โจทย์ชวนคิด ที่น่าทำ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

มาเพิ่มเติมโจทย์เกี่ยวกับพีชคณิตให้อีก 2 ข้อ
5. กำหนดให้
$x+y+z = 4$
$xy+yz+zx = 5$
$xyz = 6$
จงหาค่าของ $x^6+y^6+z^6 = ?$

6. กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นรากของคำตอบ $x^3-4x^2+x-1 = 0$ จงหาค่าของ $\sum_{n = 1}^{5} (a^n+b^n+c^n)$

ข้อ 5 ผมได้ 913 อ่ะครับ
ตามความคิดของผมอ่ะ ผมสมมุติให้ x y z เป็นรากของสมการสมการหนึ่งอ่ะครับจะได้
$m^3-4m^2+5m-6$ เมื่อกำหนดตัวแปรคือ m จะได้
$m^3-4m^2+5m-6=(m-3)(m^2-m+2)$
$m^3-4m^2+5m-6=(m-3)(m-\frac{1+\sqrt{7} i }{2})(m-\frac{1-\sqrt{7} i }{2})$
นั่นคือ $x,y,z=3,\frac{1+\sqrt{7} i }{2},\frac{1-\sqrt{7} i }{2}$
ดังนั้น
$x^6+y^6+z^6=3^6+(\frac{1+\sqrt{7} i }{2})^6+(\frac{1-\sqrt{7} i }{2})^6$
พิจรณา
$(\frac{1+\sqrt{7} i }{2})^6+(\frac{1-\sqrt{7} i }{2})^6=((\frac{1+\sqrt{7} i }{2})^2)^3
+((\frac{1-\sqrt{7} i }{2})^2)^3=(4+\sqrt{7}i)^3+(4-\sqrt{7}i)^3=(8)(23)=184$
จะได้ว่า$(\frac{1+\sqrt{7} i }{2})^6+(\frac{1-\sqrt{7} i }{2})^6=184$
แทนค่าในคำตอบ
$x^6+y^6+z^6=3^6+(\frac{1+\sqrt{7} i }{2})^6+(\frac{1-\sqrt{7} i }{2})^6=729+184=913$

[หยินหยาง]

วันนี้มีคนเอาโจทย์มาถาม ดูแล้วน่าสนใจดีก็เลยเอามาให้คิดกันเล่นๆ ครับ
7. กำหนดให้ $x_{n+1} =3-\frac{3}{x_n} $ และ $x_1 = 4$ แล้วจงหาว่า $x_{46} = ?$

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

วันนี้มีคนเอาโจทย์มาถาม ดูแล้วน่าสนใจดีก็เลยเอามาให้คิดกันเล่นๆ ครับ
7. กำหนดให้ $x_{n+1} =3-\frac{3}{x_n} $ และ $x_1 = 4$ แล้วจงหาว่า $x_{46} = ?$

ไม่มั่นใจนะครับ
$x_1=4$
$x_2=\frac{9}{4}$
$x_3=\frac{5}{3}$
$x_4=\frac{6}{5}$
$x_5=\frac{1}{2}$
$x_6=-3$
$x_7=4$
จะเห็นว่ามันวนกันรอบละ 6 ตัว จะได้ $x_{46}=\frac{6}{5}$
ไม่รู้ถูกป่าวอ่ะ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ไม่มั่นใจนะครับ
$x_1=4$
$x_2=\frac{9}{4}$
$x_3=\frac{5}{3}$
$x_4=\frac{6}{5}$
$x_5=\frac{1}{2}$
$x_6=-3$
$x_7=4$
จะเห็นว่ามันวนกันรอบละ 6 ตัว จะได้ $x_46=\frac{6}{5}$
ไม่รู้ถูกป่าวอ่ะ

ถูกครับ

[หยินหยาง]

มาเพิ่มโจทย์ให้อีกข้อ ไม่ยากครับ
8. ให้ $a,b,c$ เป็นรากของสมการ $f(x)=x^3-2x^2+x-3$ จงหาค่าของ$(1-a^4)(1-b^4)(1-c^4)$

[Kaito KunG]

ผมคิดได้ -19 ครับ (ถูกเปล่าหว่า)

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Kaito KunG

ผมคิดได้ -19 ครับ (ถูกเปล่าหว่า)

ขอบคุณที่ร่วมสนุก แต่ไม่ถูกครับ

[Kaito KunG]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ขอบคุณที่ร่วมสนุก แต่ไม่ถูกครับ

คิดใหม่ 3 รอบได้ไม่เท่ากันสักรอบเลยครับ ครั้งล่าสุดคิดได้ 213 ครับ

[Ne[S]zA]

คือผมได้แค่กำลัง 2 อ่ะครับ กำลัง 4กำลังนั่งคิด
$f(x)=x^3-2x^2+x-3=(x-a)(x-b)(x-c)$
$f(1)=(1-a)(1-b)(1-c)=-3$____(1)
$f(-1)=(1+a)(1+b)(1+c)=7$___(2)
$(1)\times (2); (1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)=-18$
กำลัง 4 ยังหาไม่ได้TT
แทนค่าผิดอิอิ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

คือผมได้แค่กำลัง 2 อ่ะครับ กำลัง 4กำลังนั่งคิด
$f(x)=x^3-2x^2+x-3=(x-a)(x-b)(x-c)$
$f(1)=(1-a)(1-b)(1-c)=-3$____(1)
$f(-1)=(1+a)(1+b)(1+c)=6$___(2)
$(1)\times (2); (1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)=-18$
กำลัง 4 ยังหาไม่ได้TT

แทนค่าผิดหรือเปล่าครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Kaito KunG

คิดใหม่ 3 รอบได้ไม่เท่ากันสักรอบเลยครับ ครั้งล่าสุดคิดได้ 213 ครับ

ยังไม่ถูกครับ

[Ne[S]zA]

เอาใหม่ครับคาดว่าจะออกละ
$f(x)=x^3-2x^2+x-3=(x-a)(x-b)(x-c)$
$f(1)=(1-a)(1-b)(1-c)=-3$____(1)
$f(-1)=(1+a)(1+b)(1+c)=7$____(2)
$f(i)=(i-a)(i-b)(i-c)=-1$____(3)
$f(-i)=(i+a)(i+b)(i+c)=1$____(4)
$(1)\times (2) \times (3) \times (4) ; (1-a^4)(1-b^4)(1-c^4)=-21$
ช่วยตรวจด้วยครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

เอาใหม่ครับคาดว่าจะออกละ
$f(x)=x^3-2x^2+x-3=(x-a)(x-b)(x-c)$
$f(1)=(1-a)(1-b)(1-c)=-3$____(1)
-$f(-1)=(1+a)(1+b)(1+c)=7$____(2)
-$f(i)=(i-a)(i-b)(i-c)=1$____(3)
-$f(-i)=(i+a)(i+b)(i+c)=1$____(4)
$(1)\times (2) \times (3) \times (4) = (1-a^4)(1-b^4)(1-c^4)=-21$
ช่วยตรวจด้วยครับ

เพื่อดูแล้วไม่งงควรเป็นแบบที่มีสีแดงครับ
ถูกครับ และเป็นวิธีที่อยากจะบอกด้วยครับ เพราะการแก้ปัญหาของโจทย์ลักษณะนี้มีการแก้ได้หลายวิธี เช่น viete's formula แต่ถ้าใช้วิธีนี้สำหรับข้อนี้จะง่ายและสะดวกครับ ผมลองเปลี่ยนกำลังมากขึ้นและเปลี่ยนเป็น + ทำดูรู้สึกสนุกดีครับเพราะเป็นโจทย์ชวนคิด(ให้ไปคิดต่อครับ )

[Kaito KunG]

ผมอยากทราบว่าคิดในลักษณะนี้ได้หรือเปล่าครับ
$a+b+c=2$

$ab+bc+ca=1$

$abc=3$

$a^2+b^2+c^2=4-2=2$

$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=1-2abc(a+b+c)=-11$

$a^4+b^4+c^4= 4+22=26$

$a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4=121-2a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)=121-36=85$

$(1-a^4)(1-b^4)(1-c^4)= 1-a^4-b^4-c^4+a^4b^4+b^4c^4+a^4c^4-a^4b^4c^4$

$=1-26+85-81$

$ =-21$

[Ne[S]zA]

ได้ครับแต่ เป็นวิธีที่โหดมากครับเหอๆๆ ผมลองนั่งจัดดูแล้วตาลายครับ

[หยินหยาง]

#28
ได้ครับ และนั่นก็คือเหตุผลที่สร้างโจทย์ข้อนี้ขึ้นมา ว่าถ้ารู้แนวคิดที่เหมาะกับโจทย์ก็จะสามารถหาคำตอบที่ถูกต้องและเร็วได้