ช่วยพิสูจนหรือแนะแนวทางทีครับ

[Rossix]

$วงรีตามแกน x ที่มีความยาวแกนเอกและแกนโทเท่ากับ 2a,2b หน่วยตามลำดับ$
$จงแสดงว่า พื้นที่วงรี เท่ากับ \pi ab ตารางหน่วย$


$ผมได้อินทิกรัลชุดนี้มา แล้วยังทำวิธีเปลี่ยนเป็นฟังก์ชั่นตรีโกณไม่คล่องอะครับ ช่วยที$

$A=4 \int_{0}^{a}\sqrt{b^2-\frac{(xb)^2}{a^2} } dx $

[owlpenguin]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Rossix

วงรีตามแกน $x$ ที่มีความยาวแกนเอกและแกนโทเท่ากับ $2a,2b$ หน่วยตามลำดับ
จงแสดงว่า พื้นที่วงรี เท่ากับ $\pi ab$ ตารางหน่วย


ผมได้อินทิกรัลชุดนี้มา แล้วยังทำวิธีเปลี่ยนเป็นฟังก์ชั่นตรีโกณไม่คล่องอะครับ ช่วยที

$A=4 \int_{0}^{a}\sqrt{b^2-\frac{(xb)^2}{a^2} } dx $

$\displaystyle A=4 \int_{0}^{a}\sqrt{b^2-\frac{(bx)^2}{a^2} } dx $
$\displaystyle =\frac{4b}{a} \int_{0}^{a}\sqrt{a^2-x^2} dx $
แทน $x=a\sin{\theta}\rightarrow dx=a\cos{\theta}d\theta$
$\therefore\displaystyle \frac{4b}{a} \int_{0}^{a}\sqrt{a^2-x^2} dx $
$\displaystyle = \frac{4b}{a} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}a\cos{\theta}a\cos{\theta}d\theta$
$\displaystyle= 4ab \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2{\theta}d\theta$
$\displaystyle=4ab \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\cos{2\theta}}{2}d\theta$
$\displaystyle=4ab\left|\frac{\theta}{2}-\frac{\sin{2\theta}}{4}\right|_{0}^{\frac{\pi}{2}}$
$=\pi ab$ ตามต้องการครับ