Real Analysis Exam

[Punk]

ขอประเดิมด้วยคนครับ เอาเป็นโจทย์มหาลัยละกัน

Real Analysis Exam

1. ให้ \((X,\Omega,\mu) \) เป็น probability measure space จงพิสูจน์ว่า
\[
\lim_{p\to\infty}\|f\|_p=\|f\|_\infty
\]
สำหรับทุกฟังก์ชัน \( f\in L^\infty(X) \)

2. จงพิสูจน์ว่าจำนวนจริงบวก \( p \) ทั้งหมดที่ทำให้
\[
\int_0^\infty\frac{1}{x^{p/2}(1+\ln|x|^p)}\;dx<\infty
\]
คือ \( p=2\) เท่านั้น

3. ถ้า \( A:H\times H\to H \) เป็น bilinear operator บนปริภูมิ Hilbert \(H\) โดยมีค่าคงที่ \( M,\delta>0 \) ซึ่ง
\[
|A(x,y)|\leq M\|x\|\|y\|,\qquad A(x,x)\geq\delta\|x\|
\]
สำหรับทุก \( x,y\in H \) จงพิสูจน์ว่าทุก \( f\in H^\ast\) มี \(\exists!\;x\in H \) ซึ่ง \( f(y)=A(x,y) \) ทุก \( x\in H \)

4. ให้ \( f\in L^p(\Omega),\, (1\leq p<\infty) \) โดย \(\Omega\) มีขอบเขต จงพิสูจน์ว่า
\[
\int_\Omega|f|^p\;dx=p\int_0^\infty t^{p-1}|A_f(t)|\;dt
\]
เมื่อ \( A_f(t):=\{x\in\Omega:|f(x)|>t\}\)

5. ให้ \( J:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} \) มีคุณสมบัติว่า ถ้า \( \{x_n\} \) เป็นลำดับใน \( \mathbb{R}^n\) โดย
\[
\{J(x_n)\}\,\,\text{มีขอบเขตและ}\quad J'(x_n)\to 0
\]
แล้ว จะมีลำดับย่อยของ \( \{x_{n}\} \) ซึ่งลู่เข้า จงพิสูจน์ว่าถ้า \(c\) ไม่ใช่ค่าวิกฤติของ \(J\) แล้วจะมีมีค่าคงที่ \( \sigma,\varepsilon>0\) ซึ่ง
\[
\|J'(x)\|\geq\sigma
\]
สำหรับทุก \(c-\varepsilon\leq J(x)\leq c+\varepsilon \)

[gon]

อ่านโจทย์รู้เรื่องแต่ข้อ 2 ข้อเดียวเท่านั้นเองครับ.

[tana]

ยากจริงๆครับ อ่านโจทย์ยังไม่ค่อยเข้าใจเลย ท่านพี่จอมยุทธ์ nooonuii มาช่วยแสดงแนวคิดให้ดูหน่อยสิครับ
( ไม่ได้คุยกะพี่ nooonuii มานานหลายวันละ ยังไงอีกไม่นานคงได้เจอกันครับ )

[nooonuii]

ตั้งใจไว้แล้วครับว่าสอบเสร็จจะมานั่งคิดโจทย์ชุดนี้ ตอนนี้ใกล้สอบปลายภาคแล้วครับ ยุ่งเชียว เจอกันที่เมืองไทยเดือนหน้าครับ