Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์ทั่วไป > บทความคณิตศาสตร์ทั่วไป
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 02 กุมภาพันธ์ 2008, 20:50
TOP's Avatar
TOP TOP ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 27 มีนาคม 2001
ข้อความ: 1,003
TOP is on a distinguished road
Smile Newton's Relation

ดูเหมือนห้องนี้จะมีหัวข้อน้อยที่สุดนะครับ

เพื่อให้ห้องนี้ไม่ดูร้างจนเกินไป ผมจึงนำบทความเก่าที่เคยเขียนไว้ในเสริมประสบการณ์คณิตศาสตร์ มาแยกส่วนเป็นหลายบทความ พร้อมกับแก้ไขข้อผิดพลาด วางไว้ในเว็บบอร์ดเพื่อให้สมาชิกทุกท่าน ได้ซักถามกันเองถึงข้อสงสัยต่างๆ

บทความนี้เป็นการแก้ไขที่ผิด และปรับปรุงส่วนหนึ่งของบทความ เสริมประสบการณ์คณิตศาสตร์เรื่อง อนุกรมฮาร์มอนิก

เคยเจอคำถามลักษณะนี้ไหมครับ

กำหนดให้
$\begin{array}{rcl}
x + y + z & = & 1 \\
x^2 + y^2 + z^2 & = & 2 \textrm{ และ } \\
x^3 + y^3 + z^3 & = & 3
\end{array}$
จงหาค่าของ $x^4 + y^4 + z^4$

หากใครมีพลังยุทธพอ น่าจะมองออกว่า
$x^2 + y^2 + z^2 = (x + y + z)^2 - 2(xy + xz +yz)$
$x^3 + y^3 + z^3 = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2) - (xy + xz + yz)(x + y + z) + 3xyz$
$x^4 + y^4 + z^4 = (x + y + z)(x^3 + y^3 + z^3) - (xy + xz + yz)(x^2 + y^2 + z^2) + (xyz)(x + y + z)$
จากนั้นก็ไล่แทนค่า หาค่า $xy + xz + yz , xyz$ ออกมา เพื่อใช้หา $x^4 + y^4 + z^4$

แต่ถ้าโจทย์เขาถามถึง $x^{10} + y^{10} + z^{10}$ ละ ยังจะมีพลังยุทธพอที่จะกระจายเทอมต่างๆออกมาอีกไหม หากใครทำไม่ได้ หรือต้องการรู้รูปแบบการกระจายเทอมต่างๆออกมา บทความนี้ช่วยท่านได้

Newton's Relation

Newton's Relation หรือบางที่เรียกว่า Newton's Formula ดูจากชื่อคงรู้นะครับว่าใครเป็นคนคิด เป็นความสัมพันธ์แสดงความเชื่อมโยงระหว่าง ฟังก์ชันสมมาตรของรากคำตอบของสมการพหุนามใดๆ $f(S_k,P_k)$

ต่อจากนี้ไปจะเป็นการอธิบายถึงความสัมพันธ์ต่างๆ หากใครไม่อยากอ่านที่มาละก็ ลองอ่านข้อกำหนดแล้วข้ามไปดูสรุปและตัวอย่างการใช้งานได้ครับ

กำหนดให้ $a_1 , a_2 , a_3 , \ldots , a_n \in \mathbb{R}$
\[\begin{array}{rcl}
S_k & = & \textrm{ ผลรวมของผลคูณของ } a_k \textrm{ จำนวน } k \textrm{ เทอม } \\
& = & \sum {\underbrace{a_{\alpha} a_{\beta} a_{\gamma} \cdots}_{k\ \textrm{เทอม}}},\, \alpha \not= \beta \not= \gamma \not= \cdots \\
P_k & = & a_1^k + a_2^k + \cdots + a_n^k
\end{array}\]
จากข้อกำหนดดังกล่าว จึงได้ $S_0 = 1$ และ $P_0 = n$
พิจารณา
\[\displaystyle{\begin{array}{rcl}
& & (1+a_1 x)(1+a_2 x)\cdots(1+a_n x) \\
& = & 1 + (a_1+a_2+\cdots+a_n)x + (a_1a_2+a_1a_3+\cdots+a_{n-1}a_n)x^2 + \cdots \\
& & + (a_1a_2\cdots a_n)x^n \\
& = & S_0 + S_1x + S_2x^2 + \cdots + S_nx^n
\end{array}}\]
และ
\[\displaystyle{\begin{array}{rcl}
& & \displaystyle{\frac{1}{1+a_1x} + \frac{1}{1+a_2x} + \cdots + \frac{1}{1+a_nx}} \\
& = & (1 - a_1x + a_1^2x^2 - \cdots) + (1 - a_2x + a_2^2x^2 - \cdots) + \cdots \\
& & + (1 - a_nx + a_n^2x^2 - \cdots) \\
& = & P_0 - P_1x + P_2x^2 - P_3x^3 + \cdots
\end{array}}\]
จะพบว่า
\[\begin{array}{rcl}
& & \displaystyle{\left[\frac{1}{1+a_1x} + \frac{1}{1+a_2x} + \cdots + \frac{1}{1+a_nx}\right]\left[(1+a_1 x)(1+a_2 x)\cdots(1+a_n x)\right]} \\
& = & (n - P_1x + P_2x^2 - P_3x^3 + \cdots)(1 + S_1x + S_2x^2 + \cdots + S_nx^n) \\
& = & n + (nS_1-P_1)x + (nS_2-S_1P_1+P_2)x^2 +(nS_3-S_2P_1+S_1P_2-P_3)x^3 + \cdots \\
& & + (nS_n - S_{n-1}P_1 + S_{n-2}P_2 - \cdots + (-1)^n P_n)x^n
\end{array}\]
นอกจากนี้ เราอาจมองผลลัพธ์ได้อีกแบบ โดยลองคูณกระจาย
\[\begin{array}{rcl}
& & \displaystyle{\left[\frac{1}{1+a_1x} + \frac{1}{1+a_2x} + \cdots + \frac{1}{1+a_nx}\right]\left[(1+a_1 x)(1+a_2 x)\cdots(1+a_n x)\right]} \\
& = & [(1+a_2 x)(1+a_3 x)\cdots(1+a_n x)] + [(1+a_1 x)(1+a_3 x)\cdots(1+a_n x)] + \cdots \\
& & + [(1+a_1 x)(1+a_2 x)\cdots(1+a_{n-1} x)]
\end{array}\]
และสังเกตบางเทอมของ $x$ ยกตัวอย่างเช่น $a_1x$ จะพบว่ามีจำนวนเทอมที่ปรากฏเท่ากับจำนวนเทอมของ $a_2x$ และจะเท่ากับจำนวนเทอมที่ปรากฏของ $a_kx$ ใดๆด้วย ทำให้สัมประสิทธิ์ของ $x$ สุดท้ายจริงๆมีค่าเป็น $m(a_1+a_2+\cdots+a_n)x = mS_1x$ หรือเป็นจำนวนเท่าที่เป็นจำนวนเต็มของ $S_1$ สิ่งนี้จะยังคงเป็นจริงสำหรับการสังเกตสัมประสิทธิ์ของ $x^k$ ใดๆด้วย(เพราะมันมีความสมมาตรปรากฏอยู่) และเราจะพบว่ามันมีจำนวนเทอมที่เท่ากันเป็นจำนวน $n-k$ เทอมเสมอ ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ของ $x^k$ จึงเป็น $(n-k)S_k$ นั่นเอง นั่นคือ
\[\begin{array}{rcl}
& & \displaystyle{\left[\frac{1}{1+a_1x} + \frac{1}{1+a_2x} + \cdots + \frac{1}{1+a_nx}\right]\left[(1+a_1 x)(1+a_2 x)\cdots(1+a_n x)\right]} \\
& = & [(1+a_2 x)(1+a_3 x)\cdots(1+a_n x)] + [(1+a_1 x)(1+a_3 x)\cdots(1+a_n x)] + \cdots \\
& & + [(1+a_1 x)(1+a_2 x)\cdots(1+a_{n-1} x)] \\
& = & n + (n-1)S_1x + (n-2)S_2x^2 + \cdots + S_{n-1} x^{n-1}
\end{array}\]
โดยการเทียบสัมประสิทธิ์จะได้
\[\begin{array}{rcl}
nS_1 - P_1 & = & (n-1)S_1 \\
nS_2 - S_1P_1 + P_2 & = & (n-2)S_2 \\
nS_3 - S_2P_1 + S_1P_2 - P_3 & = & (n-3)S_3 \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots & \cdots & \cdots \cdots \cdots \\
nS_{n-1} - S_{n-2}P_1 + S_{n-3}P_2 - \cdots + (-1)^{n-1}P_{n-1} & = & (n - (n-1)) S_{n-1} \\
nS_n - S_{n-1}P_1 + S_{n-2}P_2 - \cdots + (-1)^n P_n & = & 0
\end{array}\]
หรือ
\[\begin{array}{rcl}
P_1 & = & S_1 \\
P_2 & = & S_1P_1 - 2 S_2 \\
P_3 & = & S_1P_2 - S_2P_1 + 3 S_3 \\
\cdots & \cdots & \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
P_{n-1} & = & S_1P_{n-2} - S_2P_{n-3} + \cdots + (-1)^{(n-2) + 1}S_{n-2}P_{1} + (-1)^{(n-1) + 1}(n-1)S_{n-1} \\
P_n & = & S_1P_{n-1} - S_2P_{n-2} + \cdots + (-1)^{(n-1)+1}S_{n-1}P_{1} + (-1)^{n+1} n S_n
\end{array}\]
เป็น Newton's Relation ใช้ความสัมพันธ์เวียนบังเกิดในการหาค่า $P_m$ หรือ $S_m$ เมื่อ $m \leqslant n$

สำหรับการหาค่า $P_m$ เมื่อ $m > n$ จะใช้เทคนิคดังนี้

เนื่องจาก $a_1 , a_2 , a_3 , \ldots , a_n$ เป็นรากคำตอบของสมการ

$x^n - S_1x^{n-1} + S_2x^{n-2} - \cdots + (-1)^n S_n = 0$

คูณทั้งสองข้างด้วย $x^m$ จะได้

$x^{m+n} - S_1x^{m+n-1} + S_2x^{m+n-2} - \cdots + (-1)^n S_nx^m = 0$

แทนค่า $x$ ด้วย $a_1 , a_2 , a_3 , \ldots , a_n$ แล้วจับมารวมกันทั้งหมด จะได้

$P_{m+n} - S_1P_{m+n-1} + S_2 P_{m+n-2} - \cdots + (-1)^nS_nP_m = 0$

นั่นคือ $P_{m+n} = S_1P_{m+n-1} - S_2 P_{m+n-2} + \cdots + (-1)^{n+1} S_nP_m$ หรือเขียนในรูปทั่วไปเป็น $P_m = S_1P_{m-1} - S_2P_{m-2} + \cdots + (-1)^{n+1} S_nP_{m-n}$ เมื่อ $m \geqslant n$

สรุป

$P_m = \begin{cases}
\left(\overbrace{S_1P_{m-1} - S_2P_{m-2} + \cdots + (-1)^{(m-1)+1}S_{m-1}P_{1}}^{m-1\ \textrm{เทอม}} \right) + (-1)^{m+1} m S_{m} & \textrm{ เมื่อ }m \leqslant n \\
\overbrace{S_1P_{m-1} - S_2P_{m-2} + \cdots + (-1)^{n+1} S_nP_{m-n}}^{n\ \textrm{เทอม}} & \textrm{ เมื่อ }m > n
\end{cases}$
หรือ
\[P_m = \begin{cases}
\displaystyle{\sum_{i = 1}^{m - 1}(-1)^{i+1}S_i P_{m-i} + (-1)^{m+1} m S_m} & \textrm{ เมื่อ }m \leqslant n \\
\displaystyle{\sum_{i = 1}^{n} (-1)^{i+1} S_i P_{m-i}} & \textrm{ เมื่อ }m > n
\end{cases}\]


ตัวอย่าง 1
ถ้า
$\begin{array}{rcl}
x + y + z & = & 1 \\
x^2 + y^2 + z^2 & = & 2 \textrm{ และ } \\
x^3 + y^3 + z^3 & = & 3
\end{array}$
จงหาค่าของ $x^4 + y^4 + z^4$


ตัวอย่าง 2
กำหนด $a, b, c$ เป็นจำนวนจริงและ $a , b , c \not= 0$
ถ้า $a + b + c = 0$ และ $a^5 + b^5 + c^5 = a^3 + b^3 + c^3$
จงหาค่าของ $a^2 + b^2 +c^2$


แบบฝึกหัดประยุกต์
  1. จงหาค่า $x_1^5 + x_2^5$ เมื่อ $x_1 , x_2$ เป็นรากคำตอบของสมการ $x^2 + x - 19 = 0$

  2. จงหาค่า $a \in \mathbb{R}$ ทั้งหมด ซึ่งทำให้ $(x_1 - 3)^3 + (x_2 - 3)^3 + (x_3 - 3)^3 = 0$ โดยที่ $x_1 , x_2 , x_3$ เป็นรากคำตอบของสมการ $x^3 - 6x^2 + ax +a = 0$


  3. จงหาพหนุามกำลังสอง ที่มีรากคำตอบเป็น $x_1 , x_2$ และรากคำตอบทั้งสองนั้นทำให้ $x_1 + x_2 = 1$ และ $x_1^5 + x_2^5 = 31$
__________________
The difference between school and life?
In school, you're taught a lesson and then given a test.
In life, you're given a test that teaches you a lesson.

03 กุมภาพันธ์ 2008 22:46 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TOP
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 03 กุมภาพันธ์ 2008, 19:09
kanakon's Avatar
kanakon kanakon ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 31 ตุลาคม 2006
ข้อความ: 523
kanakon is on a distinguished road
Default

ผมขอยกย่องพี่ TOP จริงๆครับที่สร้างสรรค์บทความดีๆมาให้ ผมอ่านได้ครึ่งหนึ่งแล้วครับอีกส่วนจะมาต่อให้จบ ขอบคุณครับ
__________________
ค ว า ม รั บ ผิ ด ช อ บ

$$|I-U|\rightarrow \infty $$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 28 ธันวาคม 2008, 13:30
Eacary's Avatar
Eacary Eacary ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 28 ธันวาคม 2008
ข้อความ: 35
Eacary is on a distinguished road
Send a message via MSN to Eacary
Default

ผมมาช้าไปหน่อยนะครับ แต่ยังไงก็ขอบคุณครับ
__________________
สถานะ อยู่เหนือ ความรู้สึก
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 28 ธันวาคม 2008, 18:19
[SIL]'s Avatar
[SIL] [SIL] ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 กรกฎาคม 2008
ข้อความ: 1,520
[SIL] is on a distinguished road
Default

ปริ๊นท์ไปอ่านโรงเรียนเลยก็ดีครับ ^^
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 29 ธันวาคม 2008, 19:02
Eacary's Avatar
Eacary Eacary ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 28 ธันวาคม 2008
ข้อความ: 35
Eacary is on a distinguished road
Send a message via MSN to Eacary
Default

ผมไม่ค่อยเข้าใจเท่าไหร่ครับ : ) แต่ก็จะพยายามครับ
__________________
สถานะ อยู่เหนือ ความรู้สึก
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 29 ธันวาคม 2008, 21:11
Magic Math Magic Math ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 08 มิถุนายน 2008
ข้อความ: 24
Magic Math is on a distinguished road
Default

เป็นบทความที่เยี่ยมครับ ขอบคุณมาก
__________________
Mathematics: An art with logic.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 01 มกราคม 2009, 03:19
gnopy's Avatar
gnopy gnopy ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 11 มกราคม 2006
ข้อความ: 516
gnopy is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Magic Math View Post
เป็นบทความที่เยี่ยมครับ ขอบคุณมาก
ใช่แล้วครับเป็นบทความที่เยี่ยม


นอกจากคนเขียนจะความรู้ดีแล้ว

ยังใจดีอีกด้วยครับ

ขอเป็นกำลังใจให้คนเขียน มีบทความใหม่ๆ มานำเสนอ

ตลอดทั้งปีใหม่นี้ครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 04 สิงหาคม 2012, 07:47
แม่ให้บุญมา แม่ให้บุญมา ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไว
 
วันที่สมัครสมาชิก: 09 กันยายน 2010
ข้อความ: 236
แม่ให้บุญมา is on a distinguished road
Default

ไม่ทราบว่าโจทย์ประเภท ตัวอย่างที่ 1 ที่ให้หา $x^4+y^4+z^4$ จะหาค่าของ $x,y,z$ อย่างไรครับ จะใช้การสมมุติให้เป็นรากของสมการ
$Ax^3+Bx^2+Cx+D=0$ ที่มีรากเป็นจำนวนจริง 1 ค่า และ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ที่เป็น conjugate กัน 1 คู่ คือ เช่นถ้า $x=k,y=l+im, z=l-im$ แล้วแก้สมการที่ได้จากการกระจายจากสมการเดิม $k+2m=P1=1, k^2+2(l^2+m^2)=P2=2,k^3+2m^3-6lm^2=P3=3$ ใช่ไหมครับ หรือมีวิธีอื่นที่ง่ายกว่า
__________________
ใช้เวลาว่างศึกษาคณิตเพื่อติวลูก นักเรียนศึกษานารี และทวีธาภิเศก
http://www.facebook.com/bpataralertsiri
คณิตมัธยมปลาย http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath/
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 16 ธันวาคม 2012, 14:11
Pattern&Math's Avatar
Pattern&Math Pattern&Math ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 พฤศจิกายน 2012
ข้อความ: 64
Pattern&Math is on a distinguished road
Default

เป็นบทความที่ดีมากเลยครับ ผมได้ความรู้เพิ่มขึ้นเยอะเลย ขอบคุณมากครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
Newton's method กับการแก้สมการ Prisoners' Dilemma คณิตศาสตร์อุดมศึกษา 7 18 มิถุนายน 2007 01:24

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 20:43


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha