อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน

[alongkorn]

จากทฤษฎีบทนี้นะครับ
ถ้า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและหาอนุพันธ์ได้ แล้ว (f^-1)'(x) = 1/f'(x)

ลองทำโจทย์ง่าย ๆ คือ จงหา (f^-1)'(x) เมื่อ f(x) = 1/x

ถ้าใช้ ทบ. จะได้ -x² แต่ถ้าทำตรง ๆ จะได้ (f^-1)(x) = 1/x ดังนั้น (f^-1)'(x) = -1/x²

Why??? ใครรู้ช่วยบอกหน่อย

[warut]

จาก \(f(f^{-1}(x))=x\) ใช้ chain rule จะได้ \(f'(f^{-1}(x))\cdot(f^{-1})'(x)=1\)
ดังนั้นผมคิดว่าสูตรที่ถูกน่าจะเป็นอันนี้ครับ\[(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\]

[passer-by]

นี่คือตัว theorem ของมันจริงๆ ครับ
ไปเปิดหนังสือ quote มาให้ ได้ดังนี้
Let f be 1-1 real-valued function on interval J. Let f be the inverse function for f. If f is continuous at c ฮ J and if f has a derivative at d=f(c) with f^'(d) น 0 then f^'(c) exists and
f^'(c)= 1/ (f^'(d))

[alongkorn]

ที่ยกประเด็นนี้ขึ้นมาเพราะมีการเข้าใจผิดกันในหมู่นิสิตที่เรียนแคล1 ว่าการหาอนุพันธ์ของ f^-1(x) ทำได้โดยการหาอนุพันธ์ของ f แล้วกลับเศษกลับส่วน (สูตรลัด) ซึ่งวิธีนี้น่าจะใช้ได้เฉพาะ linear function ส่วนฟังก์ชันอื่นจะใช้ได้หรือไม่นั้น อันนี้ก็ไม่รู้ครับ

[M@gpie]

ก่อนอื่นต้องขอบคุณ คุณ alongkorn มากเลยครับ ที่ยกประเด็นนี้ขึ้นมา เพราะผมก็เป็นหนึ่งในคนที่เข้าใจผิด เช่นกัน อาจจะเป็นเพราะว่า ไม่ค่อยมีหนังสือหรือแบบฝึกหัดที่ไหนเน้นตรงจุดนี้ก็เป็นได้ แถมยังไม่เป็นหัวข้อสำคัญในการออกข้อสอบ เลยถูกมองข้าม เพราะผมตรวจสอบใน text book บางเล่มก็ไม่มีพูดถึงการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันไว้เลย แต่ถึงจะไม่สำคัญเพื่อความเข้าใจที่ถูกต้อง ก็ควรจะหาข้อเท็จจริงครับ ผมลองตรวจสอบดูแล้วครับ สูตรที่ถูกต้องคือสูตรตามที่คุณ warut ให้มา อันนี้คงไม่มีปัญหาอะไร ใช่รึเปล่าครับ นั่นคือ
\[ \frac{d}{dx} f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \]
ทีนี้เรามาดูสูตรในอีกรูปกันบ้าง โดยทั่วไป จะเขียนสูตรได้ว่า \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}\) หรือ บางทีก็เห็นในรูปของ \( \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \)
ทีนี้ต้องถามตัวเองล่ะครับว่า y คืออะไร และ x คืออะไร ???

การใช้สูตรที่ถูกต้อง น่าจะเป็นดังนี้ครับ เริ่มจาก เราต้องการอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน
เราจึงกำหนดให้ \( y = f^{-1}(x) \) หรือกล่าวได้ว่า \( x=f(y) \)โดยกฏลูกโซ่จะได้ว่า \( \frac{dy}{dy} = \frac{dy}{dx} \frac{dx}{dy} \)
จะได้สูตรที่เราคุ้นตากันดีคือ \[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} \] จะได้ว่า \( \frac{dy}{dx} \) คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันอินเวอร์สตามที่เราต้องการ ซึ่งสามารถหาได้จากส่วนกลับของ \( \frac{dx}{dy} \)
ซึ่ง \( \frac{dx}{dy} \) เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ได้จากการเปลี่ยนตัวแปร x,y สลับกัน ข้อดีข้อการใช้วิธีนี้คือ เราไม่ต้องทำการหาว่า \( f^{-1}(x) \) มีหน้าตาเป็นอย่างไร(เพราะบางครั้งหาได้ยาก) ก็สามารถหาอนุพันธ์ได้ทันที

ลองใช้หลักการที่ผมว่ากับฟังก์ชันที่ยกตัวอย่างมาตอนแรกนะครับ
จาก \( f(x) = \frac{1}{x}\)
กำหนดให้ \( y=f^{-1}(x) \) หรือ \( x = f(y) = \frac{1}{y} \)
จากสูตรข้างต้น \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{ - \frac{1}{y^2}} = -y^2 \)
ซึ่ง เราสามารถหาได้ว่า \( y = f^{-1}(x) = \frac{1}{x}\)
แทนค่าลงไปจะได้ \( \frac{d}{dx} f^{-1}(x) = - \frac{1}{x^2} \)

ลองใช้กับฟังก์ชันอื่นๆดูครับ เช่น \( f(x) = \sin x \) เมื่อ \( 0<x<\frac{\pi}{2} \)
กำหนดให้ \( y=f^{-1}(x) \) หรือ \( x = f(y) = \sin y \)
จาก \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1- \sin ^2 y}} \)
ซึ่ง เราทราบว่า \( \sin y = x \)
แทนค่าลงไปจะได้ \( \frac{d}{dx} f^{-1}(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \) ซึ่งเป็นสูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน arcsin ที่ใช้กันอยู่นั่นเอง

ลองใช้กับฟังก์ชัน Exponential ,logarithm แล้วก็ได้ผลเช่นกันคับ

ถ้าผิดถูกอย่างไรก็ บอกได้นะครับ อันนี้เป็นความคิดของผม

[alongkorn]

ที่คุณ m@gpie เข้าใจนั้นถูกต้องแล้วครับ ที่มาของความเข้าใจผิดน่าจะมาจากเห็นสูตรว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน คือ 1/(dy/dx) ครับ โดยไม่ได้แทนค่ากลับเข้าไปว่า x คืออะไร

[M@gpie]

ครับ ขอบคุณที่ คุณ alongkorn ให้ความกระจ่าง

[gon]

กระทู้นี้ดีมาก ๆ เลยครับ. ได้ทบทวนความรู้เก่า ๆ และ ได้ความรู้ใหม่