มาราธอน ค่าย 1

[จูกัดเหลียง]

ขอบคุณมากครับ (น่าจะ)ได้ข้อ 3 เเล้ว 555
จาก Hint คุณ Keehlzver จึงเพียงพอที่จะเเสดงว่า $(a^2-a+1)(b^2-b+1)(c^2-c+1)(d^2-d+1)\ge \Big(\dfrac{1+abcd}{2}\Big)^2$
คือผมไม่เเน่ใจว่า $f(x)=\log(x^2-x+1)$ เป็น convex หรือป่าวอ่ะครับ

ถ้าเป็น convex

โดย Jensen ให้ $f(x)=\log (x^2-x+1)$ เป็น canvex function เเละให้ $t=\dfrac{a+b+c+d}{4}$ จึงได้ว่า
$$\prod_{cyc} (a^2-a+1)\ge (t^2-t+1)^4$$ จาก $\dfrac{1+abcd}{2}\le \dfrac{1+t^4}{2}$ จึงต้องการเเสดงว่า $\Big(\dfrac{1+t^4}{2}\Big)^2\le (t^2-t+1)^4\leftrightarrow (t-1)^4\ge 0$

[Keehlzver]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

ขอบคุณมากครับ (น่าจะ)ได้ข้อ 3 เเล้ว 555
จาก Hint คุณ Keehlzver จึงเพียงพอที่จะเเสดงว่า $(a^2-a+1)(b^2-b+1)(c^2-c+1)(d^2-d+1)\ge \Big(\dfrac{1+abcd}{2}\Big)^2$
คือผมไม่เเน่ใจว่า $f(x)=\log(x^2-x+1)$ เป็น convex หรือป่าวอ่ะครับ

ถ้าเป็น convex

โดย Jensen ให้ $f(x)=\log (x^2-x+1)$ เป็น canvex function เเละให้ $t=\dfrac{a+b+c+d}{4}$ จึงได้ว่า
$$\prod_{cyc} (a^2-a+1)\ge (t^2-t+1)^4$$ จาก $\dfrac{1+abcd}{2}\le \dfrac{1+t^4}{2}$ จึงต้องการเเสดงว่า $\Big(\dfrac{1+t^4}{2}\Big)^2\le (t^2-t+1)^4\leftrightarrow (t-1)^4\ge 0$

ตัวนี้เป็น concave อ่ะครับ ฟังก์ชันในเฉลยที่ผมมีใช้ $f(x)=ln(e^{2x}-e^{x}+1)$ เป็น Convex ช่วง $x \geq ln(\frac{1}{2})$ ครับ แต่วิธีทำก็ประมาณนี้แหละ

[Pain 7th]

#104

ผมก็ทำแบบ หา n ตัวแรกให้ได้คือ $2^{n_1}+1= n_2 $ n ตัวแรกก็เป็น 1

แล้วผมก็ให้ $2^{n_2}+1= n_3$ แบบนี้ไปเรื่อย ๆ ไม่ได้หรอครับ

[Keehlzver]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pain 7th

#104

ผมก็ทำแบบ หา n ตัวแรกให้ได้คือ $2^{n_1}+1= n_2 $ n ตัวแรกก็เป็น 1

แล้วผมก็ให้ $2^{n_2}+1= n_3$ แบบนี้ไปเรื่อย ๆ ไม่ได้หรอครับ

ถึงแบบนี้ก็ต้องพิสูจน์ให้ได้อยู่ดีครับ แบบอุปนัย

[Pain 7th]

ผมว่าเวลา hint ก็ hide ไว้ได้ไหมครับบ เดี๋ยวมันจะหมดความสนุกเอา

บางครั้งผมไม่ได้ตั้งใจจะอ่านอ่ะครับ แต่มันเห็นแว็บนึงมันก็มาป่วนในความคิดตลอดเลย

1.

1. ใช้อสมการ Holder จะได้

$\displaystyle\sum_{cyc} \sqrt[3]{\dfrac{a(a^2+pbc)}{p+1}} \leq \sqrt[3]{(\dfrac{3}{p+1})(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+p(ab+bc+ca))} $

ที่เหลือก็พิสูจน์ว่า

$(\dfrac{3}{p+1})(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+p(ab+bc+ca)) \leq (a+b+c)^3$

$\leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2+p(ab+bc+ca)) \leq (p+1)(a+b+c)^2$

$\leftrightarrow ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2$

[Pain 7th]

2.

2. ให้ $a= \sqrt{x+1} ,b=\sqrt{y+1} ,c=\sqrt{x+y} $ จะได้ $a^2+b^2-2=c^2$

$(a-b)(ab(a+b)-abc-2c) \geq 0$

$ab(a+b) \geq c(ab+2)$

ถ้า $x>y \geq 1$ จะได้ $x^2 > y^2$ ยกกำลังสองจะได้

$a^2b^2(a^2+b^2+2ab) \geq (a^2+b^2-2)(a^2b^2+4ab+4)

$(a^2-2)(b^2-2) \geq 0$

[Beatmania]

พอดีมีคนเอามาให้ทำอ่ะครับ แหะๆ เลยเอามาแชร์กันหน่อย

1. จงหาพหุนาม $P(x)$ ที่ $P(0)=2$ และ $P(x^2+1)=P(x)^2+1$

2. ให้ $x,y,z \geqslant 0$ และ $a,b,c>0$

$$\frac{x^3}{a^2} +\frac{y^3}{b^2} +\frac{z^3}{c^2} \geqslant \frac{(x+y+z)^3}{(a+b+c)^2} $$

3. ให้ $a_i,b_i,c_i\geqslant 0$ โดย $i=1,2,...,n$

และกำหนดให้ $$a=\sum_{i = 1}^{n} a_i,b=\sum_{i = 1}^{n} b_i,c=\sum_{i = 1}^{n} c_i$$
จงแสดงว่า
$$(a^3-\sum_{i = 1}^{n} a_i^3)(b^3-\sum_{i = 1}^{n} b_i^3)(c^3-\sum_{i = 1}^{n} c_i^3)\leqslant (abc-\sum_{n = 1}^{n} a_ib_ic_i)^3$$

Credit ข้อ 2 3 : อ. Nooonuii ครับ

[Euler-Fermat]

1. ไม่มี ฟังก์ชันพหุนาม ที่สอดคล้อง กับ สมการเชิงฟังก์ชันนี้ หรือเปล่าครับ

[Pain 7th]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Euler-Fermat

1. ไม่มี ฟังก์ชันพหุนาม ที่สอดคล้อง กับ สมการเชิงฟังก์ชันนี้ หรือเปล่าครับ

เดี๋ยวพี่ยกตัวอย่างให้นะครับ

$x^4+2x^2+2$ ลองแทนดูครับ

[polsk133]

ท่านเล่นกันแต่อสมการเลยนะครับ(ผมอ่อนสุดๆ)

[Euler-Fermat]

ครับ เด๋ว จะเช็คดูผมน่าจะพลาดอะไรบางอย่าง

[จูกัดเหลียง]

ข้อ 2 มองเป็น Holder ครับ
$$\Big(\frac{x^3}{a^2}+ \frac{y^3}{b^2}+\frac{z^3}{c^2}\Big)\Big(a+b+c\Big)^2\ge \Big( \sum_{cyc}\sqrt[3]{\frac{x^3}{a^2}}\cdot \sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[3]{a}\Big)^3=(x+y+z)^3$$

[Form]

เห็นในกระทู้ปักหมุดไม่มีขอลงในนี้ละกันครับ (ถ้าซ้ำแล้วขออภัย)
พีชคณิต ต.ค. 2552
$ 1.จงหารากของสมการ \sqrt{\frac{x}{x+1}+20}-\sqrt{\frac{x}{x+1}+4} = 2 $
$ 2.กำหนดให้a,b,c เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ 0 โดยที่ a+b+c=0 จงแสดงว่า $
$ \frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a} = \frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ca}+\frac{c^3}{ab} $
$ 3.กำหนดให้a,bเป็นจำนวนเต็มซึ่ง a\not= b และP(x) เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม $
$จงพิสูจน์ว่าP(a)-P(b)จะหารด้วย a-b ลงตัวเสมอ $
$ 4.กำหนดf(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d ซึ่ง f(1)=827,f(2)=1654และf(3)=2481 $
$จงหาค่าของ\frac{f(9)+f(-5)}{4} $
$ 5.จงหาจำนวนเต็มบวก x,y ทั้งหมดที่ทำให้ 2x(xy-2y-3)=(x+y)(3x+y) $

[ปากกาเซียน]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Form

เห็นในกระทู้ปักหมุดไม่มีขอลงในนี้ละกันครับ (ถ้าซ้ำแล้วขออภัย)
พีชคณิต ต.ค. 2552
$ 1.จงหารากของสมการ \sqrt{\frac{x}{x+1}+20}-\sqrt{\frac{x}{x+1}+4} = 2 $
$ 2.กำหนดให้a,b,c เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ 0 โดยที่ a+b+c=0 จงแสดงว่า $
$ \frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a} = \frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ca}+\frac{c^3}{ab} $
$ 3.กำหนดให้a,bเป็นจำนวนเต็มซึ่ง a\not= b และP(x) เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม $
$จงพิสูจน์ว่าP(a)-P(b)จะหารด้วย a-b ลงตัวเสมอ $
$ 4.กำหนดf(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d ซึ่ง f(1)=827,f(2)=1654และf(3)=2481 $
$จงหาค่าของ\frac{f(9)+f(-5)}{4} $
$ 5.จงหาจำนวนเต็มบวก x,y ทั้งหมดที่ทำให้ 2x(xy-2y-3)=(x+y)(3x+y) $

มันข้อสอบเก่าใช้รึเปล่าครับ

[Euler-Fermat]

1.กำหนดตัวแปรใหม่ ดูครับ
2. $a+b+c = 0 $
$$\sum_{cyc} \dfrac{a^2+b^2}{a+b} $$
$$= \sum_{cyc} \dfrac{a^2+b^2}{-c}$$
$$=-\sum_{cyc} \dfrac{a^2+b^2}{c} $$
$$= -\sum_{cyc} a^2(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$$
$$=-\sum_{cyc} a^2(\dfrac{b+c}{bc}) $$
$$= -\sum_{cyc} \dfrac{-a^3}{bc} $$
$$= \sum_{cyc} \dfrac{a^3}{bc} $$

3. ให้ $P(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n$
ก็น่าจะชัดแล้วนะครับ

4. ให้ รากของ $f(x) $คือ $1,2,3,k $
$f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-k)+827x $