ข้อสอบโอลิมปิก 2551

[แคร์โรไลน์]

ตอนที่ 1 ข้อสอบแบบเติมคำตอบ
1. ให้ $R$ เป็นเซตของจำนวนจริง ถ้า $A=\{x\in R\left.\,\right| \sqrt{x+3} -\sqrt{x} \leqslant 1\}$ และ $B=\{x\in R:\,\,| x-2| \succ 7\}$ แล้ว จงหา $A-B'$
2. จงตอบคำถามต่อไปนี้
ก.จงหาเงื่อนไขทั้งหมดที่ทำให้ $P\left(A\cup B\right) =P\left(A\right) \cup P\left(B\right)$
ข.กำหนดให้ I เป็นเซตของจำนวนเต็ม และ $\ast$ เป็นการดำเนินการที่กำหนดโดย $a\ast b=a+b+2$ และ $a,b\in I$ จงหาเอกลักษณ์ของการดำเนินการ $\ast$
3. ให้ $R$ แทนเซตของจำนวนจริง
กำหนดให้ $S=\left\{\left(x,y\right)\in RxR\left.\,\right| x\left(3y-5\right)=4และ y\left(2x+7\right) =27 \right\}$ จงแจกแจงสมาชิกของ $S$

Note :

1. อย่าใช้ \ โดยไม่จำเป็นในชุดคำสั่ง

2. ใช้เครื่องหมาย \$ \$ คร่อมเฉพาะข้อความที่เป็นสัญลักษณ์ ไม่ใช่ข้อความทั้งหมด

3. เครื่องหมาย $>,<$ มีอยู่บนแป้นพิมพ์

4. ตรวจสอบข้อความก่อนส่งทุกครั้งโดยใช้ปุ่ม

แสดงผลข้อความก่อนส่ง

หรือ

แสดงผลข้อความแบบรวดเร็ว

[square1zoa]

2ข. ตอบ -2 ข้ออื่นอ่านไม่ได้เลย

[nongtum]

ผมพยายามแก้ TeX code เท่าที่ผมเข้าใจแล้ว หากยังมีที่ผิดอยู่ก็ขออภับด้วย

อ้อ คุณแคร์โรไลน์น่าจะพอพิมพ์เป็นบ้างแล้ว แต่ก็ขอแนะนำให้อ่านคำแนะนำการใช้สัญลักษณ์จากลิงค์ด้านบนหน้ารวมกระทู้หลักอีกครั้งหนึ่งครับ

[square1zoa]

2.ก A=B เเสดงได้โดยแจงกรณี

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ square1zoa

2.ก A=B เเสดงได้โดยแจงกรณี

ผมว่า$ A\subset B$ หรือ $B\subset A$ ก็ใช่ด้วยนะครับ

[[SIL]]

ผมขอตอบข้อ 1 ละกัน (ฉบับแก้ตัว)
หา A
จากโจทย์จะได้ว่า $x\geqslant0$
$\sqrt{x+3} \leqslant 1+\sqrt{x}$
$x+3\leqslant x+1+2\sqrt{x}$
$2\leqslant 2\sqrt{x}$
$1\leqslant x$
ได้ $A=[1,\infty)$
หา B
$(x-2)^2\succ (7)^2$
$(x-2)^2-(7)^2\succ0$
$(x-9)(x+5)\succ0$
จะได้ว่า $B=(\infty,-5)\cup (9,\infty)$
สรุป$ A-B' = [1,9]$ ครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

ผมขอตอบข้อ 1 ละกัน
หา A
จากโจทย์จะได้ว่า $x\leqslant0$
$\sqrt{x+3} \leqslant 1+\sqrt{x}$
$x+3\leqslant x+1+2\sqrt{x}$
$-2\leqslant 2\sqrt{x}$
$-1\leqslant \sqrt{x}$
แต่ $x\in R$ และจากเงื่อนไขในข้อ 1 ดังนั้น A คือเซตของจำนวนจริง

ไม่ถูกนะครับ จากโจทย์เห็นได้ชัดว่า $x\geqslant 0 (\sqrt{x} \geqslant 0)$ แต่จากการแก้สมการของข้อนี้จะได้ว่า $x\geqslant 1$

[[SIL]]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ไม่ถูกนะครับ จากโจทย์เห็นได้ชัดว่า $x\geqslant 0 (\sqrt{x} \geqslant 0)$ แต่จากการแก้สมการของข้อนี้จะได้ว่า $x\geqslant 1$

ขอประทานโทษครับ ผมผิดเองตรงเงื่อนไข $x \leqslant 0 \rightarrow x\geqslant 0 $
แต่คำตอบของสมการ $x\geqslant1$ นี่ผมไม่เข้าใจครับช่วยอธิบายเพิ่มเติมด้วย

[[SIL]]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

ขอประทานโทษครับ ผมผิดเองตรงเงื่อนไข $x \leqslant 0 \rightarrow x\geqslant 0 $
แต่คำตอบของสมการ $x\geqslant1$ นี่ผมไม่เข้าใจครับช่วยอธิบายเพิ่มเติมด้วย

อ้อๆ ผมพลาดเองตรงเครื่องหมายขอบคุณที่คุณหยินหยางชี้แนะครับ

[หยินหยาง]

จริงๆ แล้วคุณ [SIL] ทำมาถูกทางแล้วมาผิดตรงนี้ครับ
$\sqrt{x+3} \leqslant 1+\sqrt{x}$
$x+3\leqslant x+1+2\sqrt{x}$
$-2\leqslant 2\sqrt{x}$ บรรทัดนี้เองที่ผิด ที่ถูกต้องเป็น
$2\leqslant 2\sqrt{x}$
แล้วจะได้ว่า $1\leqslant \sqrt{x}$ นั่นก็คือ $1\leqslant x$ และตอนเราแก้อสมการนี้เราพิจารณากรณีที่ $x\geqslant 0$
ก็เอามาอินเตอร์เซ็กกันก็จะได้ $x\geqslant 1$

[[SIL]]

ผมแก้ไขในเรปแสดงวิธีทำแล้วนะครับ ผมยังไม่รอบคอบพอและมีอะไรที่ยังต้องเรียนรู้อีกมาก อีกอย่าง
คุณหยินหยางนี่ Idol ของผมเลยนะเนี่ยนอกจากนี้ก็มีพี่ noonoii พี่ nongtum บ้าง ของฝากตัวเป็นศิษย์ mathcenter ครับ

[square1zoa]

3. $y=15/7 , 3$ แทนค่ากลับ