โอลิมปิกรอบ 1 ปี 2549

[thee]

ข้อ 5 ตอนที่ 2 ครับ

กำหนดให้ $ 2^n = A $ จะได้ $$
n = \log _2 A
$$

เพราะฉะนั้น$$
f(A) = 2^{\log _2 A + \log _2 2} + 5
$$
$$
f(A) = 2A + 5
$$
$$
f(1659) = 2(1659) + 5 = 3323
$$
ขอนี้เพื่อนของผมคิดออกครับ ผมเลยเอามาลงให้

[thee]

ข้อ 10 ตอนที่ 2 ครับ
จาก
$$
\log (1 + a^2 ) + \log (100 + b^2 ) = \log 10 + \log a + \log b + \log 4
$$
$$
(1 + a^2 )(100 + b^2 ) = (10)(4)(a)(b)
$$
$$
a^2 b^2 + 100a^2 + b^2 + 100 = 40ab
$$
$$
(100a^2 - 20ab + b^2 ) + ((ab)^2 - 20(ab) + 100) = 0
$$
$$
(10a - b)^2 + (ab - 10)^2 = 0
$$
จากทฤษฎี
$$
(x^2 + y^2 = 0) \to (x = 0 \wedge y = 0)
$$

จะได้
$$
ab - 10 = 0
$$
$$
ab = 10
$$

[gon]

ขอบคุณน้อง mastermander ที่พิมพ์แล้วมาโพสต์นะครับ.

และก็ขอบคุณน้อง Thee มาก ที่สแกนต้นฉบับมาลง อยากจะให้ช่วยสแกนต้นฉบับของตอนที่ 2 ที่โพสต์ไว้แล้วมาลงหน่อยครับ (ที่ทำลิงก์ไปที่วิชาการ.คอม บางส่วน) เพราะเราจะได้มั่นใจว่าตัวข้อสอบจะไม่ได้หายไปไหน (ถ้ามาแปะที่เซิพเวอร์ที่นี่) อีกทั้งยังใช้เป็นอ้างอิงต่อไปได้ด้วย

[nongtum]

ผมทำโจทย์ปรนัยทั้งสิบข้อได้แล้ว เดี๋ยวจะมาเพิ่มวิธีทำครับ ระหว่างนี้หากคุณ Thee หรือคุณ Mastermander สามารถแปะโจทย์ข้อ 16 ที่ขาดไปได้ช่วยแปะด้วยครับ ขอบคุณคุณ Thee ครับ
1. (คำตอบที่คิดได้ไม่ตรงกับตัวเลือก) 2. ข 3. ก 4. ง 5. ค 6. ก 7. ข 8. ง 9. ค 10. ข

เฉลย ปรนัย 10 ข้อ 20 คะแนน

1. เพราะ $(a-1)(a-7)=bc$ ดังนั้น $b^2+c^2=6(a-1)-bc=(6-a+7)(a-1)\ge0$
ดังนั้น $a\in [1,13]$ (ซึ่งไม่มีคำตอบในตัวเลือก)

เทคนิคตัดตัวเลือก เลือกค่า $a=0.5\in [0,1]$ (ลองลากเส้นในแต่ละตัวเลือกบนเส้นจำนวนเดียวกันสิครับ)
เราจะได้ $bc=\frac{13}4,\ b^2+c^2=(\frac12-1)(13-\frac12)<0$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ดังนั้นก็น่าจะกาข้อ ค.

2. กำหนด A(1,0) และ AD ซึ่งอยู่บนแกน y เป็นส่วนสูงของสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC โดย B อยู่ในจตุภาคที่สาม
เพราะ AD แบ่งครึ่งมุม BAC ดังนั้นความชันของ AB จึงเป็น $\sqrt3$ สมการของ AB จึงเป็น $y-1=\sqrt3x$
แต่ B อยู่บนวงรีด้วย ดังนั้น $\frac{(y-1)^2}{3}+5y^2=5$ หรือ $y=1,-7/8$
ในสามเหลี่ยม ABD เราจะได้ $\cos{30^\circ}=\frac{\sqrt3}{2}=\frac{AD}{AB}=\frac{15/8}{AB}$ ดังนั้น $AB=\frac{5\sqrt3}{4}$

3. เพราะ $xyz=1$ ดังนั้น $$\begin{eqnarray}
(x+\frac1z)(y+\frac1x)(z+\frac1y)&=&\frac1z(1+\frac1y)\cdot\frac1x(1+\frac1z)\cdot\frac1y(1+\frac1x)\\
&=&\frac{1}{xyz}(x+1)(y+1)(z+1)\\
&=&2+x+y+z+xy+yz+zx\\
&=&2+x+y+z+\frac1x+\frac1y+\frac1z\\
&=&2+25+49+\frac{m}{n}=35^2\frac{m}{n}\\
\end{eqnarray}$$ ดังนั้น $(35^2-1)\frac{m}{n}=76$ นั่นคือ $\frac{m}{n}=\frac{76}{34\cdot36}=\frac{19}{306}$ และ $m+n=325$

[jabza]

ข้อ14ตอน2 ผมหาได้ab = 55x20 = 1100

ช่วยตรวจสอบด้วยนะครับว่าถูกหรือไม่

วิธีทำก็คือ ด้านAO = OB
a² + 20² = b² + 55²
a² - b² = 55² - 20²
(a-b)(a+b) = (55-20)(55+20)

\ a = 55
b = 20

ปล. ใครก็ได้ช่วยตรวจสอบด้วย ผมรู้สึกว่าจะผิด!

[nongtum]

ต่อจากด้านบน

4. เพราะ $\Delta(\Delta A)=\{1,1,1\dots\}=\{a_1-2a_2+a_3,\ a_2-2a_3+a_4,\dots\}$ ดังนั้น
$a_3=1+2a_2-a_1$
$a_4=1+2a_3-a_2=1+2(1+2a_2-a_1)-a_2=3+3a_2-2a_1$
$a_5=1+2a_4-a_3=1+2(3+3a_2-2a_1)-(1+2a_2-a_1)=6+4a_2-3a_1$
$\vdots$
$\therefore\ a_n=\frac12(n-2)(n-1)+(n-1)a-2-(n-2)a_1$
เพราะ $a_{25}=276+24a_2-23a_1=1000$ และ $a_{49}=1128+48a_2-47a_1=1900$ จะได้ $a_1=676$

5. หลังจากวาดรูปตามโจทย์แล้ว ลาก AD เพิ่ม เราจะได้ $\hat{ADC}=\hat{CBA}=:\hat{x}$
สามเหลี่ยม ADC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้น $\hat{DAB}=44^\circ-\hat{x}=\hat{DCB}=24^\circ+\hat{x}$
ดังนั้น $\hat{x}=10^\circ$ และ $\hat{DCB}=(44-10)^\circ=34^\circ$

6. เพราะ $\Delta{PQA}~\Delta{QBC},\ \Delta{QBR}~\Delta{RDC}$ ให้ RC=x, AQ=y, QB=z ดังนั้น $\frac{PQ}{QC}=\frac{QA}{QB},\ \frac{CR}{RQ}=\frac{CD}{BQ}$
แทนค่าจะได้ $\displaystyle\frac{y}{z}=\frac{525}{80+x}=\frac{x}{80}-1$ ดังนั้น $x=\sqrt{48400}=220$

7. เพราะ $y=(n+1)(n+2)x^2-(n+1+n+2)x+1=[(n+1)x-1][(n+2)x-1]$
ดังนั้น $\displaystyle a_nb_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$
โดย telescope Sum จะได้ $\displaystyle\sum_{I=1}^{2550}a_nb_n=\frac12-\frac1{2552}=\frac{1275}{2552}$

8. ให้ $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ เมื่อ $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ ดังนั้น
$\begin{array}{lcl}
1=1+a+b+c+d\quad &\Rightarrow& \quad{}a+b+c+d=0\quad...(1)\\
3=16+8a+4b+2c+d\quad &\Rightarrow& \quad{}8a+4b+2c+d=7a+3b+c=-13\quad...(2)\\
5=81+27a+9b+3c+d\quad &\Rightarrow& \quad{}27a+9b+3c+d=26a+8b+2c=-76\\
&&\quad\Rightarrow1\ 3a+4b+c=-38\quad...(3)\\
\end{array}$
ดังนั้น
$\begin{eqnarray}
f(0)+f(4)&=&256+64a+16b+4c+d=256+62a+14b+2c\\
&=&256-51+42a+7b=205+7(-25)=30
\end{eqnarray}$
หมายเหตุ: ข้อนี้สามารถคิดได้ง่ายกว่านี้เยอะ หากสนใจหาได้ในวิชาการหรือกระทู้อุ่นเครื่องโอลิมปิกของปีที่แล้ว

9. เพราะ $f(2x+1)=4x^2+14x=(2x+1)^2+5(2x+1)-6$
ดังนั้น $f(x)=x^2+5x-6$ ซึ่งมีผลบวกของคำตอบของสมการ $f(x)=0$ เป็น -6+1=-5

10. จาก $f(x)=\log(\frac{1+x}{1-x})=\log(1+x)-\log(1-x)$ เมื่อ $|x|<1$ ดังนั้น
$$\begin{eqnarray}
f(\frac{3x+x^3}{1+3x^2})&=&\log(1+\frac{3x+x^3}{1+3x^2})-\log(1-\frac{3x+x^3}{1+3x^2})\\
&=&\log(\frac{(x+1)^3}{1+3x^2})-\log(\frac{(x-1)^3}{1+3x^2})\\
&=&\log(\frac{x+1}{x-1})^3=3\log(\frac{x+1}{x-1})=3f(x)\\
\end{eqnarray}$$

ไม่ได้พิมพ์ยาวๆแบบนี้ซะนาน เหนื่อยชะมัด...

[thee]

ตอนที่2หน้า 1 ครับ

[thee]

ตอนที่ 2 หน้า 2 ครับ

[thee]

ตอนที่ 2 หน้า 3 ครับ ส่วนตอนที่2 หน้า 4 โพสไว้หน้าถัดไปแล้วนะครับ

[thee]

ตอนที่ 2 หน้าสุดท้ายครับ ย้ายมาจากข้างบน

[Tee_93]

21.ตอบ1 แต่ตอนสอบผมตอบ2เพราะสะเพร่า
22.1/2
23.30องศา
24.5
25.1274 เเต่ตอนสอบคิดไม่ออก
ตอนสอบผมสะเพร่า5ข้อ และบ้างข้อตอนสอบคิดไม่ออก พออยู่ที่บ้านคิดได้เฉย
พี่มีทางแนะนำเรื่องการสะเพร่าบ้างไหมครับ

[Tee_93]

17.3/4

[passer-by]

ข้อ 1ตอนที่ 1 ผมมีความเห็นดังนี้ครับ

ถ้าจับ 2 สมการมารวมกัน จะได้ $ (a-7)^2+b^2+c^2=6^2 $

ซึ่งถ้ามองกรณี integer solutions จะได้ (1,0,0) ,(7,0,6) ,(9,4,4) เป็นคำตอบของ 2 สมการที่ให้มา ดังนั้น choice ข้อ ค มีความเป็นไปได้สูงสุด

ปัญหาก็คือ มีคำตอบที่เป็น ทศนิยมและ 9<a<13 อีกหรือไม่

ข้อ 11 ตอนที่ 2 ผมได้ -44 ครับ

เราอาจมอง $\frac{k(k-1)}{2}= 1+2+\cdots(k-1) $
พิจารณา 4 เทอมแรก โดย ผมได้แสดงเครื่องหมายแต่ละเทอม ซึ่งเป็นผลจาก cos ใน $A_k $ ไว้ด้านหน้าของแถวแล้ว ดังนี้
- : 1 2 3 4 ...14
+: 1 2 3 4 ...14 15
+: 1 2 3 4 ...14 15 16
- : 1 2 3 4 ...14 15 16 17

จะเห็นว่า แถว 1 & 2 , 3 & 4 จะจับคู่หักล้างกันได้ ดังนั้น 4 เทอมแรก บวกกันจึงเหลือแค่
15+(-17) = -2

เหตุการณ์ เช่นนี้ จะเกิดกับ 4 เทอมถัดไป ด้วย ดังนั้น ข้อนี้ตอบ 22(-2)= -44

ข้อ 22 ตอนที่ 2 ใช้ AM-GM ก็ได้ครับ

$ f(x)= 2(\frac{4(x+1)^2+9}{12(x+1)}) \geq 2 $ และ และสมการเป็นจริงเมื่อ 2(x+1)=3

ข้อ 14 ตอนที่ 2
จาก OA= OB จะได้ $ a^2-b^2=2625 $
และจาก OA=AB ,OB=AB จะได้ $ a^2+b^2= 4ab+975 $
ยกกำลังสองทั้ง 2 สมการ แล้วลบกัน จากนั้นแก้สมการในเทอมของ ab จะได้ ab=450 (จริงๆมี
-1100 ด้วย แต่แทนค่ากลับไปแล้วเป็นเท็จ)

p.s. (i) ข้อ 8 ตอนที่ 1 อยู่ในกระทู้ Warm up ปีที่แล้ว
(ii) ทำไมรอบแรกปีนี้ เน้น algebra จัง

[jojo]

คืออยากทราบว่า โอลิมปิกคณิตศาสตร์รอบแรกอะครับ ของสสวท. ต้องทำข้อสอบให้ได้สักกี่ข้ออะครับ ใครที่เคยสอบติดในปีก่อนๆช่วยตอบหน่อยนะครับ อยากทราบจริงๆ เอาแบบคร่าวๆก้ได้อะครับ

[jojo]

ข้อ20 ผมได้ฦ อะครับไม่ทราบว่าถูกเปล่า

อยากทราบข้อ15กะ16อะครับ