โจทย์ทฤษฎีจำนวนในค่ายสอวน.

[winlose]

1.จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $999999\times n=111...11$
2.ให้ $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $(a,b)=1$ จงพิสูจน์ว่า $(a+b,a^2-ab+b^2)=1$ หรือ $3$
3.ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง $a^2+b^2=c^2$ จงพิสูจน์ว่า $(a,b,c)=1$ ก็ต่อเมื่อ $(a,b)=(a,c)=(b,c)=1$

ช่วยหน่อยนะครับ

[Invariance]

1.จงหาจำนวนเต็มบวก n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ 999999×n=111...11
2.ให้ a,b เป็นจำนวนเต็มบวก และ (a,b)=1 จงพิสูจน์ว่า (a+b,a2−ab+b2)=1 หรือ 3
3.ให้ a,b,c เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง a2+b2=c2 จงพิสูจน์ว่า (a,b,c)=1 ก็ต่อเมื่อ (a,b)=(a,c)=(b,c)=1

ข้อ2
(a+b,a2−ab+b2)=(a+b,a2−ab+b2-(a+b)2)
=(a+b,-3ab) =(a+b,-3ab+(a+b(3b)) =(a+b,3b2) =1,3
ข้อ3
ขากลับ
สมมติให้มีบางค่าที่มี ห.ร.ม.ไม่เท่ากับ1
โดยไม่เสียนัยสำคัญ สมมติให้เป็น (a,b)=k ดังนั้น a=mk,b=nk for m,n\in Z
a2+b2=c2 = (mk)2+(nk)2=c2
ดังนั้น k2 หาร c2 ลงตัว

ขาไปก็คล้ายๆกัน

[POSN_Psychoror]

2. ให้ $d=(a+b,a^2-ab+b^2)$
จะได้ว่า $d|(a+b)$ และ $d|(a^2-ab+b^2)$
จาก $d|(a+b)$ ได้ว่า $d|(a^2+2ab+b^2)$
นั่นคือ $d|3ab$
จาก $d|(a+b)$ ได้ว่า $d|3a(a+b)$
นั่นคือ $d|(3a^2+3ab)$ แต่ $d|3ab$
ดังนั้น $d|3a^2$
ในทำนองเดียวกันได้ว่า $d|3b^2$ ด้วย
ดังนั้น $d|(3a^2,3b^2)$
นั่นคือ $d|3(a^2,b^2)$
แต่จาก $(a,b)=1$ $=>$ $(a,b^2)=1$ $=>$ $(a^2,b^2)=1$
จะได้ว่า $d|3$
นั่นคือ $d=1$หรือ$3$ ตามต้องการ

3. จาก $(a,b,c)=1$
$(=>)$ $((a,b),c)=1$
$(=>)$ $((a,b),c^2)=1$
$(=>)$ $((a,b)^2,c^2)=1$
$(=>)$ $((a^2,b^2),c^2)=1$
$(=>)$ $((a^2,b^2),a^2+b^2)=1$
$(=>)$ $(a^2,b^2,a^2+b^2)=1$
$(=>)$ $((a^2,a^2+b^2),b^2)=1$
$(=>)$ $((a^2,b^2),b^2)=1$
$(=>)$ $(a^2,b^2)=1$
$(=>)$ $(a,b)^2=1$
$(=>)$ $(a,b)=1$
ในทำนองเดียวกันได้ว่า $(b,c)=(a,c)=1$ ตามต้องการ

[God Phoenix]

ข้อ 3. วิธีนี้ดูแปลกดีนะครับ
แต่ก็ถูกต้องตามหลักเป๊ะๆ

[ลูกชิ้น]

ข้อ 1 นะครับ

9 * 12345679 = 111...1
99 * 11223344...7789 = 111...1
999 * 111222333...777889 = 111...1
9999 * 111122223333...77778889 = 111...1
.
.
.
999999 * 111111222222333333...777777888889 = 111...1

แต่ผมไม่แน่ใจว่าเป็นตัวที่เล็กที่สุดรึเปล่าครับ

[God Phoenix]

อ่า... ไม่ทราบว่า
โจทย์เหล่านี้ใช่ข้อสอบค่ายแรก
ของปีใดปีหนึ่งหรือไม่ครับ

[ExPloSivE]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ลูกชิ้น

ข้อ 1 นะครับ

9 * 12345679 = 111...1
99 * 11223344...7789 = 111...1
999 * 111222333...777889 = 111...1
9999 * 111122223333...77778889 = 111...1
.
.
.
999999 * 111111222222333333...777777888889 = 111...1

แต่ผมไม่แน่ใจว่าเป็นตัวที่เล็กที่สุดรึเปล่าครับ

ผมก็ได้แบบนี้ละคับ

[warutT]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ God Phoenix

อ่า... ไม่ทราบว่า
โจทย์เหล่านี้ใช่ข้อสอบค่ายแรก
ของปีใดปีหนึ่งหรือไม่ครับ

ข้อ 1 กับ ข้อ 2 เป็นข้อสอบปี 49 ครับ ส่วนข้อ 3 เป็นข้อสอบปี 45