MATH PROBLEMS : BASIC [ I ] by KonRakKanid

[Mathematicism]

เอาโจทย์สวยๆ มาฝาก 2 ข้อครับ

1. $จงหาผลรวมของจำนวนเต็มบวก n ทั้งหมด ที่ทำให้ n^{3}-8n^{2}+20n-13 เป็นจำนวนเฉพาะ$
2. $กำหนดให้ a^{2}+2b=7,b^{2}+4c=-7,c^{2}+6a=-14$
$จงหาค่าของ a^{3}+b^{3}+c^{3}$

[คusักคณิm]

งั้นต่อแล้วนะครับ

[poper]

16.จงหา $20102010^2-2(20102010)(20102000)+20102000^2$

ข้อง่ายครับ
$20102010^2-2(20102010)(20102000)+20102000^2={(20102010-20102000)}^2$
$=10^2=100$

[poper]

15.ถ้า $x+\frac{1}{x}=7$ แล้วจงหา $x^2+\frac{1}{x^2}$

อีกข้อครับ
$x^2+\frac{1}{x^2}={(x+\frac{1}{x})}^2-2$
$=49-2=47$

[poper]

ข้อ 17) ครับ
$\frac{x-a}{bc}+\frac{x-b}{ac}+\frac{x-c}{ab}=2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
นำ $abc$ คูณทั้ง 2 ข้าง
$a(x-a)+b(x-b)+c(x-c)=2bc+2ac+2ab$
$(a+b+c)x=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac={(a+b+c)}^2$
$x=a+b+c$

[poper]

พื้นที่ sector $=\frac{60}{360}\pi=\frac{\pi}{6}$
พื้นที่สามเหลี่ยม $=\frac{\sqrt{3}}{4}$
พื้นที่ที่แรเงา $=\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}$

[poper]

สมมุติมีส้ม $x$ ผล
คนแรกได้รับ $\frac{1}{2}x+1$ จะเหลือส้ม $x-(\frac{1}{2}x+1)=\frac{1}{2}x-1$
คนที่สองจะได้รับ $\frac{1}{2}(\frac{1}{2}x-1)+2=\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$ และเหลือส้ม $(\frac{1}{2}x-1)-(\frac{1}{4}x+\frac{3}{2})=\frac{1}{4}x-\frac{5}{2}$
คนสุดท้ายจะได้ $\frac{1}{2}(\frac{1}{4}x-\frac{5}{2})+3=\frac{1}{8}x+\frac{7}{4}$
ดังนั้นจะได้สมการ
$\frac{1}{2}x+1+\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}+\frac{1}{8}x+\frac{7}{4}=x$
$\frac{7}{8}x+\frac{17}{4}=x$
$\frac{1}{8}x=\frac{17}{4}$
$x=34$

[กิตติ]

ข้อ 12 คิดได้ -36
$ a^{2}+2b=7,\quad b^{2}+4c=-7,\quad c^{2}+6a=-14$
$ a^{2}+b^{2}+c^{2}+6a+2b+4c=-14$
$(a^{2}+6a+9)+(b^{2}+2b+1)+(c^{2}+4c+4)=0$
$(a+3)^2+(b+1)^2+(c+2)^2=0$
$a= -3 ,\quad b= -1 ,\quad c=-2$
$a^3+b^3+c^3 = (-27)+(-1)+(-8) = -36$

[poper]

จากรูป ให้ฐานของสามเหลี่ยมยาว $x$ และสูง $h$
ดังนั้น $\frac{1}{2}xh=4\sqrt{3}$
$xh=8\sqrt{3}$-------------(1)
ให้ความยาวด้านของลูกบาศก์ยาว $a$ ดังนั้น $2a^2=x^2$-------------(2)
จะได้ $h^2=\frac{1}{4}x^2+a^2$
$=\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x^2$
$=\frac{3}{4}x^2$
$h=\frac{\sqrt{3}}{2}x$
แทนใน (1)
$\frac{\sqrt{3}}{2}x^2=8\sqrt{3}$
$x=4$ แทนค่าใน (2)
$2a^2=16$
$a=2\sqrt{2}$
$a^3=16\sqrt{2}$

[banker]

อีกวิธี แบบประถมครับ คิดแบบไหลย้อนกลับ

คนที่สามได้ครึ่งกับ 3 ก็หมดพอดี

แปลว่า ตอนรับมา คนที่สามมี 3 + 3 = 6 ผล

ก่อนคนที่สามรับมา โดนคนที่สองจิ๊กไป 2

ดังนั้นครึ่งที่เหลือของคนที่สองคือ 6+2 = 8 ผล

ดังนั้นตอนที่คนที่สองรับมา มีส้ม 8+8 =16 ผล

แต่ก่อนที่คนที่สองจะรับมา โดนคนแรกจิ๊กไป 1 ผล

ดังนั้นครึ่งที่คนแรกส่งมอบให้คนที่สองคือ 16+1 = 17 ผล

ดังนั้นตอนแรกคนแรกมีส้ม 17+17 = 34 ผล

[banker]

ข้อนี้ อีกมุมมองครับ

เพราะว่า AB = AC =BC = เส้นทะแยงมุมของแต่ละหน้าของลูกบาศก์ = a หน่วย

ดังนั้น ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า มีแต่ละด้านยาว a หน่วย

พื้นที่สามเหลี่ยม ABC = $\frac{\sqrt{3} }{4} \times a^2 = 4\sqrt{3} $

$a = 4$

ถ้าลูกบาศก์ยาวด้านละ $ \ x \ $ หน่วย

จะได้ $2x^2 = 4^2$

$x = 2\sqrt{2} $

$x^3 = 16\sqrt{2} $

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คusักคณิm

14.จงแยกตัวประกอบของ $a^4+2a^3+a^2-1$

$a^4+2a^3+a^2-1$

$ = (a^4+2a^3+a^2) - 1^2$

$ = a^2(a^2+2a+1) - 1^2$

$ = a^2(a+1)^2 - 1^2$

$ = (a(a+1)+1)(a(a+1)-1)$

$ = (a^2+a+1)(a^2+a-1)$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mathematicism

1. $จงหาผลรวมของจำนวนเต็มบวก n ทั้งหมด ที่ทำให้ n^{3}-8n^{2}+20n-13 เป็นจำนวนเฉพาะ$

ข้อนี้ทำยังไงไม่รู้

นั่งเพ่งตัวเลขในโจทย์ เพ่งไปจิ้มไป เห็นตัวเลขน้อยๆ มี 3 ตัวที่ใช้ได้

n = 2 จำนวนเฉพาะ = 3

n = 3 จำนวนเฉพาะ = 2

n = 4 จำนวนเฉพาะ = 3

n มากกว่า 4 ขี้เกียจเพ่งแล้ว ตัวเลขแยะ

ตอบแค่นี้แหละ

2+3+4 = 9


$n(n^2-8n+20) = 13 +a$ เมื่อ a เป็นจำนวนเฉพาะ

[Mathematicism]

ขนาดขี้เกียจเพ่งยังถูกเลยครับ

$n^3−8n^2+20n−13=(n-1)(n^2-7n+13)$
เนื่องจากเป็นจำนวนเฉพาะจึงมีตัวประกอบตัวหนึ่ง = 1
$\therefore n-1=1$ หรือ $n^2-7n+13=1$
แก้สมการหาค่า n ก็จะได้คำตอบเหมือนคุณ banker ครับ

[banker]

เหลืออีกข้อ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คusักคณิm

13.ให้ $\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}+\frac{c}{x+1}=\frac{x-2}{(x^2)(x-1)}$ จงหา $a+b+c$

ยังมองไม่เห็นทางแลยครับ คลำไม่ถูก


โจทย์แนวนี้ เท่าที่เคยเจอ มักมีเงื่อนไข เช่น เมื่อ $a+b+c \not= 0$

ดังนั้นในห้องสอบ ถ้าทำไม่ได้จริงๆ ผมตอบ $a+b+c = 0$ ไว้ก่อน



รอท่านผู้รู้มาช่วยชี้ทางให้ครับ