MATH PROBLEMS : BASIC [ I ] by KonRakKanid

[Mathematicism]

ข้อ 13 เข้าใจว่าโจทย์ผิดครับ
ตัวส่วนใต้ตัว c ควรจะเป็น x-1 จึงจะทำ partial fraction ได้
แล้วจะได้ a+b+c = 2 ครับ

[คusักคณิm]

Update เเล้วนะครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คusักคณิm

21.จงหา $\sqrt{57-40\sqrt{2}}-\sqrt{57+40\sqrt{2}}$

$\sqrt{57-40\sqrt{2}}-\sqrt{57+40\sqrt{2}}$

$= \sqrt{32-40\sqrt{2}+25}-\sqrt{25+40\sqrt{2}+32}$

$= \sqrt{(4\sqrt{2} -5)^2} - \sqrt{(5+4\sqrt{2} )^2} $

$= (4\sqrt{2} -5)-(5+4\sqrt{2} )$

$= 4\sqrt{2} -5-5-4\sqrt{2}$

$= -10$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คusักคณิm

22.จงแยกตัวประกอบ $x^4-y^4+2xy(x^2-y^2)$

$x^4-y^4+2xy(x^2-y^2)$

$ = (x^2-y^2)(x^2+y^2) +2xy(x^2-y^2)$

$ =(x^2-y^2)(x^2+y^2+2xy) $

$ = (x-y)(x+y)(x+y)^2$

$ = (x-y)(x+y)^3$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คusักคณิm

23.ให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงบวก
$a+b^2+2ac=16$
$b+c^2+2ab=18$
$c+a^2+2bc=22$
จงหา $(a+b+c)^2$

$ \because \ \ (a+b+c)^2 = a^2+2 a b+2 a c+b^2+2 b c+c^2$ ....(*)


$a+b^2+2ac=16$ ....(1)
$b+c^2+2ab=18$ ....(2)
$c+a^2+2bc=22$ ....(3)

(1)+(2)+(3) $ \ \ \ (a+b^2+2ac) + (b+c^2+2ab) + (c+a^2+2bc) = 16+18+22$

$(a+b+c)+(a+b+c)^2 = 56$

ให้ $(a+b+c) = m$

$m +m^2 = 56$

$(m+8)(m-7)=0$

$m = 7$

$m^2 =(a+b+c)^2 = 49$

[banker]

24.มีไข่ไม่เกิน 500 ฟองนำใส่ตะกร้าละ 2,3,4,5 หรือ 6 ฟอง เท่าๆกัน เหลือ 1 ฟองเสมอ แต่ใส่ใบละ 7 ฟอง ไม่เหลือเลย จงหาจำนวนไข่

จำนวนนั้นคือ N

N - 1 หารด้วย 2, 3, 4, 5, 6 ลงตัว

ค.ร.น. ของ 2, 3, 4, 5, 6 คือ 60

N - 1 = 60 ---> N = 61 ซึ่งหารด้วย 7 ไม่ลงตัว

N - 1 = 60x2 ---> N = 121 ซึ่งหารด้วย 7 ไม่ลงตัว

N - 1 = 60x3 ---> N = 181 ซึ่งหารด้วย 7 ไม่ลงตัว

N - 1 = 60x4 ---> N = 241 ซึ่งหารด้วย 7 ไม่ลงตัว

N - 1 = 60x5 ---> N = 301 ซึ่งหารด้วย 7 ลงตัว

จำนวนไข่ เท่ากับ 301 ฟอง

[banker]

25.กำหนดลำดับ 1,3,6,10,15,21,a,b,c,d,e,... สร้างลำดับใหม่ตามเงื่อนไขดังนี้ นำจำนวนหนึ่ง-จำนวนสอง นำจำนวนสอง-จำนวนสาม ทำไปเรื่อยๆ จงหาลำดับชุดใหม่ เริ่มจากลำดับเก่าตัวที่มีค่า 21 เป็นจำนวนแรก

อนุกรมข้างต้นคือ (1), (1+2), (1+2+3), (1+2+3+4), ....

1,3,6,10,15,21,a,b,c,d,e,

1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66, 72....

(21-28), (28-36), (36-45), (45-55)

ลำดับชุดใหม่ คือ -7, -8, -9, -10, -11, ....

[Mwit22#]

ไปเจอโจทย์มา 1 ข้อครับ

1.รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีเส้นมัธยฐานยาว 3 , 4 , 5 หน่วย ตามลำดับ จงหาความยาวด้านที่ยาวที่สุด

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mwit22#

ไปเจอโจทย์มา 1 ข้อครับ

1.รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีเส้นมัธยฐานยาว 3 , 4 , 5 หน่วย ตามลำดับ จงหาความยาวด้านที่ยาวที่สุด

ด้านที่ยาวที่สุด คู่กับเส้นมัธยฐานที่สั้นที่สุด คือ BC

ลาก CE ขนานกับ BO ตัด AD ที่ต่อออกไป ที่จุด E
จะได้ว่า สามเหลี่ยม CED เท่ากันทุกประการกับสามเหลี่ยม BOD (มดม)
เป็นผลให้ OD = DE = 1

ยกเลิกข้อความสีเทาข้างล่างนี้

สี่เหลี่ยม BECO เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (เส้นทะแยงมุมแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน)

โดย heron สามเหลี่ยม CEO มีพื้นที่เท่ากับ $\frac{8}{3} = $พื้นที่สามเหลี่ยม BOC

สามเหลี่ยม BOC มีด้านยาว $a, \ \ \frac{10}{3}, \ \ \frac{8}{3} $หน่วย มีพื้นที่ $\frac{8}{3} \ \ $ ตารางหน่วย

$s = \frac{a+\frac{10}{3}+\frac{8}{3}}{2} = \frac{a}{2}+3$

$\frac{8}{3} = \sqrt{(\frac{a}{2}+3)(\frac{a}{2}+3 -\frac{8}{3})(\frac{a}{2}+3 -\frac{10}{3})(\frac{a}{2}+3-2)}$


$\frac{8}{3} = \sqrt{(\frac{a}{2}+3)(\frac{a}{2}+1)(\frac{a}{2}+\frac{1}{3})(\frac{a}{2} -\frac{1}{3})}$

$\frac{8}{3} = \frac{1}{12}\sqrt{a+2} \sqrt{a+6} \sqrt{3 a-2} \sqrt{3 a+2}$

$a = 2$

ทำไมน้อยจัง ถูกหรือเปล่าหว่า

มานั่งดูอีกที

BC = 2, และ AE ก็เท่ากับ 2 เส้นทะแยงมุมเท่ากัน แล้วทำไมด้านขนานไม่เท่ากัน ? ชักงงๆ




29 ตุลาคา 2553

แก้ไขใหม่ตามที่คุณScylla_Shadow ชี้ทางให้ครับ



สามเหลี่ยม OEC มีมุมOECเป็นมุมฉาก ($ \ \ \ (\frac{10}{3})^2 = 2^2+(\frac{8}{3})^2 \ $)

สามเหลี่ยมมุมฉาก DCE โดยปิธากอรัส $CD = \frac{\sqrt{73}}{3}$
จะได้ $ BD+DC = BC = \frac{2}{3} \sqrt{73}$

[Scylla_Shadow]

ลุง banker ครับ ผมสงสัยว่ามุม OEC กางเท่าไรอ่ะครับ

[หยินหยาง]

ท่าน สว. ใช้ ทบ.เกี่ยวกับเส้นมัธยฐาน จะง่ายกว่าเยอะครับ
hint
$a^2+b^2 =2((\frac{c}{2})^2+3^2)$
$a^2+c^2 =2((\frac{b}{2})^2+4^2)$
$b^2+c^2 =2((\frac{a}{2})^2+5^2)$

ที่เหลือก็ง่ายแล้วครับ

[PGMwindow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ท่าน สว. ใช้ ทบ.เกี่ยวกับเส้นมัธยฐาน จะง่ายกว่าเยอะครับ
hint
$a^2+b^2 =2((\frac{c}{2})^2+3^2)$
$a^2+c^2 =2((\frac{b}{2})^2+4^2)$
$b^2+c^2 =2((\frac{a}{2})^2+5^2)$

ที่เหลือก็ง่ายแล้วครับ

ขอทราบทฤษฎีบทข้างต้นด้วยครับ รู้สึกจะไม่เคยเจอ...

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PGMwindow

ขอทราบทฤษฎีบทข้างต้นด้วยครับ รู้สึกจะไม่เคยเจอ...

ABC เป็นสามเหลี่ยมใดๆ
AD เป็นเส้นมัธยฐาน


จากกฎของ cosine
สามเหลี่ยม ABD $ \ \ \ AB^2 = BD^2 + AD^2 - 2BD \cdot ADcosA \hat D B $ ....(1)

สามเหลี่ยม ACD $ \ \ \ AC^2 = CD^2 + AD^2 -2 AD \cdot DCcosA \hat D C$ .....(2)

(1)+(2) $ \ \ AB^2 + AC^2 = BD^2 + AD^2 - 2BD \cdot ADcosA \hat D B +CD^2 + AD^2- 2 AD \cdot DCcosA \hat D C $

$ \ \ AB^2 + AC^2 = BD^2 + CD^2 + 2AD^2 - 2BD \cdot ADcosA \hat D B + 2 AD \cdot DCcos(180^\circ -A \hat D B) $

แต่ BD = DC จะได้

$ \ \ AB^2 + AC^2 = 2BD^2 + 2AD^2 - 2BD \cdot ADcosA \hat D B + 2 AD \cdot BDcosA \hat D B $

$ \ \ AB^2 + AC^2 = 2BD^2 + 2AD^2 $

$ \ \ AB^2 + AC^2 = 2(BD^2 + AD^2) $

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ท่าน สว. ใช้ ทบ.เกี่ยวกับเส้นมัธยฐาน จะง่ายกว่าเยอะครับ
hint
$a^2+b^2 =2((\frac{c}{2})^2+3^2)$
$a^2+c^2 =2((\frac{b}{2})^2+4^2)$
$b^2+c^2 =2((\frac{a}{2})^2+5^2)$

ที่เหลือก็ง่ายแล้วครับ

ขอบคุณซือแป๋ครับ

คือข้อนี้เป็นของม.ต้น ก็เลยพยายามด้นไปทาง ม. ต้นดูก่อนครับ

เดี๋ยวว่างแล้วจะมาเคลียร์อีกที

ไปล้างบ้านก่อนครับ


เอาใหม่นะครับ
จากการพิสูจน์ข้างต้น จะได้




$b^2 + c^2 = 2(3^2 + (\frac{a}{2})^2) $.....(1)

$a^2 + b^2 = 2(4^2 + (\frac{c}{2})^2) $.....(2)

$a^2 + c^2 = 2(5^2 + (\frac{b}{2})^2) $.....(3)


(1)+(2)+(3) $ \ \ \ 2(a^2+b^2+c^2) = 2(50+\frac{a^2}{4} +\frac{b^2}{4} +\frac{c^2}{4})$

$ 3(a^2+b^2+c^2) = 200$

$ (a^2+b^2+c^2) = \frac{200}{3}$

แทนค่าจาก ...(1) $ \ \ \ a^2 + 2(3^2 + (\frac{a}{2})^2) = \frac{200}{3}$

$a = \frac{2}{3}\sqrt{73} \ $ เซนติเมตร




เอาแบบมัธยมต้นนะครับ


ด้านที่ยาวที่สุด คู่กับเส้นมัธยฐานที่สั้นที่สุด คือ BC

ลาก CE ขนานกับ BO ตัด AD ที่ต่อออกไป ที่จุด E

จะได้ว่า สามเหลี่ยม CED เท่ากันทุกประการกับสามเหลี่ยม BOD (มดม)

เป็นผลให้ OD = DE = 1

สามเหลี่ยม OEC มีมุมOECเป็นมุมฉาก ($ \ \ \ (\frac{10}{3})^2 = 2^2+(\frac{8}{3})^2 \ $)

สามเหลี่ยมมุมฉาก DCE โดยปิธากอรัส $CD = \frac{\sqrt{73}}{3}$

จะได้ $ BD+DC = BC = \frac{2}{3} \sqrt{73}$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

ลุง banker ครับ ผมสงสัยว่ามุม OEC กางเท่าไรอ่ะครับ

ผมก็ไม่ทราบเหมือนกัน

Scylla_Shadow ต้องการบอกใบ้อะไรผมหรือเปล่าครับ