เตรียมสอบ สพฐ. 2555 เรื่องการเดินทาง

[gon]

หัวข้อนี้ผมจะเลือกโจทย์ที่คิดว่าน่าสนใจ เกี่ยวกับเรื่องการเดินทาง ซึ่งมีสูตรพื้นฐานคือ

ระยะทาง = อัตราเร็ว $\times$ เวลา

เพื่อใช้เตรียมสอบทุกรอบของ สพฐ.นะครับ (รอบแรก 29 ม.ค. รอบที่สอง 4 มีนาคม) ท่านใดถ้าสนใจคิดอย่างเดียวหรือเฉลยด้วยก็แล้วสะดวก หรือถ้าคิดว่ามีโจทย์ที่น่าสนใจก็นำมาลงนะครับ

เน้นว่าโจทย์ที่ท่านคิดว่าน่าสนใจจริง ๆ นะครับ โจทย์แบบง่ายเกินไป ก็น่าจะผ่านไปดีกว่า เพราะคนอื่นก็คงทำได้แน่ ๆ อยู่แล้ว เริ่มเลยแล้วกันครับ.

1. มานีขี่จักรยานจากบ้านของเธอไปยังตลาดในเมืองแล้วก็ขี่กลับบ้าน ในขณะที่มานะพี่ชายของเธอขี่จักรยานจากตลาดในเมืองกลับไปยังบ้านของเขาและก็ขี่กลับไปยังตลาด พี่น้องทั้งสองคนต่างก็ขี่จักรยานด้วยอัตราเร็วคงที่ (แต่ไม่จำเป็นต้องมีอัตราเร็วเท่ากัน) พี่น้องทั้งสองเริ่มต้นออกเดินทางพร้อมกันและพบกันครั้งแรกที่ระยะห่าง 7 กิโลเมตรจากตลาด จากนั้นก็เดินทางต่อไปโดยไม่ได้หยุด และเมื่อถึงปลายทางแล้วก็เดินทางย้อนกลับทันทีโดยไม่เสียเวลาหยุดพักแต่อย่างใด ถ้าพี่น้องทั้งสองพบกันครั้งที่สองที่ระยะห่าง 4 กิโลเมตรจากบ้าน จงหาว่าบ้านและตลาดในเมืองอยู่ห่างกันกี่กิโลเมตร.

[วะฮ่ะฮ่า03]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

หัวข้อนี้ผมจะเลือกโจทย์ที่คิดว่าน่าสนใจ เกี่ยวกับเรื่องการเดินทาง ซึ่งมีสูตรพื้นฐานคือ

ระยะทาง = อัตราเร็ว $\times$ เวลา

เพื่อใช้เตรียมสอบทุกรอบของ สพฐ.นะครับ (รอบแรก 29 ม.ค. รอบที่สอง 4 มีนาคม) ท่านใดถ้าสนใจคิดอย่างเดียวหรือเฉลยด้วยก็แล้วสะดวก หรือถ้าคิดว่ามีโจทย์ที่น่าสนใจก็นำมาลงนะครับ

เน้นว่าโจทย์ที่ท่านคิดว่าน่าสนใจจริง ๆ นะครับ โจทย์แบบง่ายเกินไป ก็น่าจะผ่านไปดีกว่า เพราะคนอื่นก็คงทำได้แน่ ๆ อยู่แล้ว เริ่มเลยแล้วกันครับ.

ให้ มานีความเร็ว v พี่ความเร็ว u ระยะทางทั้งหมด s
จาก s=vt ;
การพบกันครั้งแรก(t เท่ากัน) : มานี s-7=vt
พี่ 7=ut
$สมการมานีหารสมการพี่ ; \frac{v}{u} =\frac{s-7}{7}$
การพบกันครั้งที่สอง(Tเท่ากัน) : มานี 7+(s-4)=vT
พี่ (s-4)+7=uT
$สมการมานีหารสมการพี่ ; \frac{v}{u} = \frac{s+3}{s-3} $
$พบครั้งแรก=พบครั้งสอง ; \frac{s-7}{7} = \frac{s+3}{s-3}$
(s-3)(s-7) = (s+3)(7) แก้สมการได้
$s=0,17 แต่ระยะทาง\geqslant 11 ดังนั้นs=17$

[gon]

ถูกต้องนะครับ

มาดูปัญหาข้อต่อไป

2. มานีและชูใจกำลังขี่จักรยานบนถนนรูปวงกลมวงหนึ่ง คนทั้งสองเริ่มต้นที่จุดปลายทั้งสองของเส้นผ่านศูนย์กลางของถนนรูปวงกลมเส้นนั้น โดยเริ่มต้นขี่ ณ เวลาเดียวกัน และหลังจากที่เริ่มขี่แล้วอัตราเร็วของการขี่ก็จะคงตัวไม่เปลี่ยนแปลง ถ้าคนทั้งสองขี่จักรยานในทิศทวนเข็มนาฬิกาแล้วจะเจอกันเมื่อเวลาผ่านไป 80 นาที แต่ถ้าชูใจขี่ในทิศทวนเข็มนาฬิกา ในขณะที่มานีขี่ในทิศตามเข็มนาฬิกาแล้วจะเจอกันเมื่อเวลาผ่านไป 10 นาที กำหนดให้อัตราเร็วในการขี่จักรยานของชูใจกับมานีเท่ากับ 36 กิโลเมตรต่อชั่วโมง และ x กิโลเมตรต่อชั่วโมง ตามลำดับ และชูใจขี่เร็วกว่ามานี จงหาค่า x

[yellow]

ขอเสนอวิธีคิดอีกวิธีนึง

1)

ให้ระยะทางจากบ้านไปตลาด = s กม.

เจอกันครั้งแรก พี่เดินไป 7 กม. น้องเดินได้ s - 7 กม.

เจอกันครั้งสอง พี่เดินไปอีก s - 3 กม. ( s - 7 + 4 ) น้องเดินไปอีก s + 3 กม. ( 7 + s - 4 )

- เทียบปัญญัติไตรยางศ์

พี่เดินได้ 7 กม. น้องเดินได้ s - 7 กม.

พี่เดินได้ s - 3 กม. น้องเดินได้ $\frac{s-7}{7} \times (s-3)$ กม.

- สมการ

$\frac{s-7}{7} \times (s-3) = s + 3$

$s^2 - 10s + 21 = 7s + 21$

$s^2 - 17s = 0$

$s (s-17) = 0$

$s = 0$ หรือ $s = 17$ กม.

ดังนั้นระยะทางคือ 17 กม.

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

มาดูปัญหาข้อต่อไป

2. มานีและชูใจกำลังขี่จักรยานบนถนนรูปวงกลมวงหนึ่ง คนทั้งสองเริ่มต้นที่จุดปลายทั้งสองของเส้นผ่านศูนย์กลางของถนนรูปวงกลมเส้นนั้น โดยเริ่มต้นขี่ ณ เวลาเดียวกัน และหลังจากที่เริ่มขี่แล้วอัตราเร็วของการขี่ก็จะคงตัวไม่เปลี่ยนแปลง ถ้าคนทั้งสองขี่จักรยานในทิศทวนเข็มนาฬิกาแล้วจะเจอกันเมื่อเวลาผ่านไป 80 นาที แต่ถ้าชูใจขี่ในทิศทวนเข็มนาฬิกา ในขณะที่มานีขี่ในทิศตามเข็มนาฬิกาแล้วจะเจอกันเมื่อเวลาผ่านไป 10 นาที กำหนดให้อัตราเร็วในการขี่จักรยานของชูใจกับมานีเท่ากับ 36 กิโลเมตรต่อชั่วโมง และ x กิโลเมตรต่อชั่วโมง ตามลำดับ และชูใจขี่เร็วกว่ามานี จงหาค่า x

แต่ถ้าชูใจขี่ในทิศทวนเข็มนาฬิกา ในขณะที่มานีขี่ในทิศตามเข็มนาฬิกาแล้วจะเจอกันเมื่อเวลาผ่านไป 10 นาที

แปลว่า ตอนเจอกัน ชูใจได้ระยะทาง 6 กิโลเมตร และมานีได้ระยะทาง $\frac{x}{6} \ $ กิโลเมตร

(ชูใจกับมานีอยู่ห่างกัน $ 6 + \frac{x}{6} \ $ กิโลเมตร)

ถ้าคนทั้งสองขี่จักรยานในทิศทวนเข็มนาฬิกาแล้วจะเจอกันเมื่อเวลาผ่านไป 80 นาที

ตอนออก มานีอยู่หน้าชูใจอยู่ $ 6 + \frac{x}{6} \ $ กิโลเมตร

60 นาที ชูใจขี่ได้มากกว่ามานี 36 - x กิโลเมตร

เวลา 80 นาที ชูใจขี่ได้มากกว่ามานี $ \frac{(36 - x)}{60} \times 80 $ กิโลเมตร

จะได้ $ \frac{(36 - x)}{60} \times 80 = 6 + \frac{x}{6} $

$x = 28 $

[puppuff]

ผมมีอีกวิธีหนึ่งครับ. ไม่ทราบว่าคิดถูกหรือเปล่านะครับ ผมคิดว่าง่ายกว่าโดยการใช้สูตรดังนี้ครับ.
การที่เคลื่อนที่ไปในทิศทางเดียวกันความเร็วจะเอามาลบกัน
การที่เคลื่อนที่คนละทิศทางความเร็วจะเอามาบวกกัน
คิดจากระยะทาง

80(36-x)=10(36-x)
2880-80x=360+10x
2520=90x
x=28

ผมเรียนอยู่ ป.4 คิดวิธีนี้ไม่ทราบว่าถูกต้องมั๊ยครับทุกท่านช่วยติชม ด้วยครับขอบคุณครับ (ปุ๊บปั๊บครับ)

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ puppuff

ผมมีอีกวิธีหนึ่งครับ. ไม่ทราบว่าคิดถูกหรือเปล่านะครับ ผมคิดว่าง่ายกว่าโดยการใช้สูตรดังนี้ครับ.
การที่เคลื่อนที่ไปในทิศทางเดียวกันความเร็วจะเอามาลบกัน
การที่เคลื่อนที่คนละทิศทางความเร็วจะเอามาบวกกัน
คิดจากระยะทาง

$80(36-x)=10(36+x)$
$2880-80x=360+10x$
$2520=90x$
$x=28$

ผมเรียนอยู่ ป.4 คิดวิธีนี้ไม่ทราบว่าถูกต้องมั๊ยครับทุกท่านช่วยติชม ด้วยครับขอบคุณครับ (ปุ๊บปั๊บครับ)

ยอดเยี่ยมมากครับ สมการข้อ 2. นี้วิธีคิดของผมจะคล้าย ๆ กับของคุณ Banker.

ข้อต่อไปนี้จัดว่าไม่ยาก แต่วัตถุประสงค์คือต้องการวัดแนวคิดพื้นฐานที่ถูกต้องเท่านั้นครับ.

3. ปิติขี่จักรยานมาได้ครึ่งทาง เขาพบว่าอัตราเร็วในการขี่ครึ่งทางแรกนี้เท่ากับ 30 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ถ้าปิติต้องการให้อัตราเร็วตลอดระยะทางทั้งหมดของเส้นทางมีค่าเท่ากับ 40 กิโลเมตรต่อชั่วโมง เขาจะต้องขี่ในครึ่งทางหลังนี้ด้วยอัตราเร็วกี่กิโลเมตรต่อชั่วโมง (สมมติว่าปิติขี่ด้วยอัตราเร็วคงที่ในครึ่งทางแรกและในครึ่งทางหลัง)

[polsk133]

3.คิดว่าคงต้องแทน เวลาช่วงแรกเป็นอะไรก็ได้ไปเลย

[banker]

3. ปิติขี่จักรยานมาได้ครึ่งทาง เขาพบว่าอัตราเร็วในการขี่ครึ่งทางแรกนี้เท่ากับ 30 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ถ้าปิติต้องการให้อัตราเร็วตลอดระยะทางทั้งหมดของเส้นทางมีค่าเท่ากับ 40 กิโลเมตรต่อชั่วโมง เขาจะต้องขี่ในครึ่งทางหลังนี้ด้วยอัตราเร็วกี่กิโลเมตรต่อชั่วโมง (สมมติว่าปิติขี่ด้วยอัตราเร็วคงที่ในครึ่งทางแรกและในครึ่งทางหลัง)

ระดับประถม ถ้าเราไม่สมมุติตัวแปร เราก็สมมุติตัวเลขต่างๆไปเลย

สมมุติระยะทาง 240 กิโลเมตร เพื่อหารลงตัว

240 กิโลเมตร เวลาเฉลี่ยเท่ากับ $\frac{240}{40} = 6 $ ชั่วโมง

ครึ่งทางแรก 120 กิโลเมตร วิ่ง 30 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ใช้เวลาไป 4 ชั่วโมง

เหลือระยะทาง 120 กิโลเมตร ซึ่งมีเวลา 2 ชั่วโมง

จึงต้องวิ่งด้วยความเร็ว $\frac{120}{2} = 60 $ กิโลเมตรต่อชั่วโมง

[yellow]

3)

$\frac{s}{40} = \frac{s}{2 \times 30} + \frac{s}{2v}$

$\frac{1}{40} = \frac{1}{2 \times 30} + \frac{1}{2v}$

$\frac{1}{120} = \frac{1}{2v}$

$60 = v$



ข้อนี้คุณ gon คงหมายความว่า คนส่วนหนึ่งอาจจะคิดว่า เต็มระยะทางใช้ความเร็ว 40 km/h ถ้าครึ่งทางแรกวิ่งได้ 30 km/h ครึ่งทางหลังจึงควรวิ่งด้วยความเร็ว 50 km/h เพราะ $\frac{30+50}{2} = 40$ ซึ่งมันคิดแบบนี้ไม่ได้

[computer]

คิดอย่างนี้ได้รึเปล่าคะ
สมมติว่าครึ่งทางแรกขี่ไป60km 120นาที อีกครึ่งทางก็ต้องขี่ไปอีก60km
จะได้ อัตราเร็วระยะทางทั้งหมด 120km/x min.= 40km/60 min. x=180 นาที (x=เวลาที่ใช้ไปทั้งหมด)
ครึ่งแรกขี่ไปแล้ว120นาที ที่เหลือต้องขี่180-120=60นาที 60km

ตอบ 60km

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ yellow

3
ข้อนี้คุณ gon คงหมายความว่า คนส่วนหนึ่งอาจจะคิดว่า เต็มระยะทางใช้ความเร็ว 40 km/h ถ้าครึ่งทางแรกวิ่งได้ 30 km/h ครึ่งทางหลังจึงควรวิ่งด้วยความเร็ว 50 km/h เพราะ $\frac{30+50}{2} = 40$ ซึ่งมันคิดแบบนี้ไม่ได้

ใช่แล้วครับ ผมตั้งใจแบบนั้น

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ computer

คิดอย่างนี้ได้รึเปล่าคะ
สมมติว่าครึ่งทางแรกขี่ไป60km 120นาที อีกครึ่งทางก็ต้องขี่ไปอีก60km
จะได้ อัตราเร็วระยะทางทั้งหมด 120km/x min.= 40km/60 min. x=180 นาที (x=เวลาที่ใช้ไปทั้งหมด)
ครึ่งแรกขี่ไปแล้ว120นาที ที่เหลือต้องขี่180-120=60นาที 60km

ตอบ 60km

ก็พอได้ครับ แต่ตอนท้าย ถ้าจะใส่หน่วย ต้องตอบว่า 60 km/hr นะครับ

ปล. จะสังเกตเห็นว่า ผมตั้งใจไม่ให้ปิติขี่เจ้าแก่ไปกลับนะครับ เพราะมันจะไม่ไหวเอา

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ yellow

3)

ข้อนี้คุณ gon คงหมายความว่า คนส่วนหนึ่งอาจจะคิดว่า เต็มระยะทางใช้ความเร็ว 40 km/h ถ้าครึ่งทางแรกวิ่งได้ 30 km/h ครึ่งทางหลังจึงควรวิ่งด้วยความเร็ว 50 km/h เพราะ $\frac{30+50}{2} = 40$ ซึ่งมันคิดแบบนี้ไม่ได้

เพียงจะบอกว่าโดยปกติแล้ว เวลาเราเรียนหาค่าเฉลี่ย เรามักจะรู้ว่ามีค่าเฉลี่ยอยู่ 3 ชนิดด้วยกันคือ AM. GM. และ HM. และก็รู้ความสัมพันธ์แต่ละอย่างว่า $AM.\geqslant GM. \geqslant HM.$ แต่จะรู้มั้ยว่าเมื่อไรจะใช้ค่าเฉลี่ยแบบไหน มีจำนวนไม่น้อยที่ยังใช้ไม่เป็น อย่างกรณีนี้ถ้าใช้เป็นก็จะใช้ค่าเฉลี่ย HM. ซึ่งสามารถคำนวณได้ว่า

$\frac{\frac{1}{30}+\frac{1}{v} }{2} =\frac{1}{40} $ ก็จะแก้สมการหาค่า v ได้