ตั้งไข่ มาราธอน

[banker]

Problems - For Fun ชุดที่ 2 ข้อ 5



ไม่รู้วิธีชั้นสูงเขาทำอย่างไร แต่ระดับ ประถม ก็ทำตรงๆ

จำนวนเต็ม 6 หลักที่หารด้วย 7, 8, 9 ลงตัว ก็ต้องหารด้วย 7x8x9 = 504 ลงตัว


จำนวน 523xxx ที่หารด้วย 504 ลงตัว มี 2 จำนวน

504 x 1038 = 523152

504 x 1039 = 523656

523xxx ที่น้อยที่สุดคือ 523152


ไม่ทราบแบบนี้จะเป็นวิธีทำ ได้หรือเปล่า

[banker]

Problems - For Fun ชุดที่ 2 ข้อ 4



$ \because \ \ \ \dfrac{n^3}{3} + \dfrac{n^2}{2} + \dfrac{n}{6} = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} = 1^2 +2^2 + 3^2 + ... + n^2$

ทุกจำนวนนับ $n$ ทำให้ $1^2 +2^2 + 3^2 + ... + n^2$ เป็นจำนวนนับ

นั่นคือ ทุกจำนวนนับ $n$ ทำให้ $\dfrac{n^3}{3} + \dfrac{n^2}{2} + \dfrac{n}{6}$ เป็นจำนวนนับ

$n$ มีไม่เกิน 2541 จำนวน ก็มี ไม่เกิน 2541 จำนวนที่ทำให้ $\dfrac{n^3}{3} + \dfrac{n^2}{2} + \dfrac{n}{6}$ เป็นจำนวนนับ

หมายเหตุ

ให้ $P(n)$ แทนข้อความ $1^2+2^2+3^2+...+ n^2 = \dfrac{n}{6} (n+1)(2n+1)$

เพราะว่า $\dfrac{1}{6}(1+1)[2(1)+1] = 1^2$

เพราะฉะนั้น P(1) เป็นจริง


ถ้า $P(k)$ เป็นจริง แล้ว $P(k+1)$ ก็เป็นจริงด้วย

สมมุติ $P(k)$ เป็นจริง

จะได้ $1^2+2^2+3^2+ ... + k^2 = \dfrac{k}{6}(k+1)(2k+1)$

บวกทั้งสองข้างด้วย $(k+1)^2 $จะได้

$1^2+2^2+3^2+ ... + k^2 + (k+1)^2 = \dfrac{k}{6}(k+1)(2k+1) + (k+1)^2 $

$= (k+1)[\dfrac{k(2k+1)}{6} + (k+1)]$

$\dfrac{(k+1)}{6}(2k^2+k+6k+6)$

$\dfrac{(k+1)}{6}(2k^2+7k+6)$

$\dfrac{(k+1)}{6}(2k+3)(k+2)$


$\dfrac{(k+1)}{6}[(k+1)+1][2(k+1)+1]$


เพราะฉะนั้น P(k+1) เป็นจริง

สรุปโดยหลักอุปนัยทางคณิตศาสตร์จะได้ว่า P(n) เป็นจริงทุกค่า n

เพราะฉะนั้น $1^2 +2^2+3^2 +... + n^2 = \dfrac{n}{6}(n+1)(2n+1) \ $เป็นจริงทุกค่า $n; \ \ n \ \epsilon \ N$

[banker]

โจทย์ปัญหา ชุดที่ 1 ข้อ7



ให้ $\dfrac{1}{\sqrt[3]{x} } = a ----> a^3 = \dfrac{1}{x}$

ให้ $\dfrac{1}{\sqrt[3]{y} } = b ----> b^3 = \dfrac{1}{y}$

$(a^3+b^3) = 9 \ \ \ \ \ $ <--มองเห็นตัวเลขแล้ว {a,b} = {1,2}, {2,1}

$(a+b)(1+a)(1+b) = 18 $ <--มองเห็นตัวเลขแล้ว {a,b} = {1,2}, {2,1}


จาก {a,b} = {1,2}, {2,1} ---> {x,y} = {1, $\frac{1}{8}$}{$\frac{1}{8}$, 1} เดี๋ยวหาทางพิสูจน์ต่อ





$(a^3+b^3) = (a+b)(a^2-ab+b^2) = 9 $ ....(1)

$(a+b)(1+a)(1+b) = (a+b)(a+b + ab +1) = 18 $ ...(2)

$\frac{(1)}{(2)} \ \ \ \dfrac{a^2-ab+b^2}{a+b + ab +1} = \dfrac{1}{2}$


$ 2a^2-2ab+2b^2 = a+b + ab +1$

$2a^2-3ab+2b^2-a-b-1 = 0$



แล้วจะไปทางไหนต่อหว่า

[Scylla_Shadow]

ทำตามพี่ banker
จาก$a^3+b^3=9$
และ $(a+b)(1+a+b+ab)=18$ ตรงนี้จะได้ $3(a+b)^2+3(a+b)+3ab(a+b)=54$
;$a^3+b^3+3ab(a+b)+3(a+b)^2+3(a+b)=63$
ให้ $m=a+b$
$m^3+3m^2+3m-63=0$
$(m-3)(m^2+6m+21)=0$ เพราะว่า ม.ต้นเอาแต่จำนวนจริง จะได้ m=3
ได้ a+b=3 เอาไปแทนต่อ จะได้ ab =... ก็จะได้ x,y

[Influenza_Mathematics]

มาแจมด้วยคนครับ

$(a+b)((a+b)^2-3ab )= 9 , (a+b)(a+b+ab+1) = 18$

ให้ $a+b = x_0 , ab = y_0$

$x_0(x_0^2-3y_0)= 9 , x_0(x_0+y_0+1) = 18$

$x_0^3-3x_0y_0 = 9 , x_0y_0 = \dfrac{x_0^3-9}{3}$

นำมาแทนใน $x_0^2+x_0y_0+x_0 = 18$ ได้ $x_0^2+ \dfrac{x_0^3-9}{3} + x_0 = 18$
$3x_0^2+x_0^3-9+3x_0 = 54$
$x_0^3+3x_0^2+3x_0 - 63 = 0$ จะได้ $x_0=3$ อีก 2 รากเป็นจำนวนเิชิงซ้อน
นำ $x_0=3$ แทนในสมการอะไรก็ได้ ..
จะได้ $y_0 = 2$

แก้สมการได้ $(a,b) = (2,1) , (1,2)$

$(x,y) = (\dfrac{1}{8},1) , (1 , \dfrac{1}{8}) $ ##

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

ทำตามพี่ banker
จาก$a^3+b^3=9$
และ $(a+b)(1+a+b+ab)=18$ ตรงนี้จะได้ $3(a+b)^2+3(a+b)+3ab(a+b)=54$
;$a^3+b^3+3ab(a+b)+3(a+b)^2+3(a+b)=63$
ให้ $m=a+b$
$m^3+3m^2+3m-63=0$
$(m-3)(m^2+6m+21)=0$ เพราะว่า ม.ต้นเอาแต่จำนวนจริง จะได้ m=3
ได้ a+b=3 เอาไปแทนต่อ จะได้ ab =... ก็จะได้ x,y

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

มาแจมด้วยคนครับ

$(a+b)((a+b)^2-3ab )= 9 , (a+b)(a+b+ab+1) = 18$

ให้ $a+b = x_0 , ab = y_0$

$x_0(x_0^2-3y_0)= 9 , x_0(x_0+y_0+1) = 18$

$x_0^3-3x_0y_0 = 9 , x_0y_0 = \dfrac{x_0^3-9}{3}$

นำมาแทนใน $x_0^2+x_0y_0+x_0 = 18$ ได้ $x_0^2+ \dfrac{x_0^3-9}{3} + x_0 = 18$
$3x_0^2+x_0^3-9+3x_0 = 54$
$x_0^3+3x_0^2+3x_0 - 63 = 0$ จะได้ $x_0=3$ อีก 2 รากเป็นจำนวนเิชิงซ้อน
นำ $x_0=3$ แทนในสมการอะไรก็ได้ ..
จะได้ $y_0 = 2$

แก้สมการได้ $(a,b) = (2,1) , (1,2)$

$(x,y) = (\dfrac{1}{8},1) , (1 , \dfrac{1}{8}) $ ##

ขอบคุณทั้งสองท่านครับ

[Influenza_Mathematics]

PFF ชุด 2 ข้อ 1
$m = 131y + 112$
$m = 132x + 98$

$132x-131y - 14 = 0$

$\dfrac{132x-14}{131} = y$
แต่ $y \in \mathbb{N} $

เราจะได้ $x=14$ และ $y=14$ อันนี้ผมใช้ modulo

$m=1946$ ##

[banker]

Problems - For Fun ชุดที่ 2 ข้อ 1

Attachment 5803



112-98 = 14

132 x 14 = 1848 บวกเศษที่ได้คือ 98 --> 1848 + 98 = 1946

131 x 14 = 1834 บวกเศษที่ได้คือ 112 --> 1834 + 112 = 1946

m = 1946

ไม่รู้จะใช้ได้ทุกกรณีของโจทย์แบบนี้หรือเปล่า

[No.Name]

Problems - For Fun ชุดที่ 2 ข้อ 3

เดี๋ยวขอเขียนเหตุผลอธิบายก่อนครับ เพราะไม่รู้จะพูดยังไง

ได้ $n=(2^6)(3^3)$

[กิตติ]

ลุงBankerสุดยอดครับ...ยกนิ้วให้เรื่องความขยันและเทคนิคครับ

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ลุงBankerสุดยอดครับ...ยกนิ้วให้เรื่องความขยันและเทคนิคครับ

เห็นด้วยเหมือนกันครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ลุงBankerสุดยอดครับ...ยกนิ้วให้เรื่องความขยันและเทคนิคครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

เห็นด้วยเหมือนกันครับ

ขอบคุณครับ ได้เวลากินนมนอนแล้วครับ

คืนนี้ต้องปลุกหลานมาดูจันทรุปราคา เสียด้วย

[banker]

ให้ $n = a^?, \ \ a^?b^?, \ \ a^?b^?c^?, ....$

$2n \ $ มีตัวประกอบ 28 ตัว

$2n \ $อาจเป็น $2^{27}, \ \ 2b^{13} \ \ 2ab^6, ... \ \ \ \ \ \color{gray}{(a\not= b\not= 2)}$
แต่ถ้า $a=2^5 \ \ $ จะได้ $ 2n = 2 \cdot 2^5 \cdot b^3 \to n = 2^5b^3$


$3n \ $ มีตัวประกอบ 30 ตัว

ถ้า $n = 2^5b^3 \ $ และ $b = 3 \to 3n =3 \cdot 2^5 \cdot 3^3 \to 3n = 2^53^4$


$6n = 2 \cdot 3 \cdot n \ $
ถ้า $ n= 2^53^3 \to 6n = 2 \cdot 3 \cdot 2^53^3 = 2^6 3^4$

$6n = 2^6 3^4 $ มีตัวปรกอบ $(6+1)(4+1) = 35 \ $ จำนวน

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

#21

แบบ ตั้งไข่ มาราธอน เข้าใจว่าใครจะคนตอบกระทู้โจทย์ต้องตั้งไข่ไปด้วยจนกว่าจะตอบเสร็จ

ถ้าท่านซือแป๋ จะตอบกระทู้โจทย์ต้องพิมพ์ไว ๆ นะครับ เดี๋ยวจะตอบไม่ทันเสร็จ ไข่ล้มเสียก่อน

[banker]

Problems - For Fun ชุดที่ 2 เหลือข้อเดียว คือข้อ2


ตั้งแต่เรียนมา เท่าที่จำความได้ ก็เพิ่งเคยได้ยินคำว่า "จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์"

ต้องไปถามอากู๋ อากู๋บอกว่า จำนวนคู่ใดที่มีตัวประกอบร่วม ตัวนั้นไม่ใช่จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์
จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ต้องมี ห.ร.ม. เป็น 1 เท่านั้น ห้ามมีเรือพ่วง


ตัวประกอบของ 2541 มี 12 ตัวคือ 1, 3, 7, 11, 21, 33, 77, 121, 231, 363, 847, 2541

จำนวนที่มี 3 เป็นพหุคูณ มี 847 จำนวน

จำนวนที่มี 7 เป็นพหุคูณ มี 363 จำนวน

จำนวนที่มี 11 เป็นพหุคูณ มี 231 จำนวน

รวม 847+363+231 = 1441 จำนวน


จำนวนที่นับซ้ำมี

21 (3x7) เป็นพหุคูณ มี 121 จำนวน

33 (3x11) เป็นพหุคูณ มี 77 จำนวน

77 (7x11) เป็นพหุคูณ มี 33 จำนวน

121 (11x11) เป็นพหุคูณ มี 21 จำนวน


231 (21x11) เป็นพหุคูณ มี 11 จำนวน

363 (3x121) เป็นพหุคูณ มี 7 จำนวน

847 (7x121) เป็นพหุคูณ มี 3 จำนวน

รวมซ้ำ 121+77 +33 +21 - (11+7 +3 ) = 231 จำนวน

จำนวนที่มีพหุคูณร่วม = 1441 - 231 = 1210 จำนวน

จำนวนที่ไม่มีพหุคูณร่วม = 2540 - 1210 = 1330 จำนวน


ดูเหมือนจะสับสนอยู่ เดี๋ยวมาแก้ไขครับ (เช็คแล้ว คำตอบคือ 1320)