Function

[BLACK-Dragon]

1.Find all surjective functions $f:\mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$ such that $f(n)\geq n+(-1)^n$ ,$\forall n \in \mathbf{N}$

2.Find all functions $f:\mathbf{R^{+}} \rightarrow \mathbf{R^{+}}$ such that$$f(\dfrac{x+y}{2})= \dfrac{2f(x)f(y)}{f(x)+f(y)} , \forall x,y \in \mathbf{R^{+}}$$
3.Find all functions $f:\mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ such that$$f(1-x)=1-f(f(x)),\forall x \in \mathbf{R}$$

[Thgx0312555]

ลองทำดูครับ

solution2

ให้ $g(x)=\dfrac{1}{f(x)}$
จะได้ $2g(\dfrac{x+y}{2})=g(x)+g(y)$

ให้ $k \in \mathbb{R}^+$
แทนค่า $x$ ด้วย $x+k,$ $ y$ ด้วย $y+k$
และ แทนค่า $x$ ด้วย $x+y+k,$ $ y$ ด้วย $k$

จะได้ $g(x+k)+g(y+k)=g(x+y+k)+g(k)$
ให้ $h_k(x)=g(x+k)-g(k)$

จัดรูปจะได้ $h_k(x+y)=h_k(x)+h_k(y)$
ซึ่งโดย Cauchy's functional equation จะได้
$h_k(x)=c_kx$

นั่นคือ $g(x+k)=c_kx+g(k)$

ให้ $k_1,k_2 \in \mathbb{R}^+$
แทนค่า $x$ ด้วย $k_2+1,$ $k$ ด้วย $k_1$
$g(k_1+k_2+1)=c_{k_1}(k_2+1)+g(k_1)$
แทนค่า $x$ ด้วย $k_2,$ $k$ ด้วย $k_1$
$g(k_1+k_2)=c_{k_1}(k_2)+g(k_1)$
$\therefore g(k_1+k_2+1)-g(k_1+k_2)=c_{k_1}$

ในทำนองเดียวกัน $ g(k_1+k_2+1)-g(k_1+k_2)=c_{k_2}$
$c_{k_1}=c_{k_2}$

ดังนั้น $c_k$ เป็นค่าคงที่ ให้เขียนแทนด้วย $a$
$g(x+k)=ax+g(k)$
$g(x+k)-a(x+k)=g(k)-ck$
$g(x)-ax=g(y)-ay$
$g(x)-ax$ เป็นค่าคงที่ให้แทนด้วย $b$
$\therefore g(x)=ax+b$

แทนค่ากลับ พบว่า $a,b \ge 0$ โดยไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน
$\therefore f(x)=\dfrac{1}{ax+b}, a,b \ge 0$ โดยไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

1.Find all surjective functions $f:\mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$ such that $f(n)\geq n+(-1)^n$ ,$\forall n \in \mathbf{N}$

ตอบ $f(1)=1,f(n)=n+1$ ถ้า $n$ เป็นคู่ และ $f(n)=n-1$ ถ้า $n$ เป็นคี่

พิสูจน์โดยใช้ induction บน range ของ $f$ ครับ

[Beatmania]

#๒ อ้าง Jensen Functional Equation ได้เลยปะครับ (ผมลืมแล้วว่าเช็คโดเมนยังไง = =")

[Thgx0312555]

ผมใช้ jensen ไม่เป็น ลองแสดงวิธีให้ดูหน่อยครับ

[BLACK-Dragon]

#2 โหดจุงเบยยยย 5555
ปล1. ไป สสวท กันมาเอาโจทย์มาฝากบ้างหรือเปล่าครับ
ปล2. ฝาก G e o m e t r y P r o b l e m s ด้วยครับบ

[Beatmania]

ให้ $g(x)=\frac{1}{f(x)} $ จะได้

$g(\frac{x+y}{2} )=\frac{g(x)+g(y)}{2} $

ซึ่งอยู่ในรูปของ Jensen FE.

จะได้ $g(x)=ax+b$

$f(x)=\frac{1}{ax+b} $

ครับ