยับเลื่อนจุดตัด พื้นที่สามเหลี่ยมยังเท่าเดิมไหม (มีหลายคำตอบหรือเปล่า)


ไปเอาโจทย์มาจากไหนครับ

[Onasdi]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ผมกำลังมองว่า มันมีได้หลายคำตอบหรือเปล่า

ผมลองคิดดู เหมือนจะมีคำตอบเดียวครับ

พื้นสามเหลี่ยม$\times 2=12a=15b=20c$
ดังนั้น $a:b:c=15\times 20:12\times 20:12\times 15$
นั่นคือ เรารู้แล้วว่าอัตราส่วนด้านของสามเหลี่ยมนี้เท่ากับเท่าไหร่
ในบรรดาสามเหลี่ยมเหล่านี้ ย่อมมีรูปเดียวที่มีส่วนสูงมายัง $a$ เท่ากับ $12$
(เริ่มรูปเล็กๆแล้วขยายจนได้รูปที่มีส่วนสูงนั้น$=12$)

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ไม่ได้โพสต์ไม่ได้แปลว่าไม่มีคนทำ อาจกำลังคิด แต่ยังคิดไม่ออก
ผมกำลังมองว่า มันมีได้หลายคำตอบหรือเปล่า



จุดที่ส่วนสูงของสามเหลี่ยมตัดกัน เราเรียก orthocenter
กำลังดูว่า ถ้าไม่ fix ด้านใดด้านหนึ่ง หรือfix มุมใดมุมหนึ่งแล้ว พื้นที่จะเปลี่ยนไปไหม(คือมีได้หลายคำตอบ)


หรือถ้าเราเปลี่ยนจุดตัด ขยับเลื่อนจุดตัด พื้นที่สามเหลี่ยมยังเท่าเดิมไหม (มีหลายคำตอบหรือเปล่า)


ไปเอาโจทย์มาจากไหนครับ

ผมเอามาจากโจทย์โอลิมปิกครับ รู้สึกจะเป็น JBMO ครับ

[banker]

มาถึง final

2 พื้นที่สามเหลี่ยมเท่ากับ 12a = 15b = 20c

จะได้อัตราส่วนด้าน a : b : c = 5 : 4 : 3

ให้ด้านของสามเหลี่ยมเท่ากับ 5x, 4x, 3x ที่มีส่วนสูง 12, 15, 20 หน่วยตามลำดับ

จะได้ $\frac{1}{2} \times 12 \times 5x = \sqrt{6x(x)(2x)(3x)} \ \ \ \ \ $ (heron)

$30x = 6x^2$

$x=5$

พื้นที่สามเหลี่ยม = $150$ ตารางหน่วย

[!!!-Argentum-!!!]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

สามเหลี่ยมมีเส้นส่วนสูงทั้งสามยาว 12 15 20 หน่วย

จงหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยมนั้น

ถ้าลองวาดรูปจะเห็นชัดเจนครับ ผมลองใช้ gsp วาด


แล้วใช้พีทาโกรัสครับ



จะได้ว่า
$12^{2}$ - $x^{2}$ = $h^{2}$

$15^{2}$ - $(20-x)^{2}$ = $h^{2}$

$12^{2}$ - $x^{2}$ = $15^{2}$ - $(20-x)^{2}$

.
.
.

$319$ = $40x$

$\frac{319}{40}$ = $x$

แล้วเอา $x$ ไปแทนค่าครับ


ถ้าผิด ขออภัยครับ
ส่วนสูง = $\frac{\sqrt{161 x 799}}{40}$
พท. ประมาณ 90 ครับ

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ !!!-Argentum-!!!

ถ้าลองวาดรูปจะเห็นชัดเจนครับ ผมลองใช้ gsp วาด


แล้วใช้พีทาโกรัสครับ



จะได้ว่า
$12^{2}$ - $x^{2}$ = $h^{2}$

$15^{2}$ - $(20-x)^{2}$ = $h^{2}$

$12^{2}$ - $x^{2}$ = $15^{2}$ - $(20-x)^{2}$


.
.
.

$319$ = $40x$

$\frac{319}{40}$ = $x$

แล้วเอา $x$ ไปแทนค่าครับ


ถ้าผิด ขออภัยครับ

ส่วนสูงนะครับ

[!!!-Argentum-!!!]

อ่านโจทย์ผิด อิอิ