Sequences and Series Marathon

[Pitchayut]

ข้อต่อไปครับ (หลังจากร้างมาเกือบ 7 ปี)

35. จงพิสูจน์ว่า $\displaystyle{\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{n^3+4n^2+8n+9}{n^4+12n^3+44n^2+48n} }$ หาค่าไม่ได้

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut

ข้อต่อไปครับ (หลังจากร้างมาเกือบ 7 ปี)

35. จงพิสูจน์ว่า $\displaystyle{\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{n^3+4n^2+8n+9}{n^4+12n^3+44n^2+48n} }$ หาค่าไม่ได้

ให้ $a_n=\dfrac{n^3+4n^2+8n+9}{n^4+12n^3+44n^2+48n}$

$b_n=\dfrac{1}{n}$

จะได้ว่า $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=1$

ดังนั้น $\displaystyle{\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{n^3+4n^2+8n+9}{n^4+12n^3+44n^2+48n} }$ ลู่ออก โดย Limit Comparison Test

[nooonuii]

36. จงหาผลบวกของอนุกรม

$\dfrac{1}{3!-2!-1!}+\dfrac{2}{4!-3!-2!}+\dfrac{3}{5!-4!-3!}+\cdots$

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

36. จงหาผลบวกของอนุกรม

$\dfrac{1}{3!-2!-1!}+\dfrac{2}{4!-3!-2!}+\dfrac{3}{5!-4!-3!}+\cdots$

$3/4$ รึเปล่าครับ

[Pitchayut]

รู้สึก Fail อย่างรุนแรงกับโจทย์ที่ออก เพราะกะจะให้เป็นโจทย์ telescopic แต่นึกไม่ถึงว่า nooonuii จะมีสูตร check ส่วนข้อ 36 ไม่ยาก วิธีทำคร่าวๆ คือ

$\dfrac{n}{(n+2)!-(n+1)!-n!}=\dfrac{n}{n!(n^2+2n)}=\dfrac{1}{(n+2)n!}=\dfrac{n+1}{(n+2)!}=\dfrac{n+2}{(n+2)!}-\dfrac{1}{(n+2)!}=\dfrac{1}{(n+1)!}-\dfrac{1}{(n+2)!}$

ที่เหลือก็ telescopic ง่ายๆ ซึ่งจะได้ว่าอนุกรมที่ต้องการมีค่าเท่ากับ

$\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{3!}-\dfrac{1}{4!}+\dfrac{1}{4!}-\dfrac{1}{5!}+...=\dfrac{1}{2}$

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

#140 โอ๊ะ ลืมเลย มัวไปใส่ถั่วงอก (แถมผิดอีกนะ 5555)

[Pitchayut]

คราวนี้จะไม่ปล่อยให้ nooonuii ใช้สูตรอีกต่อไป

37. จงหาค่าของ $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{12n^2+44n+48}{n^4+12n^3+44n^2+48n}}$ (ปรับมาจากข้อ 35. ให้มันลู่เข้า)

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut

37. จงหาค่าของ $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{12n^2+44n+48}{n^4+12n^3+44n^2+48n}}$

ให้ $a_n = \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{2(n+2)}+\dfrac{1}{2(n+3)}+\dfrac{9}{2(n+4)}+\dfrac{9}{2(n+5)}$

จะได้ว่า $a_n-a_{n+1}=\dfrac{12n^2+44n+48}{n^4+12n^3+44n^2+48n}$

ดังนั้น $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{12n^2+44n+48}{n^4+12n^3+44n^2+48n}}=a_1=\dfrac{413}{120}$

[nooonuii]

38. จงหาผลบวกของ $\dfrac{1}{1!}+\dfrac{3}{2!}+\dfrac{5}{3!}+\dfrac{7}{4!}+\cdots$

[จูกัดเหลียง]

$1+e$ ป่าวครับ

[Pitchayut]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

38. จงหาผลบวกของ $\dfrac{1}{1!}+\dfrac{3}{2!}+\dfrac{5}{3!}+\dfrac{7}{4!}+\cdots$

ให้ $a_n =\dfrac{2n}{n!}=\dfrac{2}{(n-1)!}$

และ $b_n=\dfrac{1}{n!}$

จะได้ว่า $a_n - b_n=\dfrac{2n-1}{n!}$ ซึ่งก็คือพจน์ที่ $n$ ของอนุกรมที่ต้องการ

แต่ว่า $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n =2\cdot\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(n-1)!}}=2e$

และ $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}b_n =\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n!}}=e-1$

ดังนั้นอนุกรมที่ต้องการมีค่าเท่ากับ $2e-(e-1)=e+1$ ซึ่งคุณจูกัดเหลียงตอบเอาไว้ถูกครับ ส่วนใครจะได้ตั้งคำถามขอให้เป็นดุลยพินิจของคุณ nooonuii ก็แล้วกันครับ

[nooonuii]

ใครก็ได้ครับ เชิญตั้งได้เลย

[Beatmania]

ขอลองเล่นลำดับบ้างแล้วกันนะครับ

จงพิจารณาว่าอนุกรมอนันต์ต่อไปนี้ลู่เข้าหรือลู่ออก

$$\sum_{n = 1}^{\infty} [\sqrt[n]{2} -1]$$

ปล. $[x]$ คือวงเล็บเฉยๆครับ ไม่มีอะไรแอบแฝง

[Pitchayut]

สัญลักษณ์ $\left[x\,\right]$ นี่คืออะไรครับ

[Pitchayut]

คิดมือไม่ออก แต่ใช้ wolfram alpha ทำ integral test ให้บวกกับหาลิมิตด้วยมือเอง จะพบว่าลู่ออก โดยจากการให้ wolfram alpha อินทิเกรตให้ จะได้ว่า
$$\int(\sqrt[x]{2}-1) \,dx =x (\sqrt[x]{2}-1) -\log 2 \cdot\rm{Ei} \left(\frac{\log 2}{x}\,\right) +C$$

เมื่อ $\rm{Ei}(x)$ คือ Exponential Integral Function

จากกราฟของ $\rm{Ei} (x)$ เราจะพบว่า $\displaystyle{\lim_{x\to 0}\rm{Ei}(x)=-\infty}$

ดังนั้น $\displaystyle{\lim_{x\to \infty}\left(\log 2 \cdot\rm{Ei} \left(\frac{\log 2}{x}\,\right)\,\right) =\infty}$

นั่นคือพจน์ขวาของอินทิกรัลลู่ออก และจาก $\displaystyle{\lim_{x\to \infty}x (\sqrt[x]{2}-1)=0}$

ดังนั้น $x (\sqrt[x]{2}-1) -\log 2 \cdot\rm{Ei} \left(\frac{\log 2}{x}\,\right)$ เป็นลำดับลู่ออก นั่นคือ $\displaystyle{\sum_{n = 1}^{\infty} [\sqrt[n]{2} -1]}$ ลู่ออกโดย integral test (ผมใช้อาวุธหนักเกินจนแบกไม่ขึ้น )