Calculus ProBlem

[M@gpie]

ลองคิดแล้วมัน ไม่ค่อยแน่ใจน่ะคับ เลยขอไอเดียหน่อย
Let f is infinitely differentiable real-valued function defined on the real numbers .
if \( f(\frac{1}{n}) = \frac{n^2}{1+n^2} \; n=1,2,3,... \)
Compute the values of the derivative \( f^{(k)}(0) \ for \ k=1,2,3,... \)

ที่ผมคิดไว้

\( f^{(k)}(0) = (-1)^k k ! \)

เดี๋ยวมีมาเพิ่มคับ

[gon]

ยากเอาการอยู่ครับ. ลองคิดดูกรณี k=1 ก็ไม่ตรงกับของที่น้อง M@gpie เขียนเอาไว้แล้วมั้ง

\[f(\frac{1}{n}) = \frac{1}{(\frac{1}{n})^2 + 1} \Rightarrow f(n) = \frac{1}{n^2 + 1} \Rightarrow f'(n) = -\frac{2n}{(n^2 + 1)^2} \Rightarrow f'(0) = 0\]

[M@gpie]

อ่า คิดเร็วไปหน่อยครับเลย ลืมไปครับแหะๆๆ เอาเป็นว่าผมทำดังนี้
แทนค่า \( n=\frac{1}{x} \)จาก \[f(x) = \frac{1}{1+x^2}= 1 -x^2 +x^4 -x^6 +x^8 - ... \]
แล้วก็เทียบกันอนุกรมเทย์เลอร์รอบจุด 0 จะได้
\[ f^{(k)}(0) = 0 เมื่อ k เป็นเลขคี่ \]
และ \[ f^{(k)}(0) = -1 เมื่อ k = 4n-2 \ ; \ n = 1,2,3,... \]
\[ f^{(k)}(0) = 1 เมื่อ k = 4n \ ; \ n = 1,2,3,... \]