|
|
|||||||
| สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
  |
|
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
#1
09 พฤษภาคม 2007, 00:05
|
||||
|
||||
ปัญหาการสร้างเชิงเรขาคณิตที่เป็นไปไม่ได้
ปัญหาคลาสสิกของการสร้างเชิงเรขาคณิตที่เป็นไปไม่ได้ มีอยู่ 3 ข้อ คิดว่าหลายคนอาจเคยอ่านเจอบ้างแล้ว
แต่ผมไม่รู้ว่ามีใครตั้งกระทู้เรื่องนี้ใน mathcenter หรือยัง ? ก็เลยลองโพสต์ดู เผื่อใครยังไม่เคยรู้ ... straightedge = สันตรง (ไม้บรรทัดแบบไม่มีสเกล) ข้อ 1 จงพิสูจน์ว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะแบ่งมุมที่กำหนดให้ใดๆ ออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน โดยใช้เพียงสันตรงกับวงเวียน ข้อ 2 จงพิสูจน์ว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสให้มีพื้นที่เท่ากับพื้นที่วงกลมที่กำหนดให้ โดยใช้เพียงสันตรงกับวงเวียน ข้อ 3 จงพิสูจน์ว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างลูกบาศก์ให้มีปริมาตรเป็นสองเท่าของปริมาตรของลูกบาศก์ใดๆ ที่กำหนดให้ โดยใช้เพียงสันตรงกับวงเวียน
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 
|
|
#2
09 พฤษภาคม 2007, 08:37
|
|||
|
|||
|
บทพิสูจน์ของสามปัญหานี้เป็น application ที่สวยงามอันนึงของ Field Theory ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 09 พฤษภาคม 2007 08:38 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii
|
|
#4
12 พฤษภาคม 2007, 23:07
|
|||
|
|||
|
ขอแนะนำหนังสือก็แล้วกันนะครับ
เป็นหนังสือที่ชื่อว่า Famous Problems of Geometry and How to Solve Them ของ Benjamin Bold จะเป็นเรื่องของการสร้างทั้งนั้นเลย และก็มีบทพิสูจน์นี้ด้วย ผมหาเจอที่ kinokuniya ที่ paragon ครับ
|
|
#5
13 พฤษภาคม 2007, 07:30
|
||||
|
||||
|
หนังสือที่ kinokuniya มักเป็นหนังสือที่คัดแล้วว่าดีมาก (แต่ราคาก็คงสูงตาม)
ส่วนใหญ่ที่ผมเจอจะเป็นของสำนักพิมพ์ Dover ที่เอาหนังสือคลาสสิกมาพิมพ์ใหม่ ขอบคุณมากครับที่ช่วยแนะนำชื่อหนังสือให้ ผมอ่านการพิสูจน์นี้จากหนังสือ พีชคณิตนามธรรม ของ ม.ทักษิณ
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน
|
|
#6
20 พฤษภาคม 2007, 13:21
|
||||
|
||||
|
บทพิสูจน์คงสวยน่าดูนะครับอยากเห็นบ้างจังเลย
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
|
|
#7
22 พฤษภาคม 2007, 13:22
|
||||
|
||||
|
น้อง Timestopper_STG ยังไม่เคยอ่านจริงหรือเปล่า ? ว่างๆ จะเอามาโพสต์ให้ดูก็ได้
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน
|
|
#8
22 พฤษภาคม 2007, 20:38
|
||||
|
||||
|
ผมต้องขอบอกว่า เดิมนั้นผมตั้งใจจะหยุดกระทู้นี้ไปแล้ว เพราะหาข้อมูลน่าสนใจไม่ค่อยได้ และไม่ค่อยมีใครตอบ
แต่บังเอิญมากที่วันนี้ผมเพิ่งได้หนังสือเล่มหนึ่งชื่อว่า Famous Problems of Elementary Geometry อธิบาย เฉพาะปัญหา 3 ข้อนี้ไว้ยาวถึง 80 หน้า (Pocket book) ถ้าอ่านแล้วมีอะไรน่าสนใจกว่าที่ผมเคยอ่านจากเล่ม "พีชคณิตนามธรรม" ก็จะเอามาโพสต์ให้ได้อ่านกันต่อไป ปัญหา 3 ข้อนี้เขียนเป็นภาษาอังกฤษได้ว่า $\bullet\;\;$ The Trisection of an Angle $\bullet\;\;$ The Quadrature of the Circle $\bullet\;\;$ The Duplication of the Cube
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 22 พฤษภาคม 2007 20:41 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear
|
|
#9
23 พฤษภาคม 2007, 06:32
|
||||
|
||||
|
อ้อ...ลืมบอกไปว่าหนังสือที่ผมได้มาชื่อคล้ายกับที่คุณ Tony แนะนำไว้ในความเห็นที่ 4 แต่ว่าเป็นคนละเล่มและ
คนละผู้แต่งด้วย เล่มที่ผมได้มานั้นเก่าและเก๋ามากๆ พิมพ์เมื่อปี 1897 เป็นหนังสือที่หมดลิขสิทธิ์ไปแล้ว ฉะนั้นผมคงเอามาโพสต์ ได้อย่างหายห่วง  .
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน
|
|
#10
24 พฤษภาคม 2007, 01:13
|
||||
|
||||
|
หนังสือที่มีรายละเอียดของการพิสูจน์ปัญหา 3 ข้อนี้ ก็พอจะมีอยู่เหมือนกัน แต่ยังไม่มีเวลาอ่านแบบละเอียดเลยครับว่า เป็นยังไง เท่าที่ดูคร่าวๆ จะเป็นเรื่องของจำนวนที่สร้างได้จากโดยใช้สันตรงและวงเวียน ซึ่งก็จะมีเกร็ดประวัติไปถึงเรื่องการสร้างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า โดยใช้สันตรงและวงเวียนเช่นกัน ว่ารูปไหนสร้างได้รูปไหนสร้างไม่ได้ จากนั้นก็จะเป็นการแปลงปัญหา 3 ข้อนั้นให้อยู่ในรูปสมการกำลังสาม และพิสูจน์อีกว่าผลเฉลยดังกล่าวนั้นสร้างไม่ได้ โดยใช้สันตรงและวงเวียน
ปัญหาการแบ่งมุมเป็นสามส่วนเท่ากัน เขาเลือกมุม $60^\circ $ มาใช้ประกอบการพิสูจน์ ว่าไม่สามารถแบ่งมุมได้โดยใช้สันตรงและวงเวียน ก็เป็นอันจบการพิสูจน์ว่า ไม่มีวิธีทั่วไปที่ใช้แบ่งมุมใดๆออกเป็นสามส่วนเท่ากันได้
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson.
|
|
#11
24 พฤษภาคม 2007, 05:05
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
ในรูปสมการกำลังสามได้ ต้องอาศัยความรู้เรื่องจำนวนอดิสัย (Transcendental number) ในการอธิบายแทน ส่วนปัญหาอีก 2 ข้อที่เหลือเป็นไปตามที่คุณ Top อธิบายไว้แล้ว
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน
|
|
#12
26 พฤษภาคม 2007, 00:57
|
||||
|
||||
|
ผมหาข้อมูลจากหนังสือเล่มหนึ่งที่พูดถึงปัญหาสามข้อนี้มาให้อ่านเล่น (เป็นภาษาอังกฤษ
)ส่วนเริ่มต้นนี้เป็นการระบุปัญหาทั้งสามข้อว่ามีอะไรบ้าง รวมทั้งเรื่องน่าสนใจอื่นๆ THE THREE FAMOUS GEOMETRICAL PROBLEMS OF ANTIQUITY. The problems referred to are, $\;\;\;$ (i) The Duplication of the Cube; $\;\;\;$ (ii) the Trisection of an Angle; $\;\;\;$ (iii) the Quadrature of the Circle. The first of these problems means to find the edge of a cube whose volume shall be twice that of a given cube; the second means to divide any given angle into three equal parts; and the third means to find the side of a square whose area shall be equal to that of a given circle. As has been said, constructions in pure geometry or Euclidean Geometry admit of the use of an ungraduated ruler and a pair of compasses only. With this restriction, all three problems are insoluble. This is the important point to be observed. The problems are only impossible, because we are limited in the use of our instruments to a straight edge, or ungraduated ruler, and a pair of compasses. In this way many problems may be made impossible. For example, it is impossible to go across the Atlantic Ocean from Boston to Liverpool on a bicycle, but with a steamship the trip is made very easily. So too, if other instruments are used our three problems are easily solved. The solutions of the first and second problems are implicitly involved in the Galois theory as presented to-day in treatises on higher algebra. The impossibility of the solution of the third was demonstrated in 1882 by Lindemann. ... ต่อไปจะเข้าสู่การอธิบายว่าแต่ละปัญหาพิสูจน์ยังไง ...
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 26 พฤษภาคม 2007 01:07 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear
|
|
#13
26 พฤษภาคม 2007, 01:05
|
||||
|
||||
|
ส่วนนี้เป็นการอธิบายวิธีพิสูจน์ 2 ปัญหาแรก (ตามลำดับของเขา)
THE THREE FAMOUS GEOMETRICAL PROBLEMS OF ANTIQUITY. (ต่อ) The first two problems may be reduced to one, viz., that of finding two means between two given extremes. In the first problem, if we let a be the edge of given cube and $x$ that of the required cube, then we must have $x^3 = 2a^3,$ or $a : x = x : y = y : 2a$. In the second, if $a$ is the sine of the given angle, and $x$ the sine of one-third the angle ; then $4x^3 = 3x-a,$ or $1 : 4^{\frac13}x = 4^{\frac13}x : y = y : (3x-a)$. ... ต่อไปเป็นตำนานของปัญหาข้อแรก (The Duplication of the Cube) ...
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 26 พฤษภาคม 2007 01:11 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear
|
|
#14
26 พฤษภาคม 2007, 01:15
|
||||
|
||||
|
ตำนานของปัญหาข้อแรก (The Duplication of the Cube) มีดังนี้
THE THREE FAMOUS GEOMETRICAL PROBLEMS OF ANTIQUITY. (ต่อ) The problem of the duplication of the cube was known in ancient times as the Delian problem, in consequence of a legend that the Delians had consulted Plato on the subject. It is asserted by Philoponus, that the Athenians in 430 B. C. were suffering from the plague of eruptive typhoid fever and in order to stop it consulted the oracle at Delos as to how it might be done. Appolo replied that they must double the size of the altar of Minerva which was in the form of a cube. This to the unlearned suppliant, was an easy task, and a new altar having each of its edges double that of the old one was constructed, in consequence of which the volume was increased eight-fold. This so enraged the god that he made the pestilence worse than before, and informed a fresh deputation that it was useless to trifle with him as the new alter must be a cube and have a volume exactly double that of the old one. Suspecting a mystery, the Athenians applied to Plato who referred them to the geometricians. In an Arab work, it is related that Plato replied to them, saying, Ye have been neglectful of the science of geometry and, therefore, hath God chastised you, since geometry is the most sublime of all the sciences. ... หวังว่าคงอ่านเข้าใจนะครับ แปลยากซักนิด แต่ก็สนุกดี ...
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน
|
|
#15
27 พฤษภาคม 2010, 07:06
|
||||
|
||||
|
ขุดกลับมาให้อ่านเล่น เพื่อให้สมาชิกที่เพิ่งเข้ามา MC ในช่วง 2-3 ปีหลังได้อ่าน :-)
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน
|
| |
|
|
