คณิตศาสตร์โอลิมปิก สอวน. ครั้งที่ 3

[gools]

รอข้อสอบอยู่ครับ ว่างๆก็มาโพสกันนะครับ

เห็นผลที่บอร์ดโรงเรียนมหิดลแล้ว น้อง R-Tummykung de Lamar ได้ดีเยี่ยมนี่ครับ(เก่งกว่ารุ่นพี่อีก )

[gon]

ผมได้ข้อสอบมา 3 ข้อ ไม่แน่ใจว่าใช่หรือเปล่า.?ลองดูครับ.

1. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่นมแนบในวงกลมที่มีจุด o เป็นจุดศูนย์กลาง ถ้า มุม ABC= 70 องศา มุม ACB = 50 องศา และเส้นแบ่งครึ่งมุม BAC ตัดวงกลมที่จุด D จงหาขนาดของมุม ADO

2. สามเหลี่ยม ABC มี AB= 2 CA= 3 และ BC = 4 จงหาความยาวรัศมีของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่บนด้าน BC และสัมผัสด้าน AB และ AC

3. รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีเส้นมัธยฐานทั้งสามยาว 3 , 4 , 5 หน่วย จงหาความยาวของด้านที่สั้นที่สุดของสามเหลี่ยมรูปนี้

[nongtum]

1. ลาก AO, OC, CD และกำหนด ะADO=x(=ะOAD) จะได้ ะOAC=ะOCA=30°-x, ะOCB=20°+x, ะBCD=30°
ดังนั้น 0.5(180°-2x)=80° หรือ x=10°

2. ให้จุดศูนย์กลาง O อยู่บน BC ลากเส้นจาก O ไปยังจุดสัมผัสทั้งสองที่ D และ E จะได้ OD=OE=r เป็นรัศมีวงกลม
และ $\frac{(3+2)r}2=\sqrt{\frac92\cdot\frac52\cdot\frac32\cdot\frac12}$ หรือ $r=\frac3{10}\sqrt{15}$

[passer-by]

ข้อ 3 ตอบ 10/3 หน่วย ครับ

ให้ O เป็น centroid

จากความรู้ที่ว่า centroid แบ่งมัธยฐาน ออกเป็นอัตราส่วน 2:1 ทำให้เราสามารถลงระยะต่างๆจาก centroid ไปยัง กึ่งกลางด้านของสามเหลี่ยม และมุมของสามเหลี่ยมได้ หลังจากวาดรูปและลงระยะดังกล่าวแล้วจะเห็นว่า เกิดด้านที่ยาว 8/3 , 10/3 และ 1 หน่วย สมมติเป็น OA, OB ,OD ตามลำดับ

ใช้ law of cosine และการเทียบพื้นที่กับสามเหลี่ยม AOD และ BOD จะได้ว่า มุม AOD = 90 องศา

หลังจากนั้นก็ไล่หาความยาวแต่ละด้านได้ไม่ยากแล้วครับ

[R-Tummykung de Lamar]

หุหุ เด๋วผมโพสข้อสอบอยู่ รอความพร้อมของเครื่องสแกนอยู่
driver 300 กว่า MB ครับ

[R-Tummykung de Lamar]

ขออนุญาตย้ายไปโพสต์ที่หมวด ปัญหาคณิตศาสตร์โอลิมปิกและอุดมศึกษา นะครับ
(เห็นข้างล่างมีเขียนว่า สอวน. อยู่ด้วย)

[DeKviT_NanZ]