Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์ทั่วไป > บทความคณิตศาสตร์ทั่วไป
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 04 มีนาคม 2013, 10:59
armpakorn armpakorn ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 ตุลาคม 2011
ข้อความ: 61
armpakorn is on a distinguished road
Default รูปทั่วไปของ Partition Function

Partition Function คือฟังก์ชัน $p(n)$ สำหรับ $n \in I^+$ นิยามดังนี้
$p(n) = จำนวนวิธีในการเขียนการบวกกันของจำนวนเต็มที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ n และผลบวกนั้นเท่ากับ n (ไม่สนใจการสลับที่)$
(ดูรายละเอียดเพิ่มเติมที่ http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_(number_theory) ครับ)

เช่น
$p(3) = 3$ เพราะว่า $3 = 1+1+1 = 2+1 = 3$ (3 วิธี)
$p(4) = 5$ เพราะว่า $4 = 1+1+1+1 = 2+1+1 = 2+2 = 3+1 = 4$ (5 วิธี)

ผมไม่แน่ใจว่ามีใครพบรูปทั่วไปของฟังก์ชันนี้ก่อนหน้านี้หรือยัง ถ้ามีแล้วก็ขออภัยด้วยครับ

ก่อนอื่นนิยามฟังก์ชัน:
$p(n,k) = จำนวนวิธีในการเขียนการบวกกันของจำนวนเต็มที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ k และผลบวกนั้นเท่ากับ n (ไม่สนใจการสลับที่) (n, k \in I^+)$

จะเห็นว่า $p(n) = p(n,n)$

รูปทั่วไปของฟังก์ชันนี้ที่พบเป็นดังนี้ครับ

$p(n,k) = \cases{1 & เมื่อ n = 1 หรือ k = 1
\cr \sum_{i = 1}^{k} p(n - i, i) & เมื่อ 1 < k < n
\cr 1 + p(n, n - 1) & เมื่อ k \geqslant n}$

และ
$p(n) = p(n,n) = \cases{1 & เมื่อ n = 1 \cr 1 + p(n,n - 1) & เมื่อ n > 1}$

สำหรับที่มาจะเอามาแสดงในโอกาสหน้านะครับ
__________________
สี่เท้ายังรู้พลาด นักปราชญ์ยังรู้พลั้ง ขนาดออยเลอร์คนดัง ยังคาดหวังผิดไปได้ (Euler's Conjecture)

25 มีนาคม 2013 14:13 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ armpakorn
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 07 มีนาคม 2013, 21:08
lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o's Avatar
lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 16 ตุลาคม 2012
ข้อความ: 782
lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o is on a distinguished road
Default

น่าสนใจดีครับ ผมจะรออ่านต่อนะครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 25 มีนาคม 2013, 14:04
armpakorn armpakorn ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 ตุลาคม 2011
ข้อความ: 61
armpakorn is on a distinguished road
Default

ที่มาครับ


__________________
สี่เท้ายังรู้พลาด นักปราชญ์ยังรู้พลั้ง ขนาดออยเลอร์คนดัง ยังคาดหวังผิดไปได้ (Euler's Conjecture)
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 05 มิถุนายน 2013, 21:53
armpakorn armpakorn ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 ตุลาคม 2011
ข้อความ: 61
armpakorn is on a distinguished road
Default

ผมลองคิดใหม่ เปลี่ยนรูปสูตรให้ดูง่ายกว่าเดิมและเอาเงื่อนไขออก ได้สูตรนี้ครับ

$p(n) = p(n - 1, 1) + p(n - 2,2) + p(n - 3,3) + ... + p(0, n)$

และ

$p(n, k) = p(n - 1, 1) + p(n - 2,2) + p(n - 3,3) + ... + p(n - k,k) เมื่อ n,k > 0$
$p(0, k) = 1 เมื่อ k > 0$
$p(n, k) = 0 เมื่อ n < 0 หรือ k < 1$

**$n,k$ เป็นจำนวนเต็ม

อยากทราบว่า พอจะมีโอกาสที่ $p(n)$ จะมีสูตรทั่วไป ที่ไม่ติด $p(n,k)$ รึเปล่าครับ
__________________
สี่เท้ายังรู้พลาด นักปราชญ์ยังรู้พลั้ง ขนาดออยเลอร์คนดัง ยังคาดหวังผิดไปได้ (Euler's Conjecture)

05 มิถุนายน 2013 22:02 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ armpakorn
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 01 ธันวาคม 2013, 00:39
ohmohm ohmohm ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 กันยายน 2013
ข้อความ: 47
ohmohm is on a distinguished road
Default

เห็นสูตรใน Wikipedia ครับ http://en.wikipedia.org/wiki/Partiti...#Exact_formula

$p(n) = \sum_{k}^{} (-1)^{k-1} p(n - k(3k - 1)/2) $

การรวมผลบวก (ตรง k) รวมทั้งบวกและลบไปพร้อมกันในแต่ละลูปครับ ถ้าค่า n ที่จะใช้ใส่ใน p(n) เป็นลบ ก็หยุดลูป เพราะถือว่าได้ค่า 0 บวกเพิ่มเข้าไปอีกก็ไม่เพิ่มค่าขึ้นครับ
ผมลองเขียนโปรแกรมตามสูตร มันคำนวณได้ถูกครับ
หรือว่าถ้าเขียนสูตรใหม่ ก็น่าจะได้

$p(n) = \sum_{k=1}^{\infty} ((-1)^{k-1} p(n - k(3k - 1)/2)) + ((-1)^{-k - 1} p(n + k(-3k - 1)/2))$
หรือ
$p(n) = \sum_{k=1}^{\infty} ((-1)^{k-1} p(n - k(3k - 1)/2)) + ((-1)^{k+1} p(n - k(3k + 1)/2))$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 30 เมษายน 2017, 19:20
Posdoolb Posdoolb ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 30 เมษายน 2017
ข้อความ: 9
Posdoolb is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ armpakorn View Post
ผมลองคิดใหม่ เปลี่ยนรูปสูตรให้ดูง่ายกว่าเดิมและเอาเงื่อนไขออก ได้สูตรนี้ครับ

$p(n) = p(n - 1, 1) + p(n - 2,2) + p(n - 3,3) + ... + p(0, n)$

และ

$p(n, k) = p(n - 1, 1) + p(n - 2,2) + p(n - 3,3) + ... + p(n - k,k) เมื่อ n,k > 0$
$p(0, k) = 1 เมื่อ k > 0$
$p(n, k) = 0 เมื่อ n < 0 หรือ k < 1$

**$n,k$ เป็นจำนวนเต็ม

อยากทราบว่า พอจะมีโอกาสที่ $p(n)$ จะมีสูตรทั่วไป ที่ไม่ติด $p(n,k)$ รึเปล่าครับ
ผมคิดว่าเป็นไปได้ครับ เราสามารถหาสมการทั่วไป จากความสัมพันธ์ของอัตราการขยายตัวของพาร์ติชันได้ครับแต่สมการทั่วไปจะถูกแบ่งเป็นช่วงๆ โดยพิจารณาจาก Pentagonal number theorem
$\sum _{k=1}^ \frac{n}{2} \delta _k\left[\,\right. n-\left(\,\right. k-1\left.\,\right) 2\left.\,\right] $- $\sum _{k=2}^ \frac{n}{2}\delta _k$

โดยที่ $\delta _k=\delta _{k-1}+\delta _{k-2} และ \delta _1,\delta _2=1 $ นี้เป็นสำหรับสมการที่ผมเขียนขึ้นมาโดยอธิบายแนวคิดเรื่องระดับพาร์ติชันในระดับที่ 1 ซึ่ง p ในระดับนี้อยู่ที่ $1\leqslant x\leqslant 8 $ สำหรับ n ที่สูงขึ้นไป $ \geqslant 8$ สมการจะเปลี่ยนไปครับ
ปล.ปวดหัวกับ LaTex มากคับ

30 เมษายน 2017 21:55 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 5 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Posdoolb
เหตุผล: LaTex
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
รบกวนช่วยอธิบายทฤษฎีphi functionให้เข้าใจหน่อยครับ CalerGs ทฤษฎีจำนวน 7 22 มีนาคม 2012 01:17
พิสูจน์ phi function อะครับ mobbolla ทฤษฎีจำนวน 8 16 กุมภาพันธ์ 2012 22:57
ข้อสงสัย เรื่อง function ต่อเนื่อง !!!!!!!! Suwiwat B ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 3 15 ธันวาคม 2010 21:32
อยากรู้เกี่ยวกับ partition ของรามานุจัน มนุษย์เงินเดือน คอมบินาทอริก 6 08 พฤษภาคม 2008 19:27
อยากได้ที่มาของสูตรที่เป็นของ Hardy and Ramanujan เกี่ยวกับ partition number chaitung คณิตศาสตร์อุดมศึกษา 1 03 กันยายน 2006 04:49

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 17:46


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha