ตั้งไข่ มาราธอน

[Real Matrik]

#14 ข้อนี้คำตอบนึงคือ $2$ ครับ (สะเพร่านิดนึงครับ )

[No.Name]

โจทย์ Problem For Fun

2.(ปัญหาท้าประลอง) กำหนดให้ $x,y$ เป็นจำนวนนับใดๆจงแก้สมการ

$$\dfrac{x}{19}+\dfrac{y}{95}=1$$

จะได้ว่า $5x+y=95$

$x=(19-y/5)$

y ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะมี 5,10,15...90 ที่ทำให้ x เป็นจำนวนนับ

เพราะฉะนั้นมี 18 คำตอบ

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Real Matrik

#12 ในกรณีที่ 3 ครับ $3k+1$ ก็หารด้วย 3 ไม่ลงตัว ทำไมถึงพิจารณาต่อ กรณีอื่นๆจะน้อยใจนะครับ
ปล. ใช้คารมเพิ่มนิดหน่อยก็สมบูรณ์แล้วครับ
ปล. ในส่วนของ For fun ข้อ 3 คุณ banker ตัดเลขผิดนิดนึงนะครับ จึงขอให้เครดิตทั้งสองท่าน

หมายถึง k+1,k+3 ด้วยใช่หรือเปล่าครับ หรือไม่ครับ โปรดชี้แนะด้วย

[banker]

โจทย์ปัญหา ชุดที่ 1 ข้อ 4



$x- \frac{1}{x} = 1$

$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 1$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 3$

$x^4 +2 + \frac{1}{x^4} = 9$

$x^4 + \frac{1}{x^4} = 7$



ให้ $x+\frac{1}{x} = m$

$x^2+2+\frac{1}{x^2} = m^2$

$ 2+3 = m^2 ----> m = \pm \sqrt{5} =x+\frac{1}{x} $


$(x+\frac{1}{x}) (x^2 +\frac{1}{x^2}) = ( \pm \sqrt{5})(3) $

$x^3+x+\frac{1}{x} +\frac{1}{x^3} = \pm3 \sqrt{5}$

$x^3 + \frac{1}{x^3} \pm \sqrt{5} = \pm 3 \sqrt{5}$

$ x^3 + \frac{1}{x^3} = \pm 2\sqrt{5}$


$(x+\frac{1}{x} ) (x^4 + \frac{1}{x^4} ) = \pm \sqrt{5} \times 7 $

$x^5+\frac{1}{x^5} +x^3+\frac{1}{x^3} = \pm 7\sqrt{5} $

$x^5+\frac{1}{x^5} + \pm 2 \sqrt{5} = \pm 7\sqrt{5} $

$x^5+\frac{1}{x^5} = \pm 5\sqrt{5} $

$x^4 + \frac{1}{x^4} +x^5+\frac{1}{x^5}= 7 \pm 5\sqrt{5}$

[No.Name]

โจทย์ปัญหา

3.กำหนดให้ $x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ทำให้ $ \cases{x+y+xy=17 \cr x^3y+xy^3=290 }$ จงหาค่าของ $x^2+ y^2$

$xy+x+y+1=18$

$(x+1)(y+1)=18$

$(x+1,y+1)=\left\{\,(2,9),(9,2),(3,6),(6,3)\right\} $ เพราะ (1,18) จะได้ x หรือ y เป็น 0 ซึ่งไม่เป็นจำนวนเต็มบวก

ถ้าเราคิดคู่ใด้คู่หนึ่งแล้วไม่ใช่ แสดงว่า คู่ที่สลับกันก็ไม่ได้ เพราะฉะนั้นจึงคิดแค่ 2 กรณีพอคือ (2,9),(3,6)

กรณี 1 (2,9)

ได้ว่า x=1,y=8

$xy(x^2+y^2)=290$

$8(64+1)=290$

$520\not= 290$

กรณี 2 (3,6)

ได้ว่า x=2,y=5

$xy(x^2+y^2)=290$

$10(25+4)=290$

$290=290$

จะได้ว่า $(x,y)=(2,5),(5,2)$

$x^2+y^2=25+4=29$

[จูกัดเหลียง]

ขอขัดนิดนึงน่ะครับ
คือ กระทู้นี้ เป็นมาราธอนเเบบไหนอ่ะครับ (เช่นว่า เป็นเเบบรวม ม.ต้น ) รึเปล่าครับ

[หยินหยาง]

#21

แบบ ตั้งไข่ มาราธอน เข้าใจว่าใครจะคนตอบกระทู้โจทย์ต้องตั้งไข่ไปด้วยจนกว่าจะตอบเสร็จ

[จูกัดเหลียง]

5.เเก้สมการ $$(4(3x+6))^{\frac{1}{3}}-(3(4x-6))^{\frac{1}{3}}=6^{\frac{1}{3}}$$

ให้ $a=12x+24,b=12x-18$
จะได้ว่า $$a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}=\Big(\frac{a-b}{7} \Big)^\frac{1}{3}$$
$$\rightarrow 6(a-b)-21a^\frac{1}{3}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})=0$$
$$\rightarrow (a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})(2a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}-2b^{\frac{1}{3}}})=0$$
ทำให้ได้ว่า มี $x=2,-\frac{15}{6}$ เท่านั้นที่สอดคล้อง

[จูกัดเหลียง]

6.เเก้สมการ $$(2x-1)^3+(x^2+2)^3=(x+1)^6$$

จาก $$(2x-1)+(x^2+2)=(x+1)^2$$
$$\rightarrow (2x-1)^3+(x^2+2)^3+3(2x-1)(x^2+2)(x+1)^2=(x+1)^6$$
$$\rightarrow (2x-1)(x^2+2)(x+1)^2=0\rightarrow x=\frac{1}{2},-1$$

[Real Matrik]

#18 หมายถึงกรณีของ $x=3k$ และ $x=3k+2$ ครับ คุณพบว่ามีบางพจน์ที่หารด้วย $3$ ไม่ลงตัวจึงสรุปเลยว่าไม่มีค่าที่สอดคล้อง
แต่ในกรณีของ $x=3k+1$ นั้นผมก็ผมเช่นกันว่ามีบางพจน์ที่หารด้วย $3$ ไม่ลงตัว แต่ทำไมจึงมีค่า $x$ ที่สอดคล้อง
พอดีมีสมาชิกท่านนึงส่ง pm มาถามโจทย์ข้อนี้ผมครับ ขอนำเสนอข้อความนั้นเลยแล้วกัน

Click !!

ประกายกุหลายเอามาจากที่อื่นเหมือนกันครับ

เริ่มแรกลองแยกกรณีของ $y$ ครับ จะเห็นว่า $y$ ต้องเป็นบวกเท่านั้น

ต่อไปก็สังเกตว่า $x,x+2,x+8$ ต้องอยู่ในรูป $\pm3^k$ หรือ $1$ เท่านั้น
และสังเกตว่าไม่มีตัวใดเป็น $1$ พร้อมกัน (เป็น $-1$ ทั้งสองตัวก็ไม่ได้)

กรณี $x=3k$ จะได้ว่า $x+2,x+8$ ต่างก็หารด้วย $3$ ไม่ลงตัว
(และก็เป็น $1$ พร้อมกันไม่ได้ด้วย กรณี $x=3k+2$ ก็เช่นกัน)

กรณี $x=3k+1$ จะได้ว่า $x+2,x+8$ หารด้วย $3$ ลงตัว แต่ $x$ ไม่

นั่นคือ $x=1$ ครับ

ดังนั้น $(x,y)$ มีชุดเดียวคือ $(1,3)$

ปล. ข้อนี้สะเพร่าได้ง่ายครับ อาจไม่ชัวร์คำตอบ แต่ยืนยันวิธีคิดครับ (หากสะเพร่าก็แค่ลืมนับกรณีอื่น พอดีเล่นร้านต้องนั่งคิดในหัว )

#21 คนจะนำโจทย์มาตั้งไว้คือผมคนเดียวครับและเป็นโจทย์ระดับ ม.ต้น ครับ ส่วนอื่นๆก็อ่านได้ใน #1

#22 คิดชื่อไม่ออกจริงๆครับ

[No.Name]

อ่อ ขอบคุณครับๆ

#25 คือวิธีที่ถูกต้องจริงๆ ใช่ไหมครับ

[Real Matrik]

#26 ของคุณผมก็คิดว่าไม่ผิดนะ ของผมก็ไม่ถูกซะทีเดียว เหตุผลเดียวกันคือ ความละเอียดในการอธิบายครับ

[banker]

โจทย์ปัญหา ชุดที่ 1 ข้อที่ 1




เมื่อวานงงเป็นไก่ตาแตก ไปไม่ถูก
เมื่อคืน หลับตาคิดจนหลับคาเตียง
หลวงปู่เข้าฝัน มาเคาะกะโหลก พลางกระซิบ
เขามี "เทคนิคการแก้ปัญหา" ให้แล้ว ทำไมไม่ไปอ่านดู


ฮ่า ฮ่า ทำตาม "ไก่ลาย" ก็เรียบร้อย

แต่ต้องอึดหน่อย



ให้ $(3+\sqrt{5} ) = a, \ \ \ (3-\sqrt{5} ) = b$

จะได้

$a+b = 6$ ...........(1)

$ab = 4$ ...........(2)

$a^2 + 2ab + b^2 = 36$

$a^2+b^2 = 28 $.....(3)

(1)x(3) $a^3 +ab^2 + a^2b + b^3 = 168$

$a^3 + ab(a+b) + b^3 = 168$

$a^3 + 4 \times 6 + b^3 = 168$

$a^3 + b^3 = 144 $ .....(4)

$(3)^2 \ \ \ \ a^4+2a^2b^2 +b^4 = 28^2 $

$ a^4+2(4)^2 +b^4 = 784 $


$ a^4 +b^4 = 752 $ ........(5)


$(5)^2 \ \ \ a^8+2a^4b^4 + b^8 = 752^2$

$ a^8 + b^8 = 564992$ ...........(6)

$(4)^2 \ \ \ (a^3 + b^3)^2 = 144^2$

$a^6+2a^3b^3 + b^6 = 144^2$

$a^6++ b^6 = 20608 $ .........(7)

(7)x(4) $ \ \ \ (a^6+b^6)(a^3+b^3) = 20608 \times 144$

$a^9 +a^3b^6 +a^6b^3 +b^9 = 2967552$

$ a^9 + a^3b^3(a^3+b^3) +b^9 = 2967552 $


$ a^9 + 4^3(144) +b^9 = 2967552 $

$a^9 + b^9 = 2958336$ ......(8)

$(a^9+b^9)(a^8+b^8) = a^{17} +a^8b^9 + a^9b^8 + b^{17}$

$(2958336)(564992) = a^{17} +a^8b^8(a+b) + b^{17} $

$1671436173312 = a^{17} +4^8(6) + b^{17} $

$a^7 + b^7 = 1671436173312 - 393216 = 1671435780096$

$(3+\sqrt{5} )^{17} + (3-\sqrt{5} ) ^{17} = 1671435780096$

(ถ้าจะผิดก็เป็นเรื่องคูณเลขผิด ... ไม่น่าทำคนแก่เลย)

[banker]

โจทย์ปัญหา ชุดที่ 1 ข้อที่ 2



ข้อนี้ก็ตะเภาเดียวกับข้อ 1

$(x-a)(x-b) = 0 $

$x^2 - (a+b)x + ab = 0 $

$ x^2 - 4x +1 = 0$

เทียบ สปส. จะได้

$a+b = 4, \ \ \ ab = 1$

$a^2+2ab+b^2 = 16$

$a^2+b^2 =14 $

$(a^2+b^2)(a^2+b^2) = 14^2 = 196$

$a^4 + 2a^2b^2 + b^4 = a^4 +2(1) +b^2 = 196$

$a^4 + b^4 = 194$


$(a+b)(a^2+b^2) = (4)(14) = 56$

$a^3 + a^2b+ab^2 + b^2 = a^3 + ab(a+b) + b^3 = a^3 + 1(4) + b^3 = 56$

$a^3 +b^3 = 52$

$(a^3 +b^3)(a^3 +b^3) = a^6 +2a^3b^3 +b^6 = a^6 +2(1^3) +b^6 = 2704$


$a^6 + b^6 = 2702$

$(a^4 + b^4 )(a^3 +b^3) = 194 \times 52$

$a^7 +a^3b^4 + a^4b^3 + b^7 = 10088$

$a^7 +a^3b^3(a+b) + b^7 = a^7 +1^3(4) + b^7 = 10088$

$a^7 + b^7 = 10084$

$ (a^7 + b^7)(a^7 + b^7) = a^{14} + 2(a^7b^7) +b^{14} = 10084^2 =101687056$

$a^{14} +b^{14} = 101687056 -2 = 101687054$

[Real Matrik]

ขออภัยครับคุณ banker (เดี๋ยวเปลี่ยนไรนิดหน่อยให้คำตอบออกมาสวยละกัน )

เอา For fun ชุดที่ 2 มาเป็นบรรณาการครับ (คราวนี้เป็นแนวทฤษฎีจำนวนครับ)

ปล. เจ้าของกระทู้จะแก้ระบบให้ดูสมบูรณ์ขึ้น