IWYMIC 2010

[Thamma]

อย่าเพิ่งเหนื่อยนะ

ช่วยแนะวิธีการคิดอีก 1 ข้อค่ะ

Individual, section A

[gon]

โจทย์เรขาพวกหามุมผมไม่ถนัดเลยครับ ถ้าคิดวิธี ม.ต้น ก็ออกบ้างไม่ออกบ้าง

แต่ถ้าใช้ตรีโกณ ม.ปลาย ผมแก้ได้ทุกข้อครับ.

อย่างข้อนี้ ถ้าใช้ตรีโกณ ม.ปลาย

solution

เนื่องจาก $\frac{PC}{AP} = \frac{PC}{PB} \cdot \frac{PB}{AP}$

ดังนั้นโดยกฎของไซน์จะได้ $\frac{\sin x}{\sin 20^{\circ}} = \frac{\sin 10 ^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} \cdot \frac{\sin(100^{\circ}-x)}{\sin 20^{\circ}}$

$\sin x = 2 \sin(x+80^{\circ}) \sin 10^{\circ}$

$\sin x = \cos(x+70^{\circ}) - \cos(x+90^{\circ})$

$\cos(x+70^{\circ}) = 0$

$\cos(x+70^{\circ}) = \cos 90^{\circ}$

$x = 20^{\circ}$

วิธี ม.ต้น รอท่านอื่นนะครับ.

[Thamma]

ขอบคุณขั้นสูงค่ะ

[Amankris]

Hint

สะท้อน C ผ่าน AB

[Scylla_Shadow]

สวัสดีค่ะ ดิฉันเพิ่งกลับจากงานกาล่าดินเน่อร์มาค่ะ เลยมาตอบช้าเล็กน้อย
ดิฉันขอเสนอ อีกวิธีแบบ ม.ต้นนะคะ
ไม่เอาสะท้อนแล้วค่ะ
ดิฉันส่องกระจก เวลาเห็นเงาสะท้อนของตัวเองแล้วรู้สึกแปลกๆ แถมกระจกยังชอบแตกตอนส่องอีกค่ะ

ดิฉันกำหนด จุด Q เป็นจุดซึ่ง
1. สามเหลี่ยม QBC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า
2. มุม CAQ เป็นมุมป้านค่ะ

จากนั้นสังเกต สามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการ สอง คู่ค่ะ
จากนั้นก็ลองไล่ๆ มุม กับ ไล่ๆ ด้านดูค่ะ (ดูมุมศูนย์ ก็ดีนะคะ)

สวัสดีค่ะ

[Thamma]

วิธีสะท้อนก็ง่ายดีนะ ( ถ้ามองโจทย์ออก )

ดีจังเลย ได้เรียนรู้วิธีแก้ปัญหาทั้ง 2 แบบ

ขอบคุณทุกท่านค่ะ

[Amankris]

มันเป็นวิธีเดียวกันนะครับ

[Thamma]

ข้อนี้ยาก ขอเชิญทุกท่านที่พอจะมีเวลา มาช่วยกันคิดนะคะ

[artty60]

#8

มีได้กรณีเดียว คือ ตัวหนึ่งเป็นคู่ และอีกตัวหนึ่งเป็นคี่

ดังนั้นมีกรณีเดียวที่เป็นจริงคือ 2 และ 3 ครับ ดังนั้น ตอบ 5

[Thamma]

ยังคิดไม่ออก ได้มาอย่างไรคะ ว่าจำนวนหนึ่งเป็นคู่ อีกจำนวนเป็นคี่

ขอบคุณค่ะ

[artty60]

จากโจทย์ $ p^3+q^3+1=p^2q^2$ โดย p และ q เป็นจำนวนเฉพาะทั้งคู่

ให้พิจารณาดูว่า

1.ถ้า p และ q เป็นคี่ทั้งคู่ ทั้ง2ข้างของสมการเป็นคี่ได้

แต่ไม่มีจำนวนเฉพาะคี่ใดทำให้สมการเป็นจริง

2.ถ้า p และ q เป็นคู่ทั้งตัว จะได้ซ้ายเป็นคี่ ขวาเป็นคู่ จึงไม่ได้

ดังนั้น p หรือ q ตัวหนึ่งต้องเป็นคู่ ตัวหนึ่งเป็นคี่

สมมติให้ p เป็นคู่ ซึ่งมีจำนวนเฉพาะที่เป็นคู่เพียงตัวเดียวคือ2

แทนค่า $p=2$ ในสมการจะได้ $9+q^3=4q^2$

$ q^3-4q^2+9=0$

$(q^2-q-3)(q-3)=0$

$\therefore q=3$

ดังนั้น $p+q=5 $ เป็นคำตอบ

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

1.ถ้า p และ q เป็นคี่ทั้งคู่ ทั้ง2ข้างของสมการเป็นคี่ได้

แต่ไม่มีจำนวนเฉพาะคี่ใดทำให้สมการเป็นจริง

คุณ Thamma ช่วยอธิบายตรงนี้ได้ไหมครับ

[artty60]

หากมีอะไรผิดพลาดไม่ถูกต้องคุณAmankrisช่วยแนะนำหน่อยนะครับ ขอบคุณครับ

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thamma

เข้าใจข้อ 1. ว่า ถ้า p และ q เป็นจำนวนคี่ทั้งคู่ ด้านซ้ายของสมการจะเป็นจำนวนคู่ แต่ด้านขวาของสมการจะเป็นจำนวนคี่ ดังนั้น p และ q ไม่ใช่จำนวนคี่ทั้งคู่

เข้าใจอะไรผิดหรือเปล่าครับ

[Thamma]

ขอโทษค่ะ ดูโจทย์ผิดไป แย่จังเลย

ขอบคุณ คุณ Artty 60 ที่ได้กรุณาช่วยคิด และขอบคุณ คุณ Amankris ที่ได้ยกบางประเด็นที่ต้องนำกลับมาคิดใหม่
เป็นโจทย์ที่น่าสนใจนะคะ

ในการหา p+q ที่มากที่สุด ถ้าใช้เรื่องจำนวนคู่และจำนวนคี่ ก็เป็นไปได้ 2 กรณีคือ
1. p และ q เป็นเลขคี่ทั้ง 2 จำนวน
2. จำนวนหนึ่งเป็นเลขคี่ อีกจำนวนหนึ่งเป็นเลขคู่
แต่ยังคิดไม่ออกเลยว่าจะ rule out กรณีใดกรณีหนึ่งออกได้อย่างไร

กรุณาให้คำแนะนำด้วยนะคะ