โจทย์ชวนคิด ที่น่าทำ

[Anonymous314]

ทำได้เร็วหรือช้ามันแล้วแต่คนถนัดอะครับ
แต่ผมถนัดที่จะทำ
$$(1-a^4)(1-b^4)(1-c^4)=[(1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)][(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)]$$
แตกแต่ละก้อนออกมาทุกอย่างก็จะหมูแล้วครับ

[หยินหยาง]

มาต่อให้อีกข้อครับ
ข้อ 9. จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด $A(-2,0)$ และตัดกับสมการวงกลม $x^2+y^2=1$ ที่จุด $C$ และ $D$ มีจุด $B$ อยู่ที่ $(1,0)$ แล้วทำให้เกิดพื้นที่สามเหลี่ยม $BCD$ มากที่สุด

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

มาเพิ่มเติมโจทย์เกี่ยวกับพีชคณิตให้อีก 2 ข้อ
5. กำหนดให้
$x+y+z = 4$
$xy+yz+zx = 5$
$xyz = 6$
จงหาค่าของ $x^6+y^6+z^6 = ?$

เห็นพี่ LightLucifer ถึก

ผมเลยหาวิธีอื่น เอ ..... ลองทำดูนะครับ

จากโจทย์ $x,y,z$ เป็นรากของสมการ $q^3 - 4q^2 + 5q +6$

แล้ว ไงต่อครับ

[Siren-Of-Step]

จะมีแนวทางนี้ ใช้ได้ปะครับ

หา $x^3+y^3+z^3 = ?$
$x^4+y^4+z^4 = ?$
.
.
.

[หยินหยาง]

ข้อ 9 ไม่มีใครอยากตอบหรือครับ ไม่ได้ใช้ความรู้เกิน ม.ต้นนะครับ
งั้นเอาโจทย์ของคนอื่นดีกว่าเผื่ออาจมีคนสนใจ เป็นโจทย์ประกายกุหลาบ ม.ต้น ครั้งที่ 8 ผมให้เป็นข้อต่อไปก็แล้วกันครับ

ข้อ 10. (เป็นข้อ 12 ตอน 2 ในประกายกุหลาบ) จงหาจำนวนวิธีในการสร้างเลข 7 หลัก (ให้เป็น $a_1,a_2,a_3,...,a_7$)
จากเลขโดด 1-9 โดยแต่ละหลักไม่ซ้ำกันและ $a_i>a_{i+1}$ โดยที่ $i=1,2,...,6$

ข้อ 11. (เป็นข้อ 1 ตอน 3 ในประกายกุหลาบ) ให้ $a,b$ เป็นรากของสมการ $2x^2+3x-10 = 0$
จงหาค่าของ $\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2} +\frac{a^2-ab+b^2}{a^3+ab+b^3}-\frac{537}{2726}$
ผมว่าเป็นข้อแจกคะแนนสำหรับชาว MC เลยนะครับ ถ้าคิดในใจได้ตอบเลยไม่ต้องเกรงใจครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ข้อ 11. (เป็นข้อ 1 ตอน 3 ในประกายกุหลาบ) ให้ $a,b$ เป็นรากของสมการ $2x^2+3x-10 = 0$
จงหาค่าของ $\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2} +\frac{a^2-ab+b^2}{a^3+ab+b^3}-\frac{537}{2726}$

เดี๋ยวซือแป๋หยินหยางจะน้อยใจว่าไม่มีใครสนใจตอบ

เอาสักข้อก่อน ที่เหลือเก็บไว้ให้คนอื่นมั่ง (เดี๋ยวจะโดนแซวว่าโซ้ยหมดคนเดียว )


เพราะว่า $a,b$ เป็นรากของสมการ $2x^2+3x-10 = 0$

ดังนั้น $a+b = - \frac{3}{2}$ และ $ab = -\frac{10}{2} = -5$ ........(*)

เพราะว่า $(a+b)^2 = (a^2-ab +b^2) +3ab$--->$a^2-ab +b^2 = (a+b)^2-3ab$ ....(**)

$(a+b)^2 = (a^2+ab +b^2) +ab$ --->$a^2+ab +b^2 = (a+b)^2-ab$ .....(***)

$(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)$ ---> $ a^3+b^3 = (a+b)^3 -3ab(a+b)$ ...(****)

แทนค่า
$\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2} +\frac{a^2-ab+b^2}{a^3+ab+b^3}-\frac{537}{2726} $

$\frac{(a+b)^3 -3ab(a+b)}{(a+b)^2-ab} +\frac{ (a+b)^2-3ab}{(a+b)^3 -3ab(a+b)+ab}-\frac{537}{2726}$

$ = \frac{(-\frac{3}{2})^3 -3(-5)(-\frac{3}{2})}{(-\frac{3}{2})^2-(-5)} +\frac{ (-\frac{3}{2})^2-3(-5)}{(-\frac{3}{2})^3 -3(-5)(-\frac{3}{2})+(-5)}-\frac{537}{2726}$

$-\frac{207}{58} -\frac{138}{247}- \frac{537}{2726}$

เห็นตัวเลขแล้วตาลาย ทำต่อเองนะครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ข้อ 10. (เป็นข้อ 12 ตอน 2 ในประกายกุหลาบ) จงหาจำนวนวิธีในการสร้างเลข 7 หลัก (ให้เป็น $a_1,a_2,a_3,...,a_7$)
จากเลขโดด 1-9 โดยแต่ละหลักไม่ซ้ำกันและ $a_i>a_{i+1}$ โดยที่ $i=1,2,...,6$

แบบนี้ไม่ค่อยถนัด แต่ก็จะลองดู

หลักแรก เลือกได้ 3 แบบคือ 9, 8, 7
หลักที่สอง เลือกได้ 3 แบบคือ 8, 7, 6
หลักที่สาม เลือกได้ 3 แบบคือ 7, 6, 5
หลักที่สี่ถึงเจ็ด เลือกได้ 1


ดังนั้นจึงมี 3x3x3 = 27 จำนวน

ถูกหรือเปล่าครับซือแป๋

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

แบบนี้ไม่ค่อยถนัด แต่ก็จะลองดู

หลักแรก เลือกได้ 3 แบบคือ 9, 8, 7
หลักที่สอง เลือกได้ 3 แบบคือ 8, 7, 6
หลักที่สาม เลือกได้ 3 แบบคือ 7, 6, 5
หลักที่สี่ถึงเจ็ด เลือกได้ 1


ดังนั้นจึงมี 3x3x3 = 27 จำนวน

ถูกหรือเปล่าครับซือแป๋

ผมว่าคิดแบบนี้ จะดูง่ายกว่าไหมครับ

9 8 7 6 5 4 3 2 1

จะเห็นว่าถ้าเราเอาจำนวนข้างบนออก 2 จำนวน ก็จะได้จำนวนตามเงื่อนไข

นั่นคือมีจำนวน 9 จำนวนเรียงกันตามข้างบน ให้เลือกเอาออก 2 ตัว

จะเลือกได้ทั้งหมด $\binom{9}{2}=36 $ วิธีครับ

สรุปมีจำนวนที่สอดคล้องทั้งสิ้น 36 จำนวน

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

ผมว่าคิดแบบนี้ จะดูง่ายกว่าไหมครับ

9 8 7 6 5 4 3 2 1

จะเห็นว่าถ้าเราเอาจำนวนข้างบนออก 2 จำนวน ก็จะได้จำนวนตามเงื่อนไข

นั่นคือมีจำนวน 9 จำนวนเรียงกันตามข้างบน ให้เลือกเอาออก 2 ตัว

จะเลือกได้ทั้งหมด $\binom{9}{2}=36 $ วิธีครับ

สรุปมีจำนวนที่สอดคล้องทั้งสิ้น 36 จำนวน

ถูกครับ หรือคิดว่ามีตัวเลขอยู่ 9 ตัวที่ไม่ซ้ำกันเลือกออกมา 7 ตัวก็ได้ เพราะเราไม่สนใจว่าจะเรียงแบบไหนและ 1 ในการจัดเรีียงทั้งหมดก็จะมีวิธีเดียวที่เรียงเลขโดดจากมากไปหาน้อย ซึ่งก็คือ $\binom{9}{7}=36 $
ที่ผมบอกว่าเป็นข้อที่แจกคะแนนสำหรับชาว MC ก็เพราะโจทย์ลักษณะนี้ได้เคยมีสมาชิกเอามาถามไว้และมีคนเฉลยวิธีคิดแบบที่คุณ Scylla_Shadow ได้เฉลยไว้
ส่วนถ้าเด็ก ม.ต้นไม่ได้เรียนก็คงต้องแบ่งกรณีแบบท่าน banker แหละครับ เพียงแต่ว่าคุณ banker แบ่งไม่ครบครับ ลองดูว่าผิดตรงไหน จริงๆเขียนเป็ยผังต้นไม้ก็จะดูง่ายครับ โดยใช้กฏการนับเบื้องต้นที่เรียนใน ม.ต้นก็สามารถทำได้ครับ เดี๋ยวขอไปเล่นเกมส์ก่อนถ้ามีเวลาจะมาโพสต์โจทย์ต่อให้ครับ ยังไงก็ลองทำข้อ 9 ฆ่าเวลาไปก่อนนะครับ

[หยินหยาง]

มาโพสต์โจทย์ให้อีก 2 ข้อครับเป็นข้อสอบในประกายกุหลาบ ไม่ยากครับ

ข้อ 12. จงหาจำนวนเต็มบวก $x,y,z$ ทั้งหมดซึ่ง $x\geqslant y\geqslant z$ ซึ่งสอดคล้องกับสมการ
$x+y+z+xyz =xy+yz+zx+2$

ข้อ 13. จงหาคู่อันดับ $(x,y)$ ทั้งหมด ซึ่ง$x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งเป็นคำตอบของสมการ
$2^x+3x+\sqrt{x+3}+1 = (8-y)^3+59$

[หยินหยาง]

มาโพสต์โจทย์ให้อีก 3 ข้อครับ
14. กำหนดให้ $\sin 20^o = a$ จงหา $\tan 55^o =?$ (ให้อยู่ในรูปของ a)

15. สามเหลี่ยม ABC มีด้าน AB ยาว 5 หน่วย BC ยาว 8 หน่วย เส้น ตรง BD แบ่งครึ่งมุม B และ E เป็นจุดอยู่บน BD ทำให้ BE:ED = 1:2 ถ้าสามเหลี่ยม ABC มีพื้นที่ 260 ตร.หน่วย จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABE


16. จากรูปจงหา DE

[หยินหยาง]

17. $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมซึ่งมีด้าน $BC$ ยาว 5 หน่วย ลาก $AD$ ตั้งฉากกับ $BC$ โดยที่จุด $D$ อยู่บน $BC$ ทำให้ $AD$ ยาว 1 หน่วย และ $B\hat A D - A\hat C D = 45^o$ จงหา $AB:AC$ เท่ากับเท่าไร

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

17. $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมซึ่งมีด้าน $BC$ ยาว 5 หน่วย ลาก $AD$ ตั้งฉากกับ $BC$ โดยที่จุด $D$ อยู่บน $BC$ ทำให้ $AD$ ยาว 1 หน่วย และ $B\hat A D - A\hat C D = 45^o$ จงหา $AB:AC$ เท่ากับเท่าไร

ผมว่า ข้อนี้น่ารักดีครับ

[LightLucifer]

ขอบคุณครับที่นำโจทย์เรขาดีๆมาช่วย อย่างที่น้อง Scylla บอก ข้อ 17. สวยครับ

แนวคิดของผมแบบม.ต้นคือหา $BAC$ ได้ $135^o$ แล้วแต่จากจุด $a,b$ ไปตั้งฉากกันด้านนอก ที่เหลือก็ไม่น่ายากแล้วนะครับ

ถ้าม.ปลายก็คงใช้ sine law จะช่วยให้สดวกขึ้น

ปล น้อง Scylla มีแนวคิดอื่นๆไหมครับอยากเห็นๆ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

17. $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมซึ่งมีด้าน $BC$ ยาว 5 หน่วย ลาก $AD$ ตั้งฉากกับ $BC$ โดยที่จุด $D$ อยู่บน $BC$ ทำให้ $AD$ ยาว 1 หน่วย และ $B\hat A D - A\hat C D = 45^o$ จงหา $AB:AC$ เท่ากับเท่าไร

ลองดูรูปข้างล่างนี้




ตอบ ( $AB:AC ) = \{\sqrt{2} : 1 \}, \ \{\sqrt{2} : 2\}$