โจทย์ชวนคิด ที่น่าทำ

[หยินหยาง]

เป็นโจทย์ที่คิดขึ้นเองสนุกๆ ลองคิดกันเล่นๆดู เห็นช่วงนี้สมาชิกหลายท่านฟิตทำโจทย์ เลยเอามาให้ทำเล่นๆ ถ้าสนใจเดี๋ยวจัดให้(ถ้ามีเวลา)
1. ให้ $f(x) = x^4+2x^3+5x^2+4x+3 $ โดยมี $a,b,c,d$ เป็นรากของคำตอบ จงหา
1.1 $(1+a+a^2)(1+b+b^2)(1+c+c^2)(1+d+d^2)$
1.2 $(1+a+a^2)+(1+b+b^2)+(1+c+c^2)+(1+d+d^2)$

2. ให้ $1 + x + x^2 + x^3 + x^4 =0$ จงหาค่าของ
$x+2x^2+3x^3+4x^4+5x^5+4x^6+3x^7+2x^8+x^9$

[Scylla_Shadow]

สนใจมากๆครับ

1.10
1.2-4

2. นำ $x,x^2,x^3,x^4,x^5$ คูณไอ้ตามที่โจทย์บอกตามลำดับ

จะได้สมการมา 5 สมการ จับมาบวกกันได้ค่าที่โจทย์สั่ง เลยตอบ 0 ไป

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

สนใจมากๆครับ

1.1รอเพิ่มเติมหลังคิดเสร็จ
1.2-4

2. นำ $x,x^2,x^3,x^4,x^5$ คูณไอ้ตามที่โจทย์บอกตามลำดับ

จะได้สมการมา 5 สมการ จับมาบวกกันได้ค่าที่โจทย์สั่ง เลยตอบ 0 ไป

เยี่ยมครับ แต่ถ้ามีแนวคิดให้หรือเฉลยให้ก็ดีนะครับเพื่อเป็นวิทยาทาน
ข้อ 2. ผมคิดแบบนี้ครับ
$x+2x^2+3x^3+4x^4+5x^5+4x^6+3x^7+2x^8+x^9 =x(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 )^2$

จัดให้ตามที่ขอครับ
3. ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกจงหา ห.ร.ม. ของ $( n^2+n+1 , 2n+1)$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
4.จงเติมเครื่องหมาย + หรือ - หน้าตัวเลขต่อไปนี้แล้วทำให้ สมการเป็นจริงได้หรือไม่เพราะเหตุใด
$...1...4...9...16...25...36...49...64...81...100 = 0$

[[SIL]]

ข้อ 2 ก็ได้ 0 ครับแต่ข้อแรกยังคิดไม่ได้เลย
ลองแปลงโจทย์คุณหยินหยางทำเล่นๆดูซักข้อครับ
special ให้ $1 + x + x^2 + x^3 + x^4 =0$ และ $x+2x^2+3x^3+4x^4+5x^5+4x^6+3x^7+2x^8+x^9 = k$
จงหาค่าของ$ kx^{-5}$

[POSN_Psychoror]

เหอๆ งั้นผมขอเฉลยข้อ 1.1 เลยละกันนะครับ

เฉลย โดย POSN Psychoror
จาก
$f(x)=x^4+2x^3+5x^2+4x+3$
$f(x)=(x^4+x^3+x^2)+(x^3+x^2+x)+(3x^2+3x+3)$
$f(x)=(x^2+x+1)(x^2+x+3)$
ถ้าให้ $a,b$ เป็นรากของ $x^2+x+1=0$
ดังนั้น $a^2+a+1=0$ และ $b^2+b+1=0$
ได้ว่า $(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)(d^2+d+1)=0$

***ไม่แน่ใจนะครับ ว่าวิธีนี้ถูกรึเปล่า กรุณาช่วย Check ให้อีกทีด้วยครับ***

[Scylla_Shadow]

ข้อ2. แนวคิดของผม จาก $1+x+x^2+x^3+x^4 \ = \ 0$
นำ $ x $ คูณ $ x+x^2+x^3+x^4+x^5 \ = \ 0 $..(1)
นำ $ x^2 $ คูณ $ x^2+x^3+x^4+x^5+x^6 \ = \ 0 $..(2)
นำ $ x^3 $ คูณ $ x^3+x^4+x^5+x^6+x^7 \ = \ 0 $..(3)
นำ $ x^4 $ คูณ $ x^4+x^5+x^6+x^7+x^8 \ = \ 0 $..(4)
นำ $ x^5 $ คูณ $ x^5+x^6+x^7+x^8+x^9 \ = \ 0 $..(5)
นำ (1)+(2)+(3)+(4)+(5)

$x+2x^2+3x^3+4x^4+5x^5+4x^6+3x^7+2x^8+x^9 \ = \ 0$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

จัดให้ตามที่ขอครับ
3. ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกจงหา ห.ร.ม. ของ $( n^2+n+1 , 2n+1)$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
4.จงเติมเครื่องหมาย + หรือ - หน้าตัวเลขต่อไปนี้แล้วทำให้ สมการเป็นจริงได้หรือไม่เพราะเหตุใด
$...1...4...9...16...25...36...49...64...81...100 = 0$

3. ตั้งหารแบบยูคลิดจะได้ 1 ค่าเดียวรึเปล่าครับ ไม่แน่ใจ

4. ..(1)..(1+3)..(1+3+5)..(1+3+5+7)..(1+3+5+7+9)..(1+3+5+7+9+11)..(1+3+5+7+9+11+13)..(1+3+5+7+9+11+13+15)..(1+3+5+7+9+11+13+15+17). .(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)

ลองพิจารณาเอาเองนะครับ ว่าทำได้หรือไม่

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

3. ตั้งหารแบบยูคลิดจะได้ 1 ค่าเดียวรึเปล่าครับ ไม่แน่ใจ

ลองแทน n = 1 หรือ 4 ดูครับ

[Scylla_Shadow]

อ๋อขอบคุณครับ ตอนแรกตั้งแบบยูคลิดได้หรม.คือ 3

แต่ n จะกลายเป็น -2 ก็เลยตัดไปอ่ะครับ

ยังไงก็ขอบคุณมากๆครับ

[Jew]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ POSN_Psychoror

เหอๆ งั้นผมขอเฉลยข้อ 1.1 เลยละกันนะครับ

เฉลย โดย POSN Psychoror
จาก
$f(x)=x^4+2x^3+5x^2+4x+3$
$f(x)=(x^4+x^3+x^2)+(x^3+x^2+x)+(3x^2+3x+3)$
$f(x)=(x^2+x+1)(x^2+x+3)$

***ไม่แน่ใจนะครับ ว่าวิธีนี้ถูกรึเปล่า กรุณาช่วย Check ให้อีกทีด้วยครับ***

$f(x)=(x^2+x+1)(x^2+x+3)$
มันกลายเป็นยังงี้ได้ไงอ่ะคับ

[Scylla_Shadow]

จาก $x^4+2x^3+5x^2+4x+3 \ = \ (x^4+x^3+x^2)+(x^3+x^2+x)+(3x^2+3x+3)$

$ \ = \ x^2(x^2+x+1)+x(x^2+x+1)+3(x^2+x+1)$

$\ = \ (x^2+x+1)(x^2+x+3)$ นะครับ

[หยินหยาง]

มาเพิ่มเติมโจทย์เกี่ยวกับพีชคณิตให้อีก 2 ข้อ
5. กำหนดให้
$x+y+z = 4$
$xy+yz+zx = 5$
$xyz = 6$
จงหาค่าของ $x^6+y^6+z^6 = ?$

6. กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นรากของคำตอบ $x^3-4x^2+x-1 = 0$ จงหาค่าของ $\sum_{n = 1}^{5} (a^n+b^n+c^n)$

[teamman]

ข้อ 6 ได้ 1082 รึป่าวครับผมไม่แน่ใจเหมือนกัน
เหอๆ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ teamman

ข้อ 6 ได้ 1082 รึป่าวครับผมไม่แน่ใจเหมือนกัน
เหอๆ

ถูกต้องครับ

[Scylla_Shadow]

ให้ $S_n \ คือ \ a^n+b^n+c^n $ เมื่อ a,b,c เมื่อ x+y+z = a , xy+xz+yz = b , xyz = c

ถ้า $S_0 \ = \ 3$

จะได้ความสัมพันธ์ คือ $S_n \ = \ as_{n-1}-bs_{n-2}+cs_{n-3}$ ครับ

[teamman]

ข้อ 5 ผมได้ 738 อ่าครับ เหอๆ